La conjetura de Szpiro

En teoría de números , la conjetura de Szpiro se relaciona con el conductor y el discriminante de una curva elíptica . En una forma ligeramente modificada, es equivalente a la conocida conjetura abc . Recibe su nombre de Lucien Szpiro , quien la formuló en la década de 1980. La conjetura de Szpiro y sus formas equivalentes han sido descritas como "el problema sin resolver más importante en el análisis diofántico " por Dorian Goldfeld , ^{[ 1 ]} en parte debido a su gran número de consecuencias en teoría de números, incluyendo el teorema de Roth , la conjetura de Mordell , la conjetura de Fermat-Catalán y el problema de Brocard . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

La conjetura afirma que: dado ε > 0, existe una constante C ( ε ) tal que para cualquier curva elíptica E definida sobre Q con discriminante mínimo Δ y conductor f ,

${\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

La conjetura de Szpiro modificada establece que: dado ε > 0, existe una constante C ( ε ) tal que para cualquier curva elíptica E definida sobre Q con invariantes c ₄ , c ₆ y conductor f (usando la notación del algoritmo de Tate ),

${\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

Se sabe que la conjetura de Szpiro y su forma modificada implican varios resultados y conjeturas matemáticas importantes, incluyendo el teorema de Roth , ^{[ 8 ]} el teorema de Faltings , ^{[ 9 ]} la conjetura de Fermat-Catalán , ^{[ 10 ]} y una solución negativa al problema de Erdős-Ulam . ^{[ 11 ]}

En agosto de 2012, Shinichi Mochizuki afirmó haber demostrado la conjetura de Szpiro mediante el desarrollo de una nueva teoría denominada teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT). ^{[ 12 ]} Sin embargo, la comunidad matemática no aceptó estos trabajos como prueba de la conjetura, ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} y Peter Scholze y Jakob Stix concluyeron en marzo de 2018 que presentaban problemas «tan graves que… pequeñas modificaciones no bastarían para salvar la estrategia de demostración». ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• teoría de Arakelov

• Lang, S. (1997), Estudio de la geometría diofántica , Berlín: Springer-Verlag , p.  51, ISBN 3-540-61223-8, Zbl 0869.11051 
• Szpiro, L. (1981). "Propiétés numériques du faisceau dualisant rélatif". Seminario sobre las pinzas de los cursos de género au moins deux (PDF) . Astérisco. vol.  86. págs. 44–78 . Zbl 0517.14006 .  
• Szpiro, L. (1987), "Présentation de la théorie d'Arakelov", Contemp. Matemáticas. , Matemáticas Contemporáneas, vol.  67, págs. 279–293 , doi : 10.1090/conm/067/902599 , ISBN  9780821850749, Zbl 0634.14012