Prueba t de Student

Una prueba t de Student de una muestra es una prueba de localización para determinar si la media de una población tiene un valor especificado en una hipótesis nula . Al probar la hipótesis nula de que la media poblacional es igual a un valor especificado μ ₀ , se utiliza el estadístico

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}},}$

dónde${\displaystyle {\bar {x}}}$es la media muestral, s es la desviación estándar muestral y n es el tamaño de la muestra. Los grados de libertad utilizados en esta prueba son n  −  1. Aunque la población original no necesita tener una distribución normal, la distribución de la población de medias muestrales sí la tiene.${\displaystyle {\bar {x}}}$Se supone que es normal.

Según el teorema del límite central , si las observaciones son independientes y existe el segundo momento, entonces${\displaystyle t}$será aproximadamente normal${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$Esto es solo una aproximación, ya que el teorema del límite central se aplicaría a t si s fuera la desviación estándar real de x , mientras que se trata de la desviación estándar muestral , dado que la desviación estándar real generalmente no se conoce. Por lo tanto, t sigue asintóticamente una distribución t de Student.

Una prueba de localización de dos muestras para la hipótesis nula de que las medias de dos poblaciones son iguales. Todas estas pruebas se denominan habitualmente pruebas t de Student , aunque, estrictamente hablando, este nombre solo debería utilizarse si también se asume que las varianzas de las dos poblaciones son iguales; la forma de la prueba que se utiliza cuando se omite este supuesto se denomina a veces prueba t de Welch . Estas pruebas suelen denominarse pruebas t para muestras independientes o no pareadas , ya que se aplican normalmente cuando las unidades estadísticas subyacentes a las dos muestras que se comparan no se solapan. ^{[ 14 ]}

Las pruebas t de dos muestras para una diferencia en las medias involucran muestras independientes (muestras no pareadas) o muestras pareadas . Las pruebas t pareadas son una forma de bloqueo y tienen mayor potencia (probabilidad de evitar un error de tipo II, también conocido como falso negativo) que las pruebas no pareadas cuando las unidades pareadas son similares con respecto a "factores de ruido" (ver factor de confusión ) que son independientes de la pertenencia a los dos grupos que se comparan. ^{[ 15 ]} En un contexto diferente, las pruebas t pareadas pueden usarse para reducir los efectos de los factores de confusión en un estudio observacional .

Supongamos que uno está ajustando el modelo.

${\displaystyle Y=\alpha +\beta x+\varepsilon ,}$

donde x es conocido, α y β son desconocidos, ε es una variable aleatoria con distribución normal, media 0 y varianza desconocida ^σ² , e Y es el resultado de interés. Queremos contrastar la hipótesis nula de que la pendiente β es igual a un valor específico β₀ ₍ que suele considerarse 0, en cuyo caso la hipótesis nula es que x e y no están correlacionadas).

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}&={\text{least-squares estimators}},\\SE_{\hat {\alpha }},SE_{\hat {\beta }}&={\text{the standard errors of least-squares estimators}}.\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\hat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

tiene una distribución t con n − 2 grados de libertad si la hipótesis nula es verdadera. El error estándar del coeficiente de pendiente es:

${\displaystyle SE_{\hat {\beta }}={\frac {\sqrt {\displaystyle {\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

puede escribirse en términos de los residuos. Sea

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varepsilon }}_{i}&=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x_{i})={\text{residuals}}={\text{estimated errors}},\\{\text{SSR}}&=\sum _{i=1}^{n}{{\hat {\varepsilon }}_{i}}^{2}={\text{sum of squares of residuals}}.\end{aligned}}}$

Entonces, _{la puntuación} t viene dada por

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {({\hat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {\frac {SSR}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}.}$

Otra forma de determinar la _puntuación t es

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {r{\sqrt {n-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}},}$

donde r es el coeficiente de correlación de Pearson .

La puntuación t _{, intersección,} se puede determinar a partir de la puntuación t _{, pendiente} :

${\displaystyle t_{\text{score,intercept}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {t_{\text{score,slope}}}{\sqrt {s_{\text{x}}^{2}+{\bar {x}}^{2}}}},}$

donde s _x ² es la varianza de la muestra.

La prueba ^{[ 25 ]} aborda el famoso problema de Behrens-Fisher , es decir, comparar la diferencia entre las medias de dos poblaciones con distribución normal cuando no se supone que las varianzas de las dos poblaciones sean iguales, basándose en dos muestras independientes.

La prueba se desarrolla como una prueba exacta que permite tamaños de muestra desiguales y varianzas desiguales de dos poblaciones. La propiedad exacta se mantiene incluso con tamaños de muestra extremadamente pequeños y desequilibrados (por ejemplo${\displaystyle \ m\equiv n_{\mathsf {X}}=50\ }$vs.${\displaystyle \ n\equiv n_{\mathsf {Y}}=5\ }$).

La estadística para comprobar si las medias son diferentes se puede calcular de la siguiente manera:

Dejar${\displaystyle \ X=\left[\ X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}\ \right]^{\top }\ }$y${\displaystyle \ Y=\left[\ Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\ \right]^{\top }\ }$sean los vectores de muestra i.i.d. (para${\displaystyle \ m\geq n\ }$) de${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {X}},\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ \right)\ }$y${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {Y}},\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ \right)\ }$por separado.

Dejar${\displaystyle \ (P^{\top })_{n\times n}\ }$frijol${\displaystyle n\times n}$matriz ortogonal cuyos elementos de la primera fila son todos${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {n\ }}}\ ,}$De manera similar, dejemos${\displaystyle \ (Q^{\top })_{n\times m}\ }$Sé el primero${\displaystyle \ n\ }$filas de un${\displaystyle \ m\times m\ }$matriz ortogonal (cuyos elementos de la primera fila son todos${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {m\ }}}\ }$).

Entonces${\displaystyle \ Z\equiv {\frac {\ \left(Q^{\top }\right)_{n\times m}\ X\ }{\sqrt {m\ }}}\ -\ {\frac {\ \left(P^{\top }\right)_{n\times n}\ Y\ }{\sqrt {n\ }}}\ }$es un vector aleatorio normal n -dimensional:

${\displaystyle Z~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ \left[\ \mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}},\ 0,\ 0,\ \ldots ,\ 0\ \right]^{\top }\ ,\ \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)\ I_{n}\ \right)~.}$

De la distribución anterior vemos que el primer elemento del vector Z es

${\displaystyle Z_{1}={\bar {X}}-{\bar {Y}}={\frac {1}{\ m\ }}\sum _{i=1}^{m}\ X_{i}-{\frac {1}{\ n\ }}\sum _{j=1}^{n}\ Y_{j}\ ,}$

por lo tanto el primer elemento se distribuye como

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ 0,\ {\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\ \right)\ ,}$

y los cuadrados de los elementos restantes de Z se distribuyen según una distribución chi-cuadrado.

${\displaystyle {\frac {\ \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ }{\ n-1\ }}~\sim ~{\frac {\ \chi _{n-1}^{2}\ }{\ n-1\ }}\times \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)}$

y mediante la construcción de las matrices ortogonales P y Q tenemos

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\quad \perp \quad \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ ,}$

por lo tanto , Z ₁ , el primer elemento de Z , es estadísticamente independiente de los elementos restantes por ortogonalidad. Finalmente, tomemos para el estadístico de prueba

${\displaystyle T_{\mathsf {e}}~\equiv ~{\frac {\ Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\ }{\ {\sqrt {\left(\sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\right)/\left(n-1\right)\ }}\ }}~\sim ~t_{n-1}~.}$

Esta prueba se utiliza cuando las muestras son dependientes; es decir, cuando hay una sola muestra que se ha analizado dos veces (medidas repetidas) o cuando hay dos muestras que se han emparejado. Este es un ejemplo de una prueba de diferencia pareada . El estadístico t se calcula como

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{D}-\mu _{0}}{s_{D}/{\sqrt {n}}}},}$

dónde${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$y${\displaystyle s_{D}}$son la media y la desviación estándar de las diferencias entre todos los pares. Los pares son, por ejemplo, las puntuaciones de una persona antes y después de la prueba, o bien pares de personas agrupadas de forma significativa (por ejemplo, de la misma familia o grupo de edad: véase la tabla). La constante _μ₀ es cero si queremos comprobar si la media de la diferencia es significativamente diferente. El grado de libertad utilizado es n − 1 , donde n representa el número de pares.

Si se sigue el enfoque para varianzas desiguales (discutido anteriormente), los resultados son:

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\approx 0.04849}$

y los grados de libertad

${\displaystyle {\text{d.f.}}\approx 7.031.}$

El estadístico de prueba es aproximadamente 1,959, lo que da un valor p de prueba bilateral de 0,09077.

Si se sigue el enfoque para varianzas iguales (discutido anteriormente), los resultados son

${\displaystyle s_{p}\approx 0.08399}$

y los grados de libertad

${\displaystyle {\text{d.f.}}=10.}$

El estadístico de prueba es aproximadamente igual a 1,959, lo que da un valor p bilateral de 0,07857.

La prueba t proporciona una prueba exacta para la igualdad de las medias de dos poblaciones normales i.i.d. con varianzas desconocidas, pero iguales. ( La prueba t de Welch es una prueba casi exacta para el caso en que los datos son normales pero las varianzas pueden diferir). Para muestras moderadamente grandes y una prueba unilateral, la prueba t es relativamente robusta ante violaciones moderadas del supuesto de normalidad. ^{[ 26 ]} En muestras suficientemente grandes, la prueba t se aproxima asintóticamente a la prueba z y se vuelve robusta incluso ante grandes desviaciones de la normalidad. ^{[ 18 ]}

Si los datos no siguen una distribución normal de forma significativa y el tamaño de la muestra es pequeño, la prueba t puede arrojar resultados engañosos. Consulte la prueba de localización para distribuciones de mezcla de escala gaussiana para obtener información teórica relacionada con una familia particular de distribuciones no normales.

Cuando no se cumple el supuesto de normalidad, una alternativa no paramétrica a la prueba t puede tener mayor potencia estadística . Sin embargo, cuando los datos no son normales con varianzas diferentes entre grupos, una prueba t puede tener un mejor control del error de tipo 1 que algunas alternativas no paramétricas. ^{[ 27 ]} Además, los métodos no paramétricos, como la prueba U de Mann-Whitney que se analiza más adelante, generalmente no prueban una diferencia de medias, por lo que deben usarse con precaución si una diferencia de medias es de interés científico primordial. ^{[ 18 ]} Por ejemplo, la prueba U de Mann-Whitney mantendrá el error de tipo 1 en el nivel alfa deseado si ambos grupos tienen la misma distribución. También tendrá potencia para detectar una alternativa por la cual el grupo B tiene la misma distribución que A pero después de algún desplazamiento por una constante (en cuyo caso sí habría una diferencia en las medias de los dos grupos). Sin embargo, podría haber casos en los que los grupos A y B tengan distribuciones diferentes pero con la misma media (por ejemplo, dos distribuciones, una con asimetría positiva y la otra con asimetría negativa, pero desplazadas de tal manera que tengan la misma media). En tales casos, MW podría tener una potencia superior al nivel alfa para rechazar la hipótesis nula, pero atribuir la interpretación de la diferencia de medias a dicho resultado sería incorrecto.

En presencia de un valor atípico , la prueba t no es robusta. Por ejemplo, para dos muestras independientes cuando las distribuciones de datos son asimétricas (es decir, las distribuciones están sesgadas ) o las distribuciones tienen colas grandes, entonces la prueba de suma de rangos de Wilcoxon (también conocida como prueba U de Mann-Whitney ) puede tener una potencia de tres a cuatro veces mayor que la prueba t . ^{[ 26 ] [ 28 ] [ 29 ]} La contraparte no paramétrica de la prueba t para muestras pareadas es la prueba de rangos con signo de Wilcoxon para muestras pareadas. Para una discusión sobre la elección entre la prueba t y las alternativas no paramétricas, véase Lumley, et al. (2002). ^{[ 18 ]}

El análisis de varianza unidireccional (ANOVA) generaliza la prueba t de dos muestras cuando los datos pertenecen a más de dos grupos.

Cuando en el diseño de dos muestras se presentan tanto observaciones pareadas como independientes, suponiendo que los datos faltan completamente al azar (MCAR), las observaciones pareadas o independientes pueden descartarse para proceder con las pruebas estándar mencionadas anteriormente. Alternativamente, utilizando todos los datos disponibles, suponiendo normalidad y MCAR, se podría emplear la prueba t generalizada para muestras parcialmente superpuestas. ^{[ 30 ]}

Una generalización del estadístico t de Student , denominado estadístico t al cuadrado de Hotelling , permite contrastar hipótesis sobre múltiples medidas (a menudo correlacionadas) dentro de la misma muestra. Por ejemplo, un investigador podría someter a varios sujetos a una prueba de personalidad que consta de múltiples escalas de personalidad (por ejemplo, el Inventario Multifásico de Personalidad de Minnesota ). Dado que las medidas de este tipo suelen estar correlacionadas positivamente, no es recomendable realizar pruebas t univariadas separadas para contrastar hipótesis, ya que estas ignorarían la covarianza entre las medidas e incrementarían la probabilidad de rechazar erróneamente al menos una hipótesis ( error de tipo I ). En este caso, es preferible una única prueba multivariada para contrastar hipótesis. El método de Fisher para combinar múltiples pruebas con alfa reducido para la correlación positiva entre las pruebas es una opción. Otra opción es ^el estadístico T² de Hotelling, ^{que sigue} una distribución T² . Sin embargo, en la práctica ^, esta distribución rara vez se utiliza, ya que los valores tabulados para T² son difíciles de encontrar. Por lo general, T² se convierte en un estadístico F.

Para una prueba multivariante de una muestra, la hipótesis es que el vector de medias ( μ ) es igual a un vector dado ( _μ₀ ) . El estadístico de prueba es ^la t de Hotelling² :

${\displaystyle t^{2}=n({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})'{\mathbf {S} }^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})}$

donde n es el tamaño de la muestra, x es el vector de medias de columna y S es una matriz de covarianza muestral m × m .

_{Para una prueba multivariante de} dos muestras, la hipótesis es que los vectores de medias ( μ₁ , μ₂ ) de dos muestras son iguales. El estadístico de prueba es _la t ^de dos muestras de Hotelling :

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right)'{\mathbf {S} _{\text{pooled}}}^{-1}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right).}$

La prueba t de dos muestras es un caso especial de regresión lineal simple ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]} . Esta relación se ilustra con el siguiente ejemplo.

En un ensayo clínico se examina a 6 pacientes a quienes se les administra un fármaco o un placebo. Tres (3) pacientes reciben 0 unidades del fármaco (grupo placebo). Tres (3) pacientes reciben 1 unidad del fármaco (grupo de tratamiento activo). Al finalizar el tratamiento, los investigadores miden el cambio con respecto al valor inicial en la cantidad de palabras que cada paciente puede recordar en una prueba de memoria.

A continuación se muestra una tabla con los valores de recuerdo de palabras y dosis de medicamentos de los pacientes.

Se proporcionan datos y código para el análisis utilizando el lenguaje de programación R con las t.testfunciones lmpara la prueba t y la regresión lineal. Aquí se muestran los mismos datos (ficticios) generados en R.

> word.recall.data = data.frame ( drug.dose = c ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ), word.recall = c ( 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 ))

Realice la prueba t . Tenga en cuenta que se requiere el supuesto de varianza igual, var.equal=T, para que el análisis sea exactamente equivalente a una regresión lineal simple.

> con ( word.recall.data , t.test ( word.recall ~ drug.dose , var.equal = T ))

Al ejecutar el código R se obtienen los siguientes resultados.

• El valor medio de recuerdo de palabras en el grupo de dosis de fármaco 0 es 2.
• El valor medio de recuerdo de palabras en el grupo de 1 fármaco y dosis es de 6.
• La diferencia entre los grupos de tratamiento en el recuerdo medio de palabras es 6 – 2 = 4.
• La diferencia en el recuerdo de palabras entre las dosis del fármaco es significativa (p=0,00805).

Realice una regresión lineal con los mismos datos. Los cálculos pueden realizarse utilizando la función de R lm()para un modelo lineal.

> word.recall.data.lm = lm ( word.recall ~ drug.dose , data = word.recall.data ) > summary ( word.recall.data.lm )

La regresión lineal proporciona una tabla de coeficientes y valores p.

La tabla de coeficientes arroja los siguientes resultados.

• El valor estimado de 2 para la intersección es el valor medio del recuerdo de la palabra cuando la dosis del fármaco es 0.
• El valor estimado de 4 para la dosis del fármaco indica que, por cada unidad de cambio en la dosis (de 0 a 1), se produce un cambio de 4 unidades en el recuerdo medio de palabras (de 2 a 6). Esta es la pendiente de la línea que une las medias de los dos grupos.
• El valor p de que la pendiente de 4 sea diferente de 0 es p = 0,00805.

Los coeficientes de la regresión lineal especifican la pendiente y la intersección de la línea que une las medias de los dos grupos, como se muestra en el gráfico. La intersección es 2 y la pendiente es 4.

Compare el resultado de la regresión lineal con el resultado de la prueba t .

• Según la prueba t , la diferencia entre las medias de los grupos es 6-2=4.
• Según la regresión, la pendiente también es 4, lo que indica que un cambio de 1 unidad en la dosis del fármaco (de 0 a 1) produce un cambio de 4 unidades en el recuerdo medio de palabras (de 2 a 6).
• El valor p de la prueba t para la diferencia de medias y el valor p de la regresión para la pendiente son ambos 0,00805. Los métodos dan resultados idénticos.

Este ejemplo muestra que, en el caso particular de una regresión lineal simple con una única variable x que toma los valores 0 y 1, la prueba t arroja los mismos resultados que la regresión lineal. Esta relación también puede demostrarse algebraicamente.

Reconocer esta relación entre la prueba t y la regresión lineal facilita el uso de la regresión lineal múltiple y el análisis de varianza multivariado . Estas alternativas a las pruebas t permiten la inclusión de variables explicativas adicionales asociadas con la respuesta. Incluir dichas variables explicativas adicionales mediante regresión o ANOVA reduce la varianza que de otro modo no se explicaría y, por lo general, proporciona mayor potencia para detectar diferencias que las pruebas t de dos muestras . ^{[ 37 ]}