Teorema de Synge

En matemáticas , específicamente en geometría riemanniana , el teorema de Synge es un resultado clásico que relaciona la curvatura de una variedad riemanniana con su topología . Recibe su nombre de John Lighton Synge , quien lo demostró en 1936 .

Sea M una variedad riemanniana cerrada con curvatura seccional positiva . El teorema afirma:

• Si M es de dimensión par y orientable , entonces M es simplemente conexo .
• Si M es de dimensión impar, entonces es orientable.

En particular, una variedad cerrada de dimensión par solo puede soportar una métrica riemanniana de curvatura positiva si su grupo fundamental tiene uno o dos elementos.

La demostración del teorema de Synge se puede resumir de la siguiente manera: ^{[ 1 ]} Dada una geodésica S ¹ → M con un campo vectorial ortogonal y paralelo a lo largo de la geodésica (es decir, una sección paralela del fibrado normal a la geodésica), entonces el cálculo previo de Synge de la segunda fórmula de variación para la longitud de arco muestra inmediatamente que la geodésica puede deformarse de manera que se acorte su longitud. La única herramienta utilizada en esta etapa es la suposición sobre la curvatura de la sección.

La construcción de un campo vectorial paralelo a lo largo de cualquier trayectoria es automática mediante transporte paralelo ; la no trivialidad en el caso de un bucle reside en si los valores en los extremos coinciden. Esto se reduce a un problema de álgebra lineal pura : sea V un espacio real de producto interno de dimensión finita con T : V → V una aplicación lineal ortogonal con un vector propio v con valor propio uno. Si el determinante de T es positivo y la dimensión de V es par, o alternativamente si el determinante de T es negativo y la dimensión de V es impar, entonces existe un vector propio w de T con valor propio uno que es ortogonal a v . En este contexto, V es el espacio tangente a M en un punto de un bucle geodésico, T es la aplicación de transporte paralelo definida por el bucle, y v es el vector tangente a la geodésica.

Dado cualquier bucle no contraíble en una variedad riemanniana completa, existe un representante de su clase de homotopía (libre) que tiene la longitud de arco mínima posible, y es una geodésica. ^{[ 2 ]} Según el cálculo de Synge, esto implica que no puede haber un campo vectorial paralelo y ortogonal a lo largo de esta geodésica. Sin embargo:

• La orientabilidad implica que el mapa de transporte paralelo a lo largo de cada bucle tiene determinante positivo. La dimensionalidad par implica entonces la existencia de un campo vectorial paralelo, ortogonal a la geodésica.
• La no orientabilidad implica que el bucle no contraíble puede elegirse de manera que el mapa de transporte paralelo tenga determinante negativo. La dimensionalidad impar implica entonces la existencia de un campo vectorial paralelo, ortogonal a la geodésica.

Esta contradicción establece la inexistencia de bucles no contraíbles en el primer caso, y la imposibilidad de no orientabilidad en el segundo.

Alan Weinstein reformuló posteriormente la demostración para establecer puntos fijos de isometrías , en lugar de propiedades topológicas de la variedad subyacente. ^{[ 3 ]}

Fuentes.

• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Geometría riemanniana . Matemáticas: Teoría y aplicaciones (Traducido de la segunda edición portuguesa de la  edición original de 1979). Boston, MA: Birkhäuser Boston . ISBN 978-0-8176-3490-2. SEÑOR 1138207 . Zbl 0752.53001 .  
• Jost, Jürgen (2017). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Universitext (Séptima edición de  la edición original de 1995). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN 978-3-319-61859-3. SEÑOR 3726907 . Zbl 1380.53001 .  
• Petersen, Peter (2016). Geometría riemanniana . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  171 (Tercera edición de la edición original de 1998  ). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7. SEÑOR 3469435 . Zbl 1417.53001 .  
• Synge, John Lighton (1936). "Sobre la conectividad de espacios de curvatura positiva". Quarterly Journal of Mathematics . Oxford Series. 7 (1): 316– 320. doi : 10.1093/qmath/os-7.1.316 . JFM 62.0861.04 . Zbl 0015.41601 .