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Simetría en la resolución de problemas

La simetría en la resolución de problemas es uno de los métodos generales utilizados en matemáticas y ciencias para resolver problemas. La resolución de problemas desempeña un p...

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La simetría en la resolución de problemas es uno de los métodos generales utilizados en matemáticas y ciencias para resolver problemas. La resolución de problemas desempeña un papel fundamental en la enseñanza de matemáticas, ciencias e ingeniería. El uso de la simetría como una de las diversas estrategias de resolución de problemas ( heurísticas ) fue mencionado por primera vez en 1945 por George Pólya en su libro Cómo resolverlo .

Uso

Diagrama que muestra un hexágono dividido en 6 triángulos equiláteros.
Un hexágono dividido simétricamente en 6 triángulos equiláteros para facilitar el cálculo de su área.

La simetría puede utilizarse de diversas maneras para ayudar en la resolución de problemas.

  • Visualización: al visualizar el problema, a veces se revela simetría, lo que simplifica la búsqueda de una solución. La visualización puede realizarse reorganizando la expresión del problema en una forma más simétrica o dibujando una representación gráfica que revele una estructura simétrica oculta. Los diagramas pueden utilizarse para comprender la estructura de un problema que puede quedar oculta por su formulación escrita. [ 1 ]
  • Argumentar "por simetría": el uso de un argumento de simetría a menudo aclara un problema, lo que conduce a una solución más rápida. Por ejemplo, la simetría algebraica permite la permutación de las variables en una ecuación sin modificarla. [ 2 ] : 806 [ 3 ] : vol. 1, p. 153
  • Simplificación: las expresiones y ecuaciones algebraicas a menudo se benefician de la simplificación mediante la simetría. Un ejemplo es el uso de sustituciones en las expresiones. Otro ejemplo es el cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, cilíndricas o esféricas para que se ajusten mejor al problema. [ 4 ]
  • Herencia: si el problema tiene simetría, la solución a menudo heredará esa simetría. [ 5 ]
  • Eliminación de soluciones imposibles: la simetría puede utilizarse para descartar posibles soluciones que contradirían la estructura del problema. [ 6 ]
  • Desglosando el problema: si el problema tiene una estructura simétrica, puede ser suficiente resolver solo una parte, y luego la solución completa puede obtenerse por extensión. [ 7 ] Por ejemplo, para calcular el área de un hexágono regular, divídalo en triángulos equiláteros, calcule el área de un triángulo usando la fórmula mitad de la base por altura aplicando el teorema de Pitágoras , y luego multiplique por 6. Pólya creía que la simetría ayudaba a resolver problemas al reducir y ordenar los hechos observables. [ 8 ]

Ejemplos

Matemáticas

Diagrama de la suma gaussiana de los primeros 100 números enteros.
Utilizar la simetría para sumar los primeros 100 números enteros (tradicionalmente atribuido a Carl Friedrich Gauss ).

La suma de los enteros del 1 al 100 se puede calcular emparejando los dos enteros exteriores (1+100=101), los dos enteros siguientes (2+99=101) y continuando el proceso hasta los dos enteros interiores (50+51=101). El proceso produce 50 pares, cada uno con una suma de 101, lo que da un total de 5050. La solución del problema se atribuye tradicionalmente a Carl Friedrich Gauss . [ 9 ] La línea de enteros tiene simetría de reflexión en su punto medio; quien resuelve el problema puede pensar en plegar en la línea de reflexión para unir cada par. [ 10 ] : 204

Diagrama geométrico de un cuadrado inscrito en un círculo inscrito en un cuadrado mayor.
Problema: ¿Cuál es el área de un cuadrado inscrito en un círculo, que a su vez está inscrito en un cuadrado mayor? Solución: El cuadrado pequeño tiene la mitad del área del cuadrado grande.

No resulta inmediatamente obvio cuál es el área de un cuadrado pequeño inscrito en un círculo, que a su vez está inscrito en un cuadrado grande. Sin embargo, al rotar el cuadrado pequeño 90° y trazar sus dos diagonales, se observa que está compuesto por 4 triángulos idénticos (rojos) y el cuadrado grande por 8 triángulos idénticos (azules y rojos), por lo que el área del cuadrado pequeño es la mitad que la del cuadrado grande. El uso de la operación de simetría rotacional simplifica la búsqueda de la solución. [ 11 ] : 60

La teoría matemática de la simetría, es decir, la teoría de grupos , es ahora ampliamente reconocida por su utilidad para la resolución de problemas. [ 12 ] [ 13 ] : 112 El campo de soluciones de ecuaciones diferenciales está impulsado en gran medida por consideraciones de simetría. [ 14 ] [ 15 ]

Física

La simetría es omnipresente en la resolución de problemas de la física moderna; [ 16 ] por ejemplo, Albert Einstein utilizó argumentos de simetría en su artículo de 1905 Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento para desarrollar su teoría especial de la relatividad . [ 17 ] Los teoremas de conservación están estrechamente relacionados con las propiedades de simetría de los sistemas físicos ( teorema de Noether ). [ 18 ] La teoría de grupos y las álgebras de Lie se utilizan ampliamente en la resolución de problemas de mecánica cuántica [ 19 ] y en muchas otras áreas de la física. [ 20 ] [ 21 ]

Química

Las consideraciones de simetría se utilizan frecuentemente en química para resolver problemas. [ 22 ] La simetría se emplea en determinaciones estructurales , para la predicción de transiciones electrónicas moleculares y en la interpretación de la reactividad química , así como de datos cristalográficos y espectroscópicos . La simetría también puede utilizarse en síntesis orgánica y catálisis como medio para aumentar la estereoselectividad de las reacciones químicas. [ 23 ] El mecanismo de las reacciones pericíclicas puede predecirse mediante la aplicación de las reglas de Woodward-Hoffmann (la conservación de la simetría orbital), que se basan en las simetrías de los orbitales moleculares . [ 24 ] [ 25 ]

Educación

Estudios realizados en aulas de secundaria y en programas de desarrollo profesional han demostrado que la simetría es una de las estrategias eficaces para la resolución de problemas matemáticos y ayuda a los estudiantes en el reconocimiento de patrones, la manipulación algebraica y el razonamiento geométrico. [ 2 ] [ 26 ] La simetría también es útil para que los estudiantes resuelvan problemas de física. [ 27 ] Los estándares y currículos nacionales de matemáticas normalmente incorporan objetivos para la resolución de problemas y para la comprensión y el uso de la simetría, por ejemplo, los estándares en los EE. UU. [ 28 ] : Grado 4, pág. 27

Historia

En la época moderna, el uso de la simetría para resolver problemas geométricos es común, como lo expresa la frase "... (y así) por simetría...", [ 29 ] [ 30 ] sin embargo, en la antigüedad griega , los geómetras , aunque quizás inconscientemente usaran el principio de simetría, no habrían empleado tal frase, ya que la palabra simetría ( griego antiguo : summetria ) tenía el significado de conmensurabilidad . [ 31 ] : 70–71

En 1945, George Pólya publicó *Cómo resolverlo*, en el que la simetría era una de las estrategias generales que podían utilizarse para resolver problemas. [ 32 ] : 199-200 En su libro posterior *Descubrimiento matemático: Sobre la comprensión, el aprendizaje y la enseñanza de la resolución de problemas*, Pólya afirmó: «Esperamos que cualquier simetría encontrada en los datos y la condición del problema se vea reflejada en la solución». [ 3 ] : vol. 2, pág. 161

TRIZ es una metodología de resolución de problemas en el campo de la ingeniería, inventada por Genrich Altshuller en 1946. TRIZ se basa en 40 principios de resolución de problemas, uno de los cuales es la asimetría . [ 33 ] Por ejemplo, cambiar la forma de un objeto de simétrica a asimétrica puede resolver el problema de los usuarios que intentan conectar dos componentes de forma incorrecta: la asimetría fuerza la conexión correcta. [ 34 ]

Referencias

  1. ↑ Vale, Isabel; Pimentel, Teresa; Barbosa, Ana (2018). «El poder de la visión en la resolución de problemas y la creatividad: un tema en debate». En Amado, Nélia; Carreira, Susana; Jones, Keith (eds.). Ampliando el alcance de la investigación sobre la resolución de problemas matemáticos . pp. 243–272 . doi : 10.1007/978-3-319-99861-9_11 . ISBN  978-3-319-99861-9.
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  3. 1 2 Pólya, George (1981) [1962]. Descubrimiento matemático: sobre la comprensión, el aprendizaje y la enseñanza de la resolución de problemas ( Edición combinada). Nueva York: Wiley. ISBN  0-471-08975-3Consultado el 14 de abril de 2026 .
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  5. ↑ Waterhouse, William C. (junio de 1983). "¿Tienen los problemas simétricos soluciones simétricas?". The American Mathematical Monthly . 90 (6): 378– 387. doi : 10.1080/00029890.1983.11971235 .
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