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Tabla matemática

Páginas enfrentadas de un libro de tablas matemáticas de Matthias Bernegger de 1619 , que muestran los valores de las funciones trigonométricas seno, tangente y secante . Los án...

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Un libro antiguo se abrió en columnas de números etiquetadas como seno, tangente y secante.
Páginas enfrentadas de un libro de tablas matemáticas de Matthias Bernegger de 1619 , que muestran los valores de las funciones trigonométricas seno, tangente y secante . Los ángulos menores de 45° se encuentran en la página izquierda, y los mayores de 45° en la derecha. El coseno, la cotangente y la cosecante se obtienen consultando la entrada de la página opuesta.

Las tablas matemáticas son tablas de información, generalmente numéricas, que muestran los resultados de un cálculo con diferentes argumentos. Las tablas trigonométricas se utilizaban en la antigua Grecia e India para aplicaciones en astronomía y navegación celeste , y su uso se extendió hasta que las calculadoras electrónicas se volvieron económicas y abundantes en la década de 1970, con el fin de simplificar y acelerar drásticamente los cálculos . Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias, y se publicaron tablas especializadas para numerosas aplicaciones.

Tipos

Trigonométrico

En matemáticas , las tablas de funciones trigonométricas son útiles en diversas áreas. Antes de la existencia de las calculadoras de bolsillo , las tablas trigonométricas eran esenciales para la navegación , la ciencia y la ingeniería . El cálculo de tablas matemáticas fue un área de estudio importante que condujo al desarrollo de los primeros dispositivos de cálculo mecánicos . Los cálculos trigonométricos desempeñaron un papel importante en los inicios del estudio de la astronomía. Las primeras tablas se construían aplicando repetidamente identidades trigonométricas (como las identidades del ángulo mitad y la suma de ángulos) para calcular nuevos valores a partir de los antiguos.

Las computadoras modernas y las calculadoras de bolsillo generan valores de funciones trigonométricas bajo demanda, utilizando bibliotecas especiales de código matemático. A menudo, estas bibliotecas emplean tablas precalculadas internamente y obtienen el valor requerido mediante un método de interpolación adecuado . La interpolación de tablas de consulta sencillas de funciones trigonométricas todavía se utiliza en gráficos por computadora , donde la precisión suele ser limitada y la velocidad es primordial.

Otra aplicación importante de las tablas trigonométricas y los esquemas de generación se encuentra en los algoritmos de la transformada rápida de Fourier (FFT), donde los mismos valores de la función trigonométrica (llamados factores de rotación ) deben evaluarse muchas veces en una transformada dada, especialmente en el caso común de que se calculen muchas transformadas del mismo tamaño. En este caso, llamar a las rutinas genéricas de la biblioteca cada vez es inaceptablemente lento. Una opción es llamar a las rutinas de la biblioteca una sola vez para construir una tabla con los valores trigonométricos necesarios, pero esto requiere una cantidad considerable de memoria para almacenar la tabla. La otra posibilidad, dado que se requiere una secuencia regular de valores, es usar una fórmula de recurrencia para calcular los valores trigonométricos sobre la marcha. Se ha dedicado una investigación significativa a encontrar esquemas de recurrencia precisos y estables para preservar la precisión de la FFT (que es muy sensible a los errores trigonométricos).

Una tabla trigonométrica es esencialmente una tabla de referencia que presenta los valores del seno, el coseno, la tangente y otras funciones trigonométricas para diversos ángulos. Estos ángulos suelen estar dispuestos en la fila superior de la tabla, mientras que las diferentes funciones trigonométricas se etiquetan en la primera columna de la izquierda. Para localizar el valor de una función trigonométrica específica en un ángulo determinado, se busca la fila correspondiente a la función y se sigue hasta la columna debajo del ángulo deseado. [ 1 ]

Tablas de logaritmos

Una página del Logarithmorum Chilias Prima de Henry Briggs , de 1617, que muestra el logaritmo en base 10 (común) de los números enteros del 0 al 67 con catorce decimales.
Parte de una tabla de logaritmos comunes del siglo XX en el libro de referencia Abramowitz y Stegun .
Una página de una tabla de logaritmos de funciones trigonométricas del libro American Practical Navigator de 2002. Se incluyen columnas de diferencias para facilitar la interpolación .

Las tablas que contienen logaritmos comunes (base 10) se usaban ampliamente en cálculos antes de la llegada de las calculadoras electrónicas y las computadoras, ya que los logaritmos convierten los problemas de multiplicación y división en problemas de suma y resta mucho más sencillos. Los logaritmos de base 10 tienen una propiedad adicional única y útil: el logaritmo común de números mayores que uno que difieren solo por un factor de una potencia de diez tienen todos la misma parte fraccionaria, conocida como mantisa . Las tablas de logaritmos comunes generalmente incluían solo las mantisas ; la parte entera del logaritmo, conocida como característica , se podía determinar fácilmente contando los dígitos del número original. Un principio similar permite el cálculo rápido de logaritmos de números positivos menores que 1. Por lo tanto, una sola tabla de logaritmos comunes puede usarse para todo el rango de números decimales positivos. [ 2 ] Véase logaritmo común para obtener más detalles sobre el uso de características y mantisas.

Historia

En 1544, Michael Stifel publicó Arithmetica integra , que contiene una tabla de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla logarítmica. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

El método de los logaritmos fue expuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ). [ 6 ] El libro contenía cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas relacionadas con los logaritmos naturales . El matemático inglés Henry Briggs visitó a Napier en 1615 y propuso una reescalación de los logaritmos de Napier para formar lo que ahora se conoce como logaritmos comunes o de base 10. Napier delegó a Briggs el cálculo de una tabla revisada. En 1617, publicaron Logarithmorum Chilias Prima («Los primeros mil logaritmos»), que ofrecía una breve explicación de los logaritmos y una tabla para los primeros 1000 enteros calculados hasta la decimocuarta cifra decimal. Antes de la invención de Napier, existían otras técnicas de alcance similar, como el uso de tablas de progresiones, desarrolladas extensamente por Jost Bürgi alrededor de 1600. [ 7 ] [ 8 ]

El avance computacional que ofrecían los logaritmos comunes, la inversa de los números elevados a la potencia o la notación exponencial , era tal que hacía que los cálculos manuales fueran mucho más rápidos.

Historia y uso

Las tablas matemáticas se han utilizado para registrar datos numéricos por escrito. Los escribas de la antigua Mesopotamia empleaban formatos tabulares para material matemático, administrativo, metrológico y astronómico, lo que convierte a la tabulación en una de las formas más antiguas que aún se conservan de registro numérico organizado. [ 9 ]

Las primeras tablas de funciones trigonométricas conocidas fueron elaboradas por Hiparco (c. 190-c. 120 a. C.) y Menelao (c. 70-140 d. C.), pero ambas se han perdido. Junto con la tabla conservada de Ptolomeo (c. 90-c. 168 d. C.), todas eran tablas de cuerdas y no de semicuerdas, es decir, la función seno . [ 10 ] La tabla producida por el matemático indio Āryabhaṭa (476-550 d. C.) se considera la primera tabla de senos jamás construida. [ 10 ] La tabla de Āryabhaṭa siguió siendo la tabla de senos estándar de la antigua India. Se realizaron continuos intentos por mejorar la precisión de esta tabla, que culminaron con el descubrimiento de las expansiones en series de potencias de las funciones seno y coseno por Madhava de Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425), y la tabulación por Madhava de una tabla de senos con valores precisos hasta siete u ocho decimales.

Estas tablas matemáticas de 1925 fueron distribuidas por la Junta de Exámenes de Ingreso a la Universidad a los estudiantes que presentaban las secciones de matemáticas de las pruebas.

Las tablas de logaritmos comunes se utilizaron hasta la invención de las computadoras y las calculadoras electrónicas para realizar multiplicaciones, divisiones y potenciaciones rápidas, incluyendo la extracción de raíces enésimas . Las tablas de logaritmos permitieron a los usuarios reemplazar algunos problemas de multiplicación y división con el uso de logaritmos y antilogaritmos. Después de que John Napier introdujera los logaritmos a principios del siglo XVII, creadores de tablas como Henry Briggs y Edmund Gunter produjeron tablas logarítmicas y trigonométricas-logarítmicas para cálculos prácticos. Estas tablas redujeron la cantidad de operaciones aritméticas que los usuarios tenían que realizar directamente, especialmente en cálculos repetitivos. [ 11 ]

Página de la Astronomia nova de Johannes Kepler que muestra la tabla impresa “Tabella motus apheliorum et nodorum”. La tabla proporciona valores numéricos para el movimiento de los afelios y los nodos.

Las tablas astronómicas y las efemérides se utilizaban para registrar y predecir las posiciones de los cuerpos celestes. Los astrónomos las empleaban para comparar las observaciones con las posiciones predichas y para conservar los resultados para su uso posterior. Dado que muchos problemas de mecánica celeste no podían resolverse con exactitud mediante fórmulas cerradas , quienes elaboraban las tablas utilizaban métodos de aproximación en astronomía, navegación, topografía y construcción de calendarios. [ 12 ] En las obras astronómicas impresas, las tablas solían colocarse cerca del texto explicativo, de modo que el lector pudiera seguir un cálculo y compararlo con el argumento circundante. Este formato era importante porque una predicción astronómica rara vez consistía en un solo cálculo. El usuario podía consultar primero una columna preparada y luego utilizar otra parte de la página para comparar el resultado con una posición observada. En ese contexto, la tabla facilitaba la repetición de un procedimiento de cálculo más extenso.

La producción de grandes tablas matemáticas también podía requerir mano de obra organizada. En la década de 1790, Gaspard de Prony dirigió un proyecto francés para producir tablas logarítmicas y trigonométricas mediante la división del trabajo entre calculadores capacitados. Los matemáticos más experimentados elegían los métodos, otro grupo organizaba el trabajo y otros trabajadores realizaban las operaciones aritméticas repetitivas. El proyecto se ha descrito como una «fábrica de cálculos» porque la producción de tablas se organizó como un proceso coordinado con etapas separadas para el cálculo y la verificación. [ 13 ]

En el siglo XIX se propusieron computadoras mecánicas de propósito especial, conocidas como máquinas diferenciales, para tabular aproximaciones polinómicas de funciones logarítmicas, es decir, para calcular grandes tablas logarítmicas. Esto se debió principalmente a los errores en las tablas logarítmicas cometidos por los computadores humanos de la época. Los métodos diferenciales permitían generar muchas entradas en una tabla mediante sumas repetidas en lugar de cálculos independientes. Varios diseños de máquinas diferenciales del siglo XIX estaban relacionados con la elaboración de tablas, ya que las tablas impresas requerían largas secuencias de entradas numéricas con precisión constante. Estas máquinas se diseñaron para automatizar una parte específica de la producción de tablas matemáticas, en lugar de funcionar como computadoras de propósito general en el sentido moderno. [ 14 ]

Las primeras computadoras digitales se desarrollaron durante la Segunda Guerra Mundial, en parte para producir tablas matemáticas especializadas para el apuntamiento de la artillería . Esto puso parte de la elaboración de tablas bajo la administración militar y gubernamental, donde se debían producir y verificar grandes cantidades de resultados numéricos. Uno de los últimos esfuerzos importantes para construir dichas tablas fue el Proyecto de Tablas Matemáticas , que se inició en Estados Unidos en 1938 como un proyecto de la Administración de Progreso de Obras (WPA), empleando a 450 empleados desempleados para tabular funciones matemáticas superiores. Se mantuvo durante toda la Segunda Guerra Mundial. [ 15 ] El proyecto demuestra que la elaboración de tablas continuó como una forma de computación humana organizada en el siglo XX. Sus trabajadores calculaban entradas, verificaban resultados y preparaban tablas para su publicación. El proyecto también ocupó una posición de transición entre la elaboración manual de tablas y la computación electrónica posterior.

El uso de tablas matemáticas impresas disminuyó en la segunda mitad del siglo XX a medida que las calculadoras electrónicas se volvieron más económicas y portátiles. La HP-35 , presentada en 1972, fue una de las primeras calculadoras científicas de mano y podía realizar muchas funciones que antes requerían tablas impresas o reglas de cálculo . [ 16 ] A partir de 1972, con el lanzamiento y el creciente uso de las calculadoras científicas , la mayoría de las tablas matemáticas cayeron en desuso.

Todavía se utilizan tablas de funciones especiales . Por ejemplo, el uso de tablas de valores de la función de distribución acumulativa de la distribución normal —las llamadas tablas normales estándar— sigue siendo habitual hoy en día, especialmente en los centros educativos, aunque el uso de calculadoras científicas y gráficas , así como de hojas de cálculo y software estadístico especializado en ordenadores personales, está haciendo que dichas tablas resulten innecesarias.

La creación de tablas almacenadas en memoria RAM es una técnica común de optimización de código en programación informática. El uso de estas tablas acelera los cálculos cuando la consulta a la tabla es más rápida que los cálculos correspondientes, especialmente si el ordenador no dispone de una implementación de hardware para dichos cálculos. En esencia, se sacrifica velocidad de cálculo a cambio del espacio de memoria necesario para almacenar las tablas. En programación, la tabla ya no suele ser un objeto impreso. Sin embargo, el funcionamiento básico es similar: se prepara un valor con antelación para poder recuperarlo posteriormente en lugar de recalcularlo.

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Tabla de trigonometría: El aprendizaje de la tabla de trigonometría se simplifica" . Notas de Yogiraj | Apuntes de estudio general y derecho . Consultado el 2 de noviembre de 2023 .
  2. ↑ ER Hedrick, Tablas logarítmicas y trigonométricas (Macmillan, Nueva York, 1913).
  3. ^ Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra , Londres: Iohan Petreium
  4. ↑ Bukhshtab, AA; Pechaev, VI (2001) [1994], "Aritmética" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  5. ↑ Vivian Shaw Groza y Susanne M. Shelley (1972), Matemáticas precalculus , Nueva York: Holt, Rinehart and Winston, pág. 182, ISBN  978-0-03-077670-0
  6. ↑ Ernest William Hobson (1914), John Napier y la invención de los logaritmos, 1614 , Cambridge: The University Press
  7. ↑ Folkerts, Menso ; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), "Método de Jost Bürgi para calcular los senos", Historia Mathematica , 43 (2): 133– 147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001 , MR 3489006 , S2CID 119326088  
  8. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Jost Bürgi (1552 – 1632)" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
  9. ↑ Robson, Eleanor (2003). «Tablas y formato tabular en Sumeria, Babilonia y Asiria, 2500 a. C.–50 d. C.». En Campbell-Kelly, Martin; Croarken, Mary; Flood, Raymond; Robson, Eleanor (eds.). La historia de las tablas matemáticas: de Sumeria a las hojas de cálculo . Oxford University Press. págs. 19–48 . 
  10. 1 2 J J O'Connor y EF Robertson (junio de 1996). "Las funciones trigonométricas" . Recuperado el 4 de marzo de 2010 .
  11. ↑ Jagger, Graham (2003). «La creación de tablas de logaritmos». En Campbell-Kelly, Martin; Croarken, Mary; Flood, Raymond; Robson, Eleanor (eds.). La historia de las tablas matemáticas: desde Sumeria hasta las hojas de cálculo . Oxford University Press. págs. 49–78 . 
  12. ↑ Norberg, Arthur L. (2003). «Elaboración de tablas en astronomía». En Campbell-Kelly, Martin; Croarken, Mary; Flood, Raymond; Robson, Eleanor (eds.). La historia de las tablas matemáticas: desde Sumeria hasta las hojas de cálculo . Oxford University Press. pp. 177–208 . 
  13. ↑ Grattan-Guinness, Ivor (2003). «La fábrica de cálculos: el proyecto de De Prony para la creación de tablas en la década de 1790». En Campbell-Kelly, Martin; Croarken, Mary; Flood, Raymond; Robson, Eleanor (eds.). Historia de las tablas matemáticas: desde Sumeria hasta las hojas de cálculo . Oxford University Press. pp. 105–122 . 
  14. ↑ Williams, Michael R. (2003). «Máquinas de diferencias: De Müller a Comrie». En Campbell-Kelly, Martin; Croarken, Mary; Flood, Raymond; Robson, Eleanor (eds.). La historia de las tablas matemáticas: De Sumer a las hojas de cálculo . Oxford University Press. pp. 123–144 . 
  15. ↑ Grier, David Alan (1998). "El proyecto de tablas matemáticas de la Administración de Proyectos de Obras: el inicio reticente de la era de la computación". IEEE Annals of the History of Computing . 20 (3): 33– 50. doi : 10.1109/85.707573 . ISSN 1058-6180 . 
  16. ↑ "Desarrollo de la HP-35, la primera calculadora científica portátil, 1972" . Wiki de Historia de la Ingeniería y la Tecnología . Centro de Historia del IEEE . Consultado el 29 de mayo de 2026 .