Marco síncrono

Un marco síncrono es un marco de referencia en el que la coordenada temporal define el tiempo propio para todos los observadores que se mueven conjuntamente. Se construye eligiendo una hipersuperficie de tiempo constante como origen, de modo que en cada punto exista una normal a lo largo de la línea temporal y se pueda construir un cono de luz con vértice en ese punto; todos los elementos de intervalo en esta hipersuperficie son de tipo espacial . Se traza una familia de geodésicas normales a esta hipersuperficie y se definen como las coordenadas temporales con inicio en la hipersuperficie. En términos de componentes métricas-tensoriales${\displaystyle g_{ik}}$, un marco síncrono se define de tal manera que

${\displaystyle g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0}$

dónde${\displaystyle \alpha =1,2,3.}$Dicha construcción, y por ende, la elección del sistema de referencia síncrono, siempre es posible, aunque no única. Permite cualquier transformación de las coordenadas espaciales que no dependa del tiempo y, además, una transformación derivada de la elección arbitraria de la hipersuperficie utilizada para esta construcción geométrica.

La sincronización de relojes ubicados en diferentes puntos del espacio significa que los eventos que ocurren en diferentes lugares pueden medirse como simultáneos si esos relojes muestran la misma hora. En la relatividad especial , el elemento de distancia espacial dl se define como los intervalos entre dos eventos muy cercanos que ocurren en el mismo instante de tiempo. En la relatividad general esto no se puede hacer, es decir, no se puede definir dl simplemente sustituyendo dt ≡ dx ⁰ = 0 en la métrica . La razón de esto es la diferente dependencia entre el tiempo propio.${\displaystyle \tau }$y la coordenada temporal x ⁰ ≡ t en diferentes puntos del espacio, es decir,${\displaystyle cd\tau ={\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$

Para hallar dl en este caso, el tiempo se puede sincronizar sobre dos puntos infinitesimalmente vecinos de la siguiente manera (Fig. 1): Bob envía una señal luminosa desde algún punto del espacio B con coordenadas${\displaystyle x^{\alpha }+dx^{\alpha }}$Alice, que se encuentra en un punto A muy cercano con coordenadas x ^α , inmediatamente después refleja la señal hacia Bob. El tiempo necesario para esta operación (medido por Bob), multiplicado por c , es, obviamente, el doble de la distancia entre Alice y Bob.

El elemento de línea , con coordenadas espaciales y temporales separadas, es:

donde un índice griego repetido dentro de un término significa suma por los valores 1, 2, 3. El intervalo entre los eventos de llegada de la señal y su reflexión inmediata de vuelta al punto A es cero (dos eventos, llegada y reflexión, ocurren en el mismo punto en el espacio y el tiempo). Para las señales luminosas, el intervalo espacio-temporal es cero y por lo tanto establece${\displaystyle ds=0}$En la ecuación anterior, podemos resolver para dx ⁰ obteniendo dos raíces:

${\displaystyle dx^{0(1)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }-{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),}$

que corresponden a la propagación de la señal en ambas direcciones entre Alice y Bob. Si x ⁰ es el momento de llegada/reflexión de la señal hacia/desde Alice en el reloj de Bob, entonces, los momentos de salida de la señal de Bob y su llegada de regreso a Bob corresponden, respectivamente, a x ⁰ + dx ^{0 (1)} y x ⁰ + dx ^{0 (2)} . Las líneas gruesas en la Fig. 1 son las líneas de universo de Alice y Bob con coordenadas x ^α y x ^α + dx ^α , respectivamente, mientras que las líneas rojas son las líneas de universo de las señales. La Fig. 1 supone que dx ^{0 (2)} es positivo y dx ^{0 (1)} es negativo, lo cual, sin embargo, no es necesariamente el caso: dx ^{0 (1)} y dx ^{0 (2)} pueden tener el mismo signo. El hecho de que en este último caso el valor x ⁰ (Alice) en el momento de llegada de la señal a la posición de Alice pueda ser menor que el valor x ⁰ (Bob) en el momento de salida de la señal de Bob no contiene una contradicción porque se supone que los relojes en diferentes puntos del espacio no están sincronizados. Está claro que el intervalo de "tiempo" completo entre la salida y la llegada de la señal en el lugar de Bob es

${\displaystyle dx^{0(2)}-dx^{0(1)}={\frac {2}{g_{00}}}{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}.}$

El intervalo de tiempo propio correspondiente se obtiene de la relación anterior mediante la multiplicación por${\displaystyle {\sqrt {g_{00}}}/c}$y la distancia dl entre los dos puntos, mediante una multiplicación adicional por c /2. Como resultado:

Esta es la relación requerida que define la distancia a través de los elementos de coordenadas espaciales.

Es obvio que dicha sincronización debe realizarse mediante el intercambio de señales luminosas entre puntos. Consideremos nuevamente la propagación de señales entre puntos infinitesimalmente cercanos A y B en la Fig. 1. La lectura del reloj en B que es simultánea con el momento de reflexión en A se encuentra en el medio entre los momentos de envío y recepción de la señal en B ; en este momento, si el reloj de Alice marca y ⁰ y el reloj de Bob marca x ^0, entonces, según la condición de sincronización de Einstein ,

${\displaystyle y^{0}={\frac {(x^{0}+dx^{0(1)})+(x^{0}+dx^{0(2)})}{2}}=x^{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(dx^{0(2)}+dx^{0(1)}\right)=x^{0}+\Delta x^{0}.}$

Sustituya aquí la ecuación 2 para hallar la diferencia en "tiempo" x ⁰ entre dos eventos simultáneos que ocurren en puntos infinitesimalmente cercanos como

Esta relación permite la sincronización de relojes en cualquier volumen de espacio infinitesimalmente pequeño. Al extender dicha sincronización más allá del punto A , se pueden sincronizar relojes, es decir, determinar la simultaneidad de eventos a lo largo de cualquier línea abierta. La condición de sincronización se puede escribir de otra forma multiplicando la ecuación 4 por g ₀₀ y pasando los términos al lado izquierdo.

o bien, el "diferencial covariante" dx ₀ entre dos puntos infinitesimalmente cercanos debería ser cero.

Sin embargo, en general, es imposible sincronizar relojes a lo largo de un contorno cerrado: partiendo del contorno y volviendo al punto de partida se obtendría un valor Δ x ⁰ distinto de cero. Por lo tanto, la sincronización inequívoca de relojes en todo el espacio es imposible. Una excepción son los sistemas de referencia en los que todos los componentes g _0α son cero.

La imposibilidad de sincronizar todos los relojes es una propiedad del sistema de referencia y no del espaciotiempo en sí. En cualquier campo gravitatorio, siempre es posible, de infinitas maneras, elegir el sistema de referencia de modo que los tres _g₀α se anulen, permitiendo así una sincronización completa de los relojes. A esta categoría se le asignan los casos en los que g₀α puede anularse mediante un simple cambio en la coordenada temporal _, sin necesidad de elegir un sistema de objetos que defina las coordenadas espaciales.

En la teoría de la relatividad especial, el tiempo propio transcurre de forma diferente para relojes que se mueven uno respecto al otro. En la relatividad general, el tiempo propio es diferente incluso en el mismo sistema de referencia en distintos puntos del espacio. Esto significa que el intervalo de tiempo propio entre dos eventos que ocurren en un punto del espacio y el intervalo de tiempo entre eventos simultáneos con los que ocurren en otro punto del espacio son, en general, diferentes.

La ecuación 3 se puede reescribir de la forma

dónde

es el tensor métrico tridimensional que determina la métrica, es decir, las propiedades geométricas del espacio. Las ecuaciones ec. 7 dan las relaciones entre la métrica del espacio tridimensional${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$y la métrica del espaciotiempo de cuatro dimensiones${\displaystyle g_{ik}}$.

En general, sin embargo,${\displaystyle g_{ik}}$depende de x ⁰ de modo que${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$cambia con el tiempo. Por lo tanto, no tiene sentido integrar dl : esta integral depende de la elección de la línea de universo entre los dos puntos en los que se toma. De ello se deduce que en la relatividad general la distancia entre dos cuerpos no se puede determinar en general; esta distancia se determina solo para puntos infinitesimalmente cercanos. La distancia se puede determinar para regiones de espacio finito solo en sistemas de referencia en los que g _ik no depende del tiempo y, por lo tanto, la integral${\textstyle \int dl}$A lo largo de la curva espacial se adquiere cierto sentido definido.

El tensor${\displaystyle -\gamma _{\alpha \beta }}$es inversa del tensor tridimensional contravariante${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$. De hecho, escribir la ecuación${\displaystyle g^{ik}g_{kl}=\delta _{l}^{i}}$En componentes, se tiene:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }+g^{\alpha 0}g_{0\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

${\displaystyle g^{0\beta }g_{\beta 0}+g^{00}g_{00}=1.}$

Determinación${\displaystyle g^{\alpha 0}}$Al sustituir la segunda ecuación en la primera se obtiene que

Este resultado puede presentarse de otra manera diciendo que${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$son componentes de un tensor tridimensional contravariante correspondiente a la métrica${\displaystyle \gamma ^{\alpha \beta }}$:

Los determinantes g y${\displaystyle \gamma }$compuesto de elementos${\displaystyle g_{ik}}$y${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$, respectivamente, están relacionados entre sí por la sencilla relación:

En muchas aplicaciones, resulta conveniente definir un vector tridimensional g con componentes covariantes.

Considerando g como un vector en el espacio con métrica${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$, sus componentes contravariantes se pueden escribir como${\displaystyle g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }}$. Usando la ecuación 11 y la segunda de las ecuaciones 8 , es fácil ver que

De la tercera de las ecuaciones 8 , se deduce:

Como se concluye de la ecuación 5 , la condición que permite la sincronización del reloj en diferentes puntos del espacio es que los componentes del tensor métrico g _0α sean cero. Si, además, g ₀₀ = 1, entonces la coordenada temporal x ⁰ = t es el tiempo propio en cada punto del espacio (con c = 1). Un sistema de referencia que satisface las condiciones

se denomina marco síncrono . El elemento de intervalo en este sistema viene dado por la expresión

con los componentes del tensor métrico espacial idénticos (con signo opuesto) a los componentes g _αβ :

En el tiempo de marco síncrono, las líneas de tiempo son normales a las hipersuperficies t = constante. De hecho, el cuadrivector unitario normal a dicha hipersuperficie n _i = ∂ t /∂ x ⁱ tiene componentes covariantes n _α = 0, n ₀ = 1. Las respectivas componentes contravariantes con las condiciones de la ecuación 15 son nuevamente n ^α = 0, n ⁰ = 1.

Las componentes de la normal unitaria coinciden con las del cuadrivector u ⁱ = dx ⁱ /ds que es tangente a la línea de universo x ¹ , x ² , x ³ = const. El u ⁱ con componentes u ^α = 0, u ⁰ = 1 satisface automáticamente las ecuaciones geodésicas :

${\displaystyle {\frac {du^{i}}{ds}}+\Gamma _{kl}^{i}u^{k}u^{l}=\Gamma _{00}^{i}=0,}$

ya que, a partir de las condiciones de la ecuación 15 , los símbolos de Christoffel${\displaystyle \Gamma _{00}^{\alpha }}$y${\displaystyle \Gamma _{00}^{0}}$desaparecen idénticamente. Por lo tanto, en el marco síncrono las líneas de tiempo son geodésicas en el espaciotiempo.

Estas propiedades pueden utilizarse para construir un marco síncrono en cualquier espaciotiempo (Fig. 2). Para ello, se elige una hipersuperficie espacial como origen, de modo que en cada punto exista una normal a lo largo de la línea temporal (que se encuentre dentro del cono de luz con un vértice en ese punto); todos los elementos de intervalo en esta hipersuperficie son espaciales. A continuación, se traza una familia de geodésicas normales a esta hipersuperficie. Estas líneas se eligen como líneas de coordenadas temporales y se define la coordenada temporal t como la longitud s de la geodésica medida con un punto de inicio en la hipersuperficie; el resultado es un marco síncrono.

Se puede realizar una transformación analítica al sistema de referencia síncrono mediante la ecuación de Hamilton-Jacobi . El principio de este método se basa en el hecho de que las trayectorias de las partículas en campos gravitatorios son geodésicas. La ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula (cuya masa se establece igual a la unidad) en un campo gravitatorio es:

donde S es la acción. Su integral completa tiene la forma:

Nótese que la integral completa contiene tantas constantes arbitrarias como el número de variables independientes, que en nuestro caso es${\displaystyle 4}$En la ecuación anterior, estos corresponden a los tres parámetros ξ ^α y la cuarta constante A se trata como una función arbitraria de los tres ξ ^α . Con tal representación para S, las ecuaciones para la trayectoria de la partícula se pueden obtener igualando a cero las derivadas ∂S / ∂ξ ^α , es decir

Para cada conjunto de valores asignados de los parámetros ξ ^α , los lados derechos de las ecuaciones 18a-18c tienen valores constantes definidos, y la línea de universo determinada por estas ecuaciones es una de las trayectorias posibles de la partícula. Eligiendo las cantidades ξ ^α , que son constantes a lo largo de la trayectoria, como nuevas coordenadas espaciales, y la cantidad S como nueva coordenada temporal, se obtiene un marco síncrono; la transformación de las coordenadas antiguas a las nuevas viene dada por las ecuaciones 18b-18c . De hecho, está garantizado que para tal transformación las líneas de tiempo serán geodésicas y serán normales a las hipersuperficies S = const. Este último punto resulta obvio por analogía mecánica: el cuadrivector ∂S / ∂x ^i, que es normal a la hipersuperficie, coincide en mecánica con el cuadrimomento de la partícula y, por lo tanto, coincide en dirección con su cuadrivelocidad u ⁱ , es decir, con el cuadrivector tangente a la trayectoria. Finalmente, la condición g ₀₀ = 1 se satisface claramente, puesto que la derivada − dS / ds de la acción a lo largo de la trayectoria es la masa de la partícula, que se estableció igual a 1; por lo tanto, | dS / ds | = 1.

Las condiciones de calibre de la ecuación 15 no fijan completamente el sistema de coordenadas y, por lo tanto, no son un calibre fijo , como la hipersuperficie de tipo espacial en${\displaystyle t=0}$se puede elegir arbitrariamente. Aún se tiene la libertad de realizar algunas transformaciones de coordenadas que contienen cuatro funciones arbitrarias que dependen de las tres variables espaciales x ^α , las cuales se calculan fácilmente en forma infinitesimal:

Aquí, las colecciones de las cuatro coordenadas antiguas ( t , xα ⁾ y las cuatro coordenadas nuevas${\displaystyle ({\tilde {t}},{\tilde {x}}^{\alpha })}$se denotan por los símbolos x y${\displaystyle {\tilde {x}}}$, respectivamente. Las funciones${\displaystyle \xi ^{i}({\tilde {x}})}$junto con sus primeras derivadas son cantidades infinitesimalmente pequeñas. Después de dicha transformación, el intervalo de cuatro dimensiones toma la forma:

dónde

En la última fórmula, la${\displaystyle g_{ik}({\tilde {x}})}$son las mismas funciones g _ik ( x ) en las que x simplemente debe ser reemplazado por${\displaystyle {\tilde {x}}}$. Si se desea conservar la ecuación de calibre 15 también para el nuevo tensor métrico${\displaystyle g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})}$en las nuevas coordenadas${\displaystyle {\tilde {x}}}$, es necesario imponer las siguientes restricciones a las funciones${\displaystyle \xi ^{i}({\acute {x}})}$:

Las soluciones de estas ecuaciones son:

donde f ⁰ y f ^α son cuatro funciones arbitrarias que dependen únicamente de las coordenadas espaciales${\displaystyle {\tilde {x}}^{\alpha }}$.

Para una explicación geométrica más elemental, considérese la figura 2. Primero, la línea de tiempo síncrona ξ ⁰ = t puede elegirse arbitrariamente (la de Bob, Carol, Dana o cualquiera de un número infinito de observadores). Esto da como resultado una función elegida arbitrariamente:${\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$En segundo lugar, la hipersuperficie inicial puede elegirse de infinitas maneras. Cada una de estas elecciones cambia tres funciones: una función para cada una de las tres coordenadas espaciales.${\displaystyle \xi ^{\alpha }=f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$En total, cuatro (= 1 + 3) funciones son arbitrarias.

Al discutir soluciones generales g _αβ de las ecuaciones de campo en calibres síncronos, es necesario tener en cuenta que los potenciales gravitacionales g _αβ contienen, entre todos los posibles parámetros funcionales arbitrarios presentes en ellos, cuatro funciones arbitrarias del espacio tridimensional que solo representan la libertad de calibre y, por lo tanto, no tienen un significado físico directo.

Otro problema del sistema de referencia síncrono es la aparición de cáusticas que pueden provocar fallos en la elección de calibre. Estos problemas han causado algunas dificultades al realizar teoría de perturbaciones cosmológicas en el sistema de referencia síncrono, pero actualmente se comprenden bien. Las coordenadas síncronas se consideran generalmente el sistema de referencia más eficiente para realizar cálculos y se utilizan en muchos códigos cosmológicos modernos, como CMBFAST . También son útiles para resolver problemas teóricos en los que es necesario fijar una hipersuperficie de tipo espacial, como en el caso de las singularidades de tipo espacial .

La introducción de un marco síncrono permite separar las operaciones de diferenciación espacial y temporal en las ecuaciones de campo de Einstein . Para hacerlas más concisas, se utiliza la notación

Se introduce para las derivadas temporales del tensor métrico tridimensional; estas cantidades también forman un tensor tridimensional. En el marco síncrono${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$es proporcional a la segunda forma fundamental (tensor de forma). Todas las operaciones de desplazamiento de índices y diferenciación covariante del tensor${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$se realizan en el espacio tridimensional con la métrica γ _αβ . Esto no se aplica a las operaciones de desplazamiento de índices en las componentes espaciales de los cuatro tensores R _ik , T _ik . Por lo tanto, T _α ^β debe entenderse como g ^βγ T _γα + g ^{β 0} T _{0 α} , que se reduce a g ^βγ T _γα y difiere en signo de γ ^βγ T _γα . La suma${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$es la derivada logarítmica del determinante γ ≡ | γαβ |_​ = − gramo :

Luego, para el conjunto completo de símbolos de Christoffel${\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}}$se obtiene:

dónde${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$son los símbolos de Christoffel tridimensionales construidos a partir de γ _αβ :

donde la coma denota la derivada parcial con respecto a la coordenada correspondiente.

Con los símbolos de Christoffel, ecuación 25 , los componentes R ⁱ _k = g ^il R _lk del tensor de Ricci se pueden escribir de la siguiente forma:

Los puntos en la parte superior denotan diferenciación temporal, los puntos y coma (";") denotan diferenciación covariante que en este caso se realiza con respecto a la métrica tridimensional γ _αβ con símbolos de Christoffel tridimensionales.${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$,${\displaystyle \varkappa \equiv \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$y P _α ^β es un tensor de Ricci tridimensional construido a partir de${\displaystyle \lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$:

De las ecuaciones 27-29 se deduce que las ecuaciones de Einstein${\displaystyle R_{i}^{k}=8\pi k\left(T_{i}^{k}-{\frac {1}{2}}\delta _{i}^{k}T\right)}$(con los componentes del tensor energía-momento T ₀ ⁰ = − T ₀₀ , T _α ⁰ = − T _0α , T _α ^β = γ ^βγ T _γα ) se convierten en un marco síncrono:

Una característica del sistema de referencia síncrono es que no es estacionario: el campo gravitatorio no puede ser constante en dicho sistema. En un campo constante${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$se convertiría en cero. Pero en presencia de materia la desaparición de todo${\displaystyle \varkappa _{\alpha \beta }}$Esto contradiría la ecuación 31 (que tiene un lado derecho distinto de cero). En el espacio vacío, de la ecuación 33 se deduce que todos los P _αβ y, con ellos, todos los componentes del tensor de curvatura tridimensional P _αβγδ ( tensor de Riemann ) se anulan, es decir, el campo se anula por completo (en un marco síncrono con una métrica espacial euclidiana, el espacio-tiempo es plano).

Al mismo tiempo, la materia que llena el espacio no puede, en general, estar en reposo con respecto al sistema de referencia síncrono. Esto es obvio por el hecho de que las partículas de materia dentro de las cuales hay presiones generalmente se mueven a lo largo de líneas que no son geodésicas; la línea de universo de una partícula en reposo es una línea de tiempo y, por lo tanto, es una geodésica en el sistema de referencia síncrono. Una excepción es el caso del polvo ( p = 0). Aquí, las partículas que interactúan entre sí se moverán a lo largo de líneas geodésicas; en consecuencia, en este caso la condición para un sistema de referencia síncrono no contradice la condición de que sea comóvil con la materia. Incluso en este caso, para poder elegir un sistema de referencia comóvil síncrono , sigue siendo necesario que la materia se mueva sin rotación. En el sistema de referencia comóvil, las componentes contravariantes de la velocidad son u ⁰ = 1, u ^α = 0. Si el sistema de referencia también es síncrono, las componentes covariantes deben satisfacer u ₀ = 1, u _{α = 0, de modo que su} rotacional cuadridimensional debe ser cero:

${\displaystyle u_{i;k}-u_{k;i}\equiv {\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x^{i}}}=0.}$

Pero esta ecuación tensorial debe ser válida también en cualquier otro sistema de referencia. Por lo tanto, en un sistema síncrono pero no comóvil, se requiere adicionalmente la condición curl v = 0 para la velocidad tridimensional v . Para otras ecuaciones de estado, una situación similar solo puede ocurrir en casos especiales en los que el gradiente de presión se anula en todas las direcciones o en ciertas direcciones.

El uso del sistema de referencia síncrono en problemas cosmológicos requiere un análisis exhaustivo de su comportamiento asintótico. En particular, es necesario determinar si dicho sistema puede extenderse a un tiempo y espacio infinitos, manteniendo siempre la nomenclatura inequívoca de cada punto en términos de coordenadas dentro de este sistema.

Se demostró que la sincronización inequívoca de relojes en todo el espacio es imposible debido a la imposibilidad de sincronizarlos a lo largo de un contorno cerrado. En cuanto a la sincronización en el tiempo infinito, recordemos primero que las líneas de tiempo de todos los observadores son normales a la hipersuperficie elegida y, en este sentido, son "paralelas". Tradicionalmente, el concepto de paralelismo se define en la geometría euclidiana como líneas rectas equidistantes entre sí en todos los puntos, pero en geometrías arbitrarias este concepto puede extenderse para referirse a líneas geodésicas . Se demostró que las líneas de tiempo son geodésicas en el marco síncrono. Otra definición de líneas paralelas, más conveniente para el propósito actual, es aquella que tiene todos o ninguno de sus puntos en común. Excluyendo el caso de todos los puntos en común (obviamente, la misma línea), se llega a la definición de paralelismo donde no hay dos líneas de tiempo que tengan un punto en común.

Dado que las líneas de tiempo en un marco síncrono son geodésicas, estas líneas son rectas (la trayectoria de la luz) para todos los observadores en la hipersuperficie generadora. La métrica espacial es

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$.

El determinante${\displaystyle \gamma }$del tensor métrico es el valor absoluto del producto triple de los vectores fila en la matriz${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$que también es el volumen del paralelepípedo generado por los vectores${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$,${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$, y${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$(es decir, el paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$,${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$, y${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$).

${\displaystyle \gamma =|{\vec {\gamma }}_{1}\cdot ({\vec {\gamma }}_{2}\times {\vec {\gamma }}_{3})|={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{23}\\\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{parallelepiped}}}$

Si${\displaystyle \gamma }$Si se convierte en cero, el volumen de este paralelepípedo también es cero. Esto puede ocurrir cuando uno de los vectores se encuentra en el plano de los otros dos, de modo que el volumen del paralelepípedo se transforma en el área de la base (la altura se vuelve cero), o, más formalmente, cuando dos de los vectores son linealmente dependientes. En ese caso, varios puntos (los puntos de intersección) pueden etiquetarse de la misma manera, es decir, la métrica presenta una singularidad.

El grupo de Landau ^{[ 1 ]} ha descubierto que el marco síncrono necesariamente forma una singularidad temporal, es decir, las líneas de tiempo se intersecan (y, respectivamente, el determinante del tensor métrico se vuelve cero) en un tiempo finito.

Esto se demuestra de la siguiente manera. El lado derecho de la ecuación 31 , que contiene los tensores de energía-impulso de la materia y del campo electromagnético,

${\displaystyle T_{i}^{k}=\left(p+\varepsilon \right)\times u_{i}u^{k}+p\delta _{i}^{k}}$

es un número positivo debido a la fuerte condición de energía . Esto se puede ver fácilmente cuando se escribe en componentes.

por cuestión

${\displaystyle T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +3p\right)+{\frac {\left(p+\varepsilon \right)v^{2}}{1-v^{2}}}>0}$

para el campo electromagnético

${\displaystyle T=0,\quad T_{0}^{0}={1 \over 2}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)>0}$

Teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación 31 se reescribe entonces como una desigualdad.

con la igualdad relativa al espacio vacío.

Utilizando la desigualdad algebraica

${\displaystyle \varkappa _{\beta }^{\alpha }\varkappa _{\alpha }^{\beta }\geq {\frac {1}{3}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}$

La ecuación 34 se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{6}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}\leq 0}$.

Dividiendo ambos lados a${\displaystyle \left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}$y utilizando la igualdad

${\displaystyle {\frac {1}{\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$

se llega a la desigualdad

Por ejemplo,${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }>0}$en algún momento del tiempo. Debido a que la derivada es positiva, entonces la razón${\textstyle {\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$disminuye con el tiempo decreciente, teniendo siempre una derivada finita distinta de cero y, por lo tanto, debería volverse cero, viniendo del lado positivo, durante un tiempo finito. En otras palabras,${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$se convierte${\displaystyle +\infty }$y porque${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\partial \ln \gamma /\partial t}$, esto significa que el determinante${\displaystyle \gamma }$se convierte en cero (según la ecuación 35, no más rápido que${\displaystyle t^{6}}$). Si, por otro lado,${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }<0}$Inicialmente, lo mismo ocurre al aumentar el tiempo.

Se puede obtener una idea sobre el espacio en la singularidad considerando el tensor métrico diagonalizado . La diagonalización hace que los elementos del${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$matriz cero en todas partes excepto en la diagonal principal cuyos elementos son los tres valores propios${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$y${\displaystyle \lambda _{3}}$; estos son tres valores reales cuando el discriminante del polinomio característico es mayor o igual a cero o un valor real y dos valores complejos conjugados cuando el discriminante es menor que cero. Entonces el determinante${\displaystyle \gamma }$es simplemente el producto de los tres autovalores. Si solo uno de estos autovalores se vuelve cero, entonces todo el determinante es cero. Supongamos, por ejemplo, que el autovalor real se vuelve cero (${\displaystyle \lambda _{1}=0}$). Luego la matriz diagonalizada${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$se convierte en una matriz de 2 × 2 con los valores propios (generalmente complejos conjugados)${\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}}$en la diagonal principal. Pero esta matriz es el tensor métrico diagonalizado del espacio donde${\displaystyle \gamma =0}$; por lo tanto, lo anterior sugiere que en la singularidad (${\displaystyle \gamma =0}$) el espacio es bidimensional cuando solo un valor propio se vuelve cero.

Geométricamente, la diagonalización es una rotación de la base de los vectores que componen la matriz de tal manera que la dirección de los vectores base coincida con la dirección de los autovectores . Si${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$es una matriz simétrica real , los autovectores forman una base ortonormal que define un paralelepípedo rectangular cuya longitud, anchura y altura son las magnitudes de los tres autovalores. Este ejemplo es especialmente demostrativo en el sentido de que el determinante${\displaystyle \gamma }$El volumen del paralelepípedo es igual a longitud × anchura × altura, es decir, el producto de los autovalores. Si se iguala el volumen del paralelepípedo a cero, por ejemplo, igualando la altura a cero, queda solo una cara del paralelepípedo, un espacio bidimensional, cuya área es longitud × anchura. Si se continúa con la obliteración e igualando la anchura a cero, queda una línea de longitud , un espacio unidimensional. Si se iguala aún más la longitud a cero, queda solo un punto, un espacio de dimensión cero, que marca el lugar donde se encontraba el paralelepípedo.

Una analogía de la óptica geométrica es la comparación de la singularidad con las cáusticas, como el patrón brillante de la Fig. 3, que muestra las cáusticas formadas por un vaso de agua iluminado desde la derecha. Los rayos de luz son una analogía de las líneas de tiempo de los observadores en caída libre localizados en la hipersuperficie sincronizada. A juzgar por los lados aproximadamente paralelos del contorno de la sombra proyectada por el vaso, se puede suponer que la fuente de luz se encuentra a una distancia prácticamente infinita del vaso (como el sol), pero esto no es seguro, ya que la fuente de luz no se muestra en la foto. Por lo tanto, se puede suponer que los rayos de luz (líneas de tiempo) son paralelos sin que esto se demuestre con certeza. El vaso de agua es una analogía de las ecuaciones de Einstein o del agente o agentes que las originan, los cuales curvan las líneas de tiempo para formar el patrón de cáusticas (la singularidad). Este último no es tan simple como la cara de un paralelepípedo, sino una compleja mezcla de diversos tipos de intersecciones. Se puede distinguir una superposición de espacios bidimensionales, unidimensionales o cero-dimensionales, es decir, una mezcla de superficies y líneas, algunas de las cuales convergen en un punto ( cúspide ), como la formación en punta de flecha en el centro del patrón de cáusticas. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La conclusión de que los campos vectoriales geodésicos de tipo temporal deben alcanzar inevitablemente una singularidad después de un tiempo finito fue alcanzada independientemente por Raychaudhuri mediante otro método que condujo a la ecuación de Raychaudhuri , también llamada ecuación de Landau-Raychaudhuri para honrar a ambos investigadores.

• Coordenadas normales
• Congruencia (relatividad general) , para una derivación de la descomposición cinemática y de la ecuación de Raychaudhuri.

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