Ecuación de Tait

En mecánica de fluidos , la ecuación de Tait es una ecuación de estado que se utiliza para relacionar la densidad de un líquido con la presión hidrostática . La ecuación fue publicada originalmente por Peter Guthrie Tait en 1888 en la forma ^[1]

${\displaystyle {\frac {V_{0}-V}{PV_{0}}}={\frac {A}{\Pi +P}}}$

donde es la presión hidrostática además de la atmosférica, es el volumen a presión atmosférica, es el volumen bajo presión adicional y son parámetros determinados experimentalmente. En la referencia se ofrece un estudio histórico muy detallado sobre la ecuación de Tait con la interpretación física de los dos parámetros y . ^[2]${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización V_{0}}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización A,\Pi}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \Pi}$

En 1895, ^{[3] [4]} la ecuación isotérmica original de Tait fue reemplazada por Tammann con una ecuación de la forma

${\displaystyle {K}=-{V_{0}}\left({\frac {\parcial P}{\parcial V}}\right)_{T}={V_{0}}{\frac {(B+P)}{C}}}$

donde es el módulo volumétrico mixto isotérmico. La ecuación anterior se conoce popularmente como ecuación de Tait . La forma integrada se escribe comúnmente ${\estilo de visualización K}$

${\displaystyle V=V_{0}-C\log \left({\frac {B+P}{B+P_{0}}}\right)}$

dónde

• ${\estilo de visualización V\}$es el volumen específico de la sustancia (en unidades de ml / g o m3 ^/ kg)
• ${\estilo de visualización V_{0}}$es el volumen específico en$estilo de visualización P=P_{0}}$
• ${\estilo de visualización B\}$(mismas unidades que ) y (mismas unidades que ) son funciones de la temperatura${\estilo de visualización P_{0}}$${\estilo de visualización C\}$${\estilo de visualización V_{0}}$

La expresión para la presión en términos del volumen específico es

${\displaystyle P=(B+P_{0})\exp \left(-{\frac {V-V_{0}}{C}}\right)-B\,.}$

En el capítulo 3 de la referencia se ofrece un estudio muy detallado de la ecuación de estado de Tait-Tammann con la interpretación física de los dos parámetros empíricos y ^[2] . Se ofrecen expresiones en función de la temperatura para los dos parámetros empíricos y para el agua, el agua de mar, el helio-4 y el helio-3 en toda la fase líquida hasta la temperatura crítica . El caso especial de la fase superenfriada del agua se analiza en el Apéndice D de la referencia. ^[5] El caso del argón líquido entre la temperatura del punto triple y 148 K se trata en detalle en la sección 6 de la referencia. ^[6]${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización B}$$Estilo de visualización T_{c}}$

Otra ecuación de estado isotérmica popular que se conoce con el nombre de "ecuación de Tait" ^{[7] [8]} es el modelo de Murnaghan ^[9] que a veces se expresa como

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}}$

donde es el volumen específico a presión , es el volumen específico a presión , es el módulo volumétrico a y es un parámetro del material. ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización V_{0}}$${\estilo de visualización P_{0}}$$Estilo de visualización K_{0}$${\estilo de visualización P_{0}}$${\estilo de visualización n}$

Esta ecuación, en forma de presión, se puede escribir como

${\displaystyle P={\frac {K_{0}}{n}}[\left({\frac {V_{0}}{V}})^{n}-1\right]+P_{0}={\frac {K_{0}}{n}}[\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}})^{n}-1\right]+P_{0}.}$

donde son las densidades de masa en , respectivamente. Para el agua pura, los parámetros típicos son = 101,325 Pa, = 1000 kg/m3, = 2.15 GPa, y = 7.15. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \rho ,\rho _{0}}$${\estilo de visualización P,P_{0}}$${\estilo de visualización P_{0}}$${\displaystyle \rho_{0}}$$Estilo de visualización K_{0}$${\estilo de visualización n}$

Nótese que esta forma de la ecuación de estado de Tate es idéntica a la de la ecuación de estado de Murnaghan .

El módulo volumétrico tangente predicho por el modelo MacDonald-Tait es

${\displaystyle K=K_{0}\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}\,.}$

Una ecuación de estado relacionada que se puede utilizar para modelar líquidos es la ecuación de Tumlirz (a veces llamada ecuación de Tammann y propuesta originalmente por Tumlirz en 1909 y Tammann en 1911 para agua pura). ^{[4] [10]} Esta relación tiene la forma

${\displaystyle V(P,S,T)=V_{\infty}-K_{1}S+{\frac {\lambda }{P_{0}+K_{2}S+P}}}$

donde es el volumen específico, es la presión, es la salinidad, es la temperatura y es el volumen específico cuando y son parámetros que se pueden ajustar a los datos experimentales. ${\displaystyle V(P,S,T)}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle V_{\infty}}$${\displaystyle P=\infty}$${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, P_ {0}}$

La versión de Tumlirz-Tammann de la ecuación de Tait para agua dulce, es decir, cuando , es ${\estilo de visualización S=0}$

${\displaystyle V=V_{\infty}+{\frac {\lambda}{P_{0}+P}}\,.}$

Para el agua pura, la dependencia de la temperatura de son: ^[10]${\displaystyle V_{\infty},\lambda,P_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=1788.316+21.55053\,T-0.4695911\,T^{2}+3.096363\times 10^{-3}\,T^{3}-0.7341182\times 10^{-5}\,T^{4}\\P_{0}&=5918.499+58.05267\,T-1.1253317\,T^{2}+6.6123869\times 10^{-3}\,T^{3}-1.4661625\times 10^{-5}\,T^{4}\\V_{\infty }&=0.6980547-0.7435626\times 10^{-3}\,T+0.3704258\times 10^{-4}\,T^{2}-0.6315724\times 10^{-6}\,T^{3}\\&+0.9829576\times 10^{-8}\,T^{4}-0.1197269\times 10^{-9}\,T^{5}+0.1005461\times 10^{-11}\,T^{6}\\&-0.5437898\times 10^{-14}\,T^{7}+0.169946\times 10^{-16}\,T^{8}-0.2295063\times 10^{-19}\,T^{9}\end{aligned}}}$

En los ajustes anteriores, la temperatura está en grados Celsius, está en bares, está en cc/g y está en bares-cc/g. ${\displaystyle T}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle V_{\infty }}$${\displaystyle \lambda }$

La relación inversa de Tumlirz-Tammann-Tait para la presión en función del volumen específico es

${\displaystyle P={\frac {\lambda }{V-V_{\infty }}}-P_{0}\,.}$

La fórmula de Tumlirz-Tammann-Tait para el módulo volumétrico tangente instantáneo del agua pura es una función cuadrática de (para una alternativa, consulte ^[4] ) ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K=-V\,{\frac {\partial P}{\partial V}}={\frac {V\,\lambda }{(V-V_{\infty })^{2}}}=(P_{0}+P)+{\frac {V_{\infty }}{\lambda }}(P_{0}+P)^{2}\,.}$

Siguiendo en particular el estudio de las explosiones submarinas y más precisamente de las ondas de choque emitidas, JG Kirkwood propuso en 1965 ^[11] una forma más apropiada de ecuación de estado para describir altas presiones (>1 kbar) expresando el coeficiente de compresibilidad isentrópica como

${\displaystyle -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}={\frac {1}{n(B+P)}}}$

donde representa aquí la entropía. Los dos parámetros empíricos y son ahora función de la entropía tal que ${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle n\ }$es adimensional
• ${\displaystyle B\ }$tiene las mismas unidades que${\displaystyle P}$

La integración conduce a la siguiente expresión para el volumen a lo largo de la línea isentrópica.${\displaystyle V(P,S)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left(1+{\frac {P_{0}}{B}}\right)^{1/n}\left(1+{\frac {P}{B}}\right)^{-1/n}}$

dónde . ${\displaystyle V_{0}=V(P_{0},S)}$

La expresión para la presión en términos del volumen específico a lo largo de la isentrópica es ${\displaystyle P(V,S)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle P=(B+P_{0})\,\left({\cfrac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-B\,.}$

En el capítulo 4 de referencia se presenta un estudio muy detallado de la ecuación de estado de Tait modificada con la interpretación física de los dos parámetros empíricos y ^[2] . Se dan expresiones en función de la entropía para los dos parámetros empíricos y para el agua, el helio-3 y el helio-4. ${\displaystyle n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B}$

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