Álgebra de Weyl

El álgebra de Weyl${\displaystyle A_{n}}$puede construirse concretamente como una representación .

En la representación del operador diferencial, similar a la cuantización canónica de Schrödinger, sea${\displaystyle q_{j}}$estar representado por la multiplicación de la izquierda por${\displaystyle x_{j}}$y dejar${\displaystyle p_{j}}$estar representado por diferenciación a la izquierda por${\displaystyle \partial _{x_{j}}}$.

En la representación matricial, similar a la mecánica matricial ,${\displaystyle A_{1}}$está representado por ^{[ 2 ]}$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&2&0&\cdots \\0&0&0&3&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},\quad Q={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\ldots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$$ obedecer${\displaystyle [P,Q]=1.}$

${\displaystyle A_{n}}$puede construirse como un cociente de un álgebra libre en términos de generadores y relaciones. Una construcción comienza con un espacio vectorial abstracto.${\displaystyle V}$(de dimensión${\displaystyle 2n}$) equipado con una forma simpléctica${\displaystyle \omega }$. Defina el álgebra de Weyl${\displaystyle W(V)}$ser

${\displaystyle W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),}$

dónde${\displaystyle T(V)}$es el álgebra tensorial en${\displaystyle V}$y la notación${\displaystyle (\!()\!)}$significa "el ideal generado por".

En otras palabras,${\displaystyle W(V)}$es el álgebra generada por${\displaystyle V}$sujeto únicamente a la relación${\displaystyle vu-uv=\omega (v,u)}$. Entonces,${\displaystyle W(V)}$es isomorfo a${\displaystyle A_{n}}$mediante la elección de una base de Darboux para${\displaystyle \omega }$.

${\displaystyle A_{n}}$es también un cociente del álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg , el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg , al establecer el elemento central del álgebra de Heisenberg (a saber,${\displaystyle [q,p]}$) igual a la unidad del álgebra envolvente universal (llamada 1 arriba).

El álgebra${\displaystyle W(V)}$es una cuantización del álgebra simétrica${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$. Si${\displaystyle V}$es sobre un campo de característica cero, entonces${\displaystyle W(V)}$es naturalmente isomorfo al espacio vectorial subyacente del álgebra simétrica${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$equipado con un producto deformado – llamado producto de Groenewold–Moyal (considerando que el álgebra simétrica son funciones polinómicas en${\displaystyle V^{*}}$donde las variables abarcan el espacio vectorial${\displaystyle V}$y reemplazando${\displaystyle i\hbar }$en la fórmula del producto Moyal con${\displaystyle 1}$.)

El isomorfismo viene dado por el mapa de simetrización de${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$a${\displaystyle W(V)}$

${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.}$

Si uno prefiere tener el${\displaystyle i\hbar }$y trabajar sobre los números complejos, uno podría haber definido en cambio el álgebra de Weyl anterior como generada por${\displaystyle q_{i}}$y${\displaystyle i\hbar \partial _{q_{i}}}$(según el uso de la mecánica cuántica ).

Así, el álgebra de Weyl es una cuantización del álgebra simétrica, que es esencialmente la misma que la cuantización de Moyal (si bien para esta última se restringe a funciones polinómicas), pero la primera se expresa en términos de generadores y relaciones (considerados operadores diferenciales) y la segunda en términos de una multiplicación deformada.

Dicho de otra manera, denotemos el producto estrella de Moyal${\displaystyle f\star g}$, entonces el álgebra de Weyl es isomorfa a${\displaystyle (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}],\star )}$. ^{[ 3 ]}

La misma construcción pasa por cuando${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$es reemplazado por${\displaystyle \mathrm {Alt} (V),}$el álgebra alternante o exterior ; en ese caso, el resultado es el álgebra de Clifford . De igual modo, la construcción como espacio cociente del álgebra tensorial módulo un ideal tiene la misma forma; la diferencia es que el ideal es generado por una forma bilineal simétrica en lugar de la forma simpléctica. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Para reflejar la similitud de la construcción, el álgebra de Weyl a menudo se llama álgebra de Clifford simpléctica , ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 4 ]} mientras que el nombre de álgebra de Clifford ortogonal se le da a la generada por la forma simétrica; ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} el nombre "ortogonal" proviene de la relación del álgebra de Clifford con las rotaciones. A pesar de la similitud de la construcción, estas generalmente se tratan de manera distinta, ya que difieren drásticamente desde el punto de vista de la teoría de la representación . Las representaciones de las álgebras de Clifford (ortogonales) son de dimensión finita, mientras que el álgebra de Weyl no tiene ninguna que sea de dimensión finita; su representación es de dimensión infinita y única.

El álgebra de Weyl se puede construir como un D-módulo . ^{[ 9 ]} Específicamente, el álgebra de Weyl correspondiente al anillo de polinomios${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$con su estructura diferencial parcial habitual es precisamente igual al anillo de operaciones diferenciales de Grothendieck.${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{R}^{n}/R}}$. ^{[ 9 ]}

En términos más generales, dejemos${\displaystyle X}$ser un plan fluido sobre un anillo${\displaystyle R}$. A nivel local,${\displaystyle X\to R}$factores como una cubierta étale sobre algunos${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}}$equipado con la proyección estándar. ^{[ 10 ]} Debido a que " étale " significa "(plano y) poseedor de haz cotangente nulo", ^{[ 11 ]} esto significa que cada D-módulo sobre tal esquema puede pensarse localmente como un módulo sobre el${\displaystyle n^{\text{th}}}$Álgebra de Weyl.

Dejar${\displaystyle R}$sea ​​un álgebra conmutativa sobre un subanillo${\displaystyle S}$El anillo de operadores diferenciales${\displaystyle D_{R/S}}$(anotado${\displaystyle D_{R}}$cuando${\displaystyle S}$(queda claro por el contexto) se define inductivamente como una subálgebra graduada de${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$:

• ${\displaystyle D_{R}^{0}=R}$
• ${\displaystyle D_{R}^{k}=\left\{d\in \operatorname {End} _{S}(R):[d,a]\in D_{R}^{k-1}{\text{ for all }}a\in R\right\}.}$

Dejar${\displaystyle D_{R}}$ser la unión de todos${\displaystyle D_{R}^{k}}$para${\displaystyle k\geq 0}$. Esta es una subálgebra de${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$.

En el caso${\displaystyle R=S[x_{1},...,x_{n}]}$, el anillo de operadores diferenciales de orden${\displaystyle \leq n}$se presenta de forma similar al caso especial${\displaystyle S=\mathbb {C} }$pero por la consideración adicional de los "operadores de poder dividido"; estos son operadores que corresponden a aquellos en el caso complejo que estabilizan${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},...,x_{n}]}$, pero que no pueden escribirse como combinaciones enteras de operadores de orden superior, es decir, no habitan${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}/\mathbb {Z} }}$. Un ejemplo de ello es el operador${\displaystyle \partial _{x_{1}}^{[p]}:x_{1}^{N}\mapsto {N \choose p}x_{1}^{N-p}}$.

Explícitamente, se realiza una presentación por

${\displaystyle D_{S[x_{1},\dots ,x_{\ell }]/S}^{n}=S\langle x_{1},\dots ,x_{\ell },\{\partial _{x_{i}},\partial _{x_{i}}^{[2]},\dots ,\partial _{x_{i}}^{[n]}\}_{1\leq i\leq \ell }\rangle }$

con las relaciones

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=[\partial _{x_{i}}^{[k]},\partial _{x_{j}}^{[m]}]=0}$

${\displaystyle [\partial _{x_{i}}^{[k]},x_{j}]=\left\{{\begin{matrix}\partial _{x_{i}}^{[k-1]}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[k]}\partial _{x_{i}}^{[m]}={k+m \choose k}\partial _{x_{i}}^{[k+m]}~~~~~{\text{when }}k+m\leq n}$

dónde${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[0]}=1}$por convención. El álgebra de Weyl consiste entonces en el límite de estas álgebras como${\displaystyle n\to \infty }$. ^{[ 12 ] : Cap. IV.16.II}

Cuando${\displaystyle S}$es un campo de característica 0, entonces${\displaystyle D_{R}^{1}}$se genera, como un${\displaystyle R}$-módulo, por 1 y el${\displaystyle S}$- derivaciones de${\displaystyle R}$. Además,${\displaystyle D_{R}}$se genera como un anillo por el${\displaystyle R}$-subálgebra${\displaystyle D_{R}^{1}}$. En particular, si${\displaystyle S=\mathbb {C} }$y${\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},...,x_{n}]}$, entonces${\displaystyle D_{R}^{1}=R+\sum _{i}R\partial _{x_{i}}}$Como ya se mencionó,${\displaystyle A_{n}=D_{R}}$. ^{[ 13 ]}

En particular,${\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}}$y${\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}$.

Esto permite${\displaystyle A_{1}}$ser un álgebra graduada , donde el grado de${\displaystyle \sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}}$es${\displaystyle \max(m+n)}$entre sus monomios no nulos. El grado se define de manera similar para${\displaystyle A_{n}}$.

Es decir, no tiene ideales no triviales bilaterales y no tiene divisores de cero .

Es decir, cualquier derivación${\textstyle D}$es igual a${\textstyle [\cdot ,f]}$para algunos${\textstyle f\in A_{n}}$; cualquier${\textstyle f\in A_{n}}$produce una derivación${\textstyle [\cdot ,f]}$; si${\textstyle f,f'\in A_{n}}$Satisface${\textstyle [\cdot ,f]=[\cdot ,f']}$, entonces${\textstyle f-f'\in F}$.

La demostración es similar al cálculo de la función potencial para un campo vectorial polinomial conservativo en el plano. ^{[ 18 ]}

En el caso de que el campo base F tenga característica cero, el álgebra de Weyl n- ésimo es un dominio noetheriano simple . ^{[ 19 ]} Tiene dimensión global n , en contraste con el anillo que deforma, Sym( V ), que tiene dimensión global 2 n .

No tiene representaciones de dimensión finita. Aunque esto se deduce de la simplicidad, se puede demostrar de forma más directa tomando la traza de σ ( q ) y σ ( Y ) para alguna representación de dimensión finita σ (donde [ q , p ] = 1 ).

${\displaystyle \mathrm {tr} ([\sigma (q),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.}$

Dado que la traza de un conmutador es cero, y la traza de la identidad es la dimensión de la representación, la representación debe ser de dimensión cero.

De hecho, existen afirmaciones más contundentes que la ausencia de representaciones de dimensión finita. Para cualquier A _n -módulo M finitamente generado , existe una subvariedad correspondiente Char( M ) de V × V ^∗ llamada 'variedad característica' cuyo tamaño corresponde aproximadamente al tamaño de M (un módulo de dimensión finita tendría una variedad característica de dimensión cero). Entonces, la desigualdad de Bernstein establece que para M distinto de cero,

${\displaystyle \dim(\operatorname {char} (M))\geq n}$

Una afirmación aún más fuerte es el teorema de Gabber , que establece que Char( M ) es una subvariedad coisotrópica de V × V ^∗ para la forma simpléctica natural.

La situación es considerablemente diferente en el caso de un álgebra de Weyl sobre un cuerpo de característica p > 0 .

En este caso, para cualquier elemento D del álgebra de Weyl, el elemento D ^p es central, por lo que el álgebra de Weyl tiene un centro muy grande. De hecho, es un módulo finitamente generado sobre su centro; más aún, es un álgebra de Azumaya sobre su centro. Como consecuencia, existen muchas representaciones de dimensión finita que se construyen a partir de representaciones simples de dimensión p .

Las álgebras de Weyl también se generalizan en el caso de variedades algebraicas . Consideremos un anillo de polinomios.

${\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.}$

Entonces, un operador diferencial se define como una composición de${\displaystyle \mathbb {C} }$-derivaciones lineales de${\displaystyle R}$Esto puede describirse explícitamente como el anillo cociente.

${\displaystyle {\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.}$