Ley cero-uno de Kolmogorov

En teoría de la probabilidad , la ley cero-uno de Kolmogorov , nombrada en honor a Andrey Nikolaevich Kolmogorov , especifica que un cierto tipo de evento , a saber, un evento de cola de σ- álgebras independientes , ocurrirá casi con seguridad o no ocurrirá casi con seguridad; es decir, la probabilidad de que ocurra tal evento es cero o uno.

Los eventos de cola se definen en términos de familias infinitamente numerables de σ -álgebras. A modo de ejemplo, presentamos aquí el caso especial en el que cada álgebra sigma es generada por una variable aleatoria.${\displaystyle X_{k}}$para${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {F}}}$sea ​​el álgebra sigma generada conjuntamente por todos los${\displaystyle X_{k}}$Luego, un evento de cola${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$es un evento cuya ocurrencia no puede depender del resultado de una subfamilia finita de estas variables aleatorias. (Nota:${\displaystyle F}$perteneciente a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$implica que la pertenencia a${\displaystyle F}$está determinado de forma única por los valores de la${\displaystyle X_{k}}$, pero esta última condición es estrictamente más débil y no basta para probar la ley cero-uno.) Por ejemplo, el evento de que la secuencia de la${\displaystyle X_{k}}$converge , y el evento de que su suma converja son ambos eventos de cola. Si el${\displaystyle X_{k}}$son, por ejemplo, todos distribuidos por Bernoulli , entonces el evento de que haya infinitos${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle X_{k}=X_{k+1}=\dots =X_{k+100}=1}$es un evento de cola. Si cada${\displaystyle X_{k}}$modela el resultado de la${\displaystyle k^{th}}$En un modelo de lanzamiento de moneda, dentro de una secuencia infinita de lanzamientos, esto significa que una secuencia de 100 caras consecutivas que se repiten infinitas veces es un evento de cruz en este modelo.

Los eventos de cola son precisamente aquellos eventos cuya ocurrencia aún puede determinarse si un segmento inicial arbitrariamente grande pero finito de la${\displaystyle X_{k}}$se elimina.

En muchas situaciones, puede ser fácil aplicar la ley de Kolmogorov de probabilidad cero-uno para demostrar que un evento tiene probabilidad 0 o 1, pero sorprendentemente difícil determinar cuál de estos dos valores extremos es el correcto.

Una formulación más general de la ley cero-uno de Kolmogorov se cumple para secuencias de σ -álgebras independientes. Sea${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$Sea un espacio de probabilidad y sea${\displaystyle F_{n}}$sea ​​una secuencia de σ -álgebras contenidas en${\displaystyle F}$. Dejar

${\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}}$

ser el más pequeño${\displaystyle \sigma }$-álgebra que contiene${\displaystyle F_{n},F_{n+1},...}$. Luego la terminal${\displaystyle \sigma }$-álgebra de la${\displaystyle F_{n}}$se define como${\displaystyle {\mathcal {T}}((F_{n})_{n\in \mathbb {N} })=\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$.

La ley cero-uno de Kolmogorov afirma que, si la${\displaystyle F_{n}}$son estocásticamente independientes , entonces para cualquier evento${\displaystyle E\in {\mathcal {T}}((F_{n})_{n\in \mathbb {N} })}$, uno tiene o${\displaystyle P(E)=0}$o${\displaystyle P(E)=1}$.

La formulación de la ley en términos de variables aleatorias se obtiene a partir de esta última tomando cada${\displaystyle F_{n}}$ser el álgebra σ generada por la variable aleatoria${\displaystyle X_{n}}$. Un evento de cola es entonces, por definición, un evento que es medible con respecto al σ -álgebra generada por todos${\displaystyle X_{n}}$, pero que es independiente de cualquier número finito de${\displaystyle X_{n}}$. Es decir, un evento de cola es precisamente un elemento del álgebra σ terminal.${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}}$.

1. Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ Sea un espacio de probabilidad estándar y sea${\displaystyle T}$ sea ​​una transformación invertible que preserve la medida . Entonces${\displaystyle T}$ se denomina automorfismo de Kolmogorov o K -automorfismo, K -transformación o K -desplazamiento, si existe un subálgebra sigma${\displaystyle {\mathcal {K}}\subset {\mathcal {B}}}$ de tal manera que se cumplan las tres propiedades siguientes:$${\displaystyle {\mbox{(1) }}{\mathcal {K}}\subset T{\mathcal {K}}}$$$${\displaystyle {\mbox{(2) }}\bigvee _{n=0}^{\infty }T^{n}{\mathcal {K}}={\mathcal {B}}}$$$${\displaystyle {\mbox{(3) }}\bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {K}}=\{X,\varnothing \}}$$Aquí, el símbolo${\displaystyle \lor }$ es la unión de álgebras sigma , mientras que${\displaystyle \cap }$ es intersección de conjuntos . La igualdad debe entenderse como válida casi en todas partes , es decir, que difiere como máximo en un conjunto de medida cero . Un K -automorfismo por construcción necesariamente obedece la Ley 0-1 de Kolmogorov. Se puede demostrar además que todos los automorfismos de Bernoulli son K -automorfismos, pero no a la inversa .
2. La presencia de un cúmulo infinito en el contexto de la teoría de la percolación también obedece la ley 0-1.
3. Dejar${\displaystyle \{X_{n}\}_{n}}$Sea una secuencia de variables aleatorias independientes, entonces el evento${\displaystyle E}$A continuación se define un evento de cola:$${\displaystyle E=\left\{\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\text{ existe }}\right\}}$$Por lo tanto, según la ley 0-1 de Kolmogorov, tiene una probabilidad de 0 o 1 de ocurrir. Nótese que se requiere independencia para que se cumpla la condición del evento de cola. Sin independencia podemos considerar una secuencia que sea${\displaystyle (0,0,0,\dots )}$o${\displaystyle (1,1,1,\dots )}$con probabilidad${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$cada uno. En este caso la suma converge con probabilidad${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

Los "eventos de cola" en la ley de Kolmogorov cero-uno no están relacionados con los "eventos de cola" en el sentido de distribuciones de cola pesada (o las colas largas y los riesgos de cola estrechamente relacionados ). Los eventos que consideramos en este artículo son cosas como la convergencia/no convergencia de secuencias , mientras que este último tipo de evento significa algo así como " valores atípicos ".

• Lema de Borel-Cantelli
• Ley cero-uno de Hewitt-Savage
• Ley cero-uno de Lévy
• sigma-álgebra de cola

• Stroock, Daniel (1999). Teoría de la probabilidad: Una perspectiva analítica (  edición revisada). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-66349-6..
• Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Thomasz (2000). Procesos estocásticos básicos . Saltador . ISBN 3-540-76175-6.
• Rosenthal, Jeffrey S. (2006). Una primera mirada a la teoría rigurosa de la probabilidad . Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. pág . 37. ISBN  978-981-270-371-2.

• El legado de Andrei Nikolaevich Kolmogorov: currículum vitae y biografía. Escuela Kolmogorov. Estudiantes de doctorado y descendientes de A. N. Kolmogorov. Obras, libros, artículos y documentos de A. N. Kolmogorov. Fotografías y retratos de A. N. Kolmogorov.