ecuación de Tait

En mecánica de fluidos , la ecuación de Tait es una ecuación de estado que se utiliza para relacionar la densidad del líquido con la presión hidrostática . La ecuación fue publicada originalmente por Peter Guthrie Tait en 1888 en la forma ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\frac {V_{0}-V}{PV_{0}}}={\frac {A}{\Pi +P}}}$

dónde${\displaystyle P}$es la presión hidrostática además de la atmosférica,${\displaystyle V_{0}}$es el volumen a presión atmosférica ,${\displaystyle V}$es el volumen bajo presión adicional${\displaystyle P}$, y${\displaystyle A,\Pi }$son parámetros determinados experimentalmente. Un estudio histórico muy detallado sobre la ecuación de Tait con la interpretación física de los dos parámetros.${\displaystyle A}$y${\displaystyle \Pi }$se da en referencia. ^{[ 2 ]}

En 1895, ^{[ 3 ] [ 4 ]} la ecuación isotérmica original de Tait fue reemplazada por Tammann con una ecuación de la forma

${\displaystyle {K}=-{V_{0}}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}={V_{0}}{\frac {(B+P)}{C}}}$

dónde${\displaystyle K}$es el módulo de compresibilidad mixto isotérmico. Esta ecuación anterior se conoce popularmente como la ecuación de Tait . La forma integrada se escribe comúnmente

${\displaystyle V=V_{0}-C\log \left({\frac {B+P}{B+P_{0}}}\right)}$

dónde

• ${\displaystyle V\ }$es el volumen específico de la sustancia (en unidades de ml / g o m ³ /kg)
• ${\displaystyle V_{0}}$es el volumen específico en${\displaystyle P=P_{0}}$
• ${\displaystyle B\ }$(mismas unidades que${\displaystyle P_{0}}$) y${\displaystyle C\ }$(mismas unidades que${\displaystyle V_{0}}$) son funciones de la temperatura

Otra ecuación de estado isotérmica popular que se conoce como "ecuación de Tait" ^{[ 7 ] [ 8 ]} es el modelo de Murnaghan ^{[ 9 ]} que a veces se expresa como

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}}$

dónde${\displaystyle V}$es el volumen específico a presión${\displaystyle P}$,${\displaystyle V_{0}}$es el volumen específico a presión${\displaystyle P_{0}}$,${\displaystyle K_{0}}$es el módulo de compresibilidad en${\displaystyle P_{0}}$, y${\displaystyle n}$es un parámetro del material.

Una ecuación de estado relacionada que puede usarse para modelar líquidos es la ecuación de Tumlirz (a veces llamada ecuación de Tammann y propuesta originalmente por Tumlirz en 1909 y Tammann en 1911 para agua pura). ^{[ 4 ] [ 10 ]} Esta relación tiene la forma

${\displaystyle V(P,S,T)=V_{\infty }-K_{1}S+{\frac {\lambda }{P_{0}+K_{2}S+P}}}$

dónde${\displaystyle V(P,S,T)}$es el volumen específico,${\displaystyle P}$es la presión,${\displaystyle S}$es la salinidad,${\displaystyle T}$es la temperatura, y${\displaystyle V_{\infty }}$es el volumen específico cuando${\displaystyle P=\infty }$, y${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, P_ {0}}$son parámetros que pueden ajustarse a los datos experimentales.

La versión de Tumlirz-Tammann de la ecuación de Tait para agua dulce, es decir, cuando${\displaystyle S=0}$, es

${\displaystyle V=V_{\infty }+{\frac {\lambda }{P_{0}+P}}\,.}$

Para agua pura, la dependencia de la temperatura de${\displaystyle V_{\infty},\lambda,P_{0}}$son: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=1788.316+21.55053\,T-0.4695911\,T^{2}+3.096363\times 10^{-3}\,T^{3}-0.7341182\times 10^{-5}\,T^{4}\\P_{0}&=5918.499+58.05267\,T-1.1253317\,T^{2}+6.6123869\times 10^{-3}\,T^{3}-1.4661625\times 10^{-5}\,T^{4}\\V_{\infty }&=0.6980547-0.7435626\times 10^{-3}\,T+0.3704258\times 10^{-4}\,T^{2}-0.6315724\times 10^{-6}\,T^{3}\\&+0.9829576\times 10^{-8}\,T^{4}-0.1197269\times 10^{-9}\,T^{5}+0.1005461\times 10^{-11}\,T^{6}\\&-0.5437898\times 10^{-14}\,T^{7}+0.169946\times 10^{-16}\,T^{8}-0.2295063\times 10^{-19}\,T^{9}\end{aligned}}}$

En los ajustes anteriores, la temperatura${\displaystyle T}$está en grados Celsius,${\displaystyle P_{0}}$está en los bares,${\displaystyle V_{\infty }}$está en cc/gm y${\displaystyle \lambda }$está en barras-cc/gm.

Tras el estudio de explosiones submarinas y, más precisamente, de las ondas de choque emitidas, JG Kirkwood propuso en 1965 ^{[ 11 ]} una forma más apropiada de ecuación de estado para describir altas presiones (>1 kbar) expresando el coeficiente de compresibilidad isoentrópica como

${\displaystyle -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}={\frac {1}{n(B+P)}}}$

dónde${\displaystyle S}$representa aquí la entropía. Los dos parámetros empíricos${\displaystyle n}$y${\displaystyle B}$ahora son función de la entropía tal que

• ${\displaystyle n\ }$es adimensional
• ${\displaystyle B\ }$tiene las mismas unidades que${\displaystyle P}$

La integración conduce a la siguiente expresión para el volumen.${\displaystyle V(P,S)}$a lo largo de la isoentrópica${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left(1+{\frac {P_{0}}{B}}\right)^{1/n}\left(1+{\frac {P}{B}}\right)^{-1/n}}$

dónde${\displaystyle V_{0}=V(P_{0},S)}$.

• Ecuación de estado