Teorema de Taylor-Proudman

En mecánica de fluidos , el teorema de Taylor-Proudman (en honor a Geoffrey Ingram Taylor y Joseph Proudman ) establece que cuando un cuerpo sólido se mueve lentamente dentro de un fluido que gira constantemente con una alta velocidad angular${\displaystyle \Omega }$La velocidad del fluido será uniforme a lo largo de cualquier línea paralela al eje de rotación.${\displaystyle \Omega }$debe ser grande en comparación con el movimiento del cuerpo sólido para que la fuerza de Coriolis sea grande en comparación con los términos de aceleración.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo estacionario, con viscosidad cero y una fuerza de volumen correspondiente a la fuerza de Coriolis, son:

${\displaystyle \rho ({\mathbf {u} }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }={\mathbf {F} }-\nabla p,}$

dónde${\displaystyle {\mathbf {u} }}$es la velocidad del fluido,${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido, y${\displaystyle p}$la presión. Si asumimos que${\displaystyle F=\nabla \Phi -2\rho \mathbf {\Omega } \times {\mathbf {u} }}$dónde${\displaystyle \Phi }$es un potencial escalar , y el término advectivo de la izquierda puede despreciarse (lo cual es razonable si el número de Rossby es mucho menor que la unidad) y que el flujo es incompresible (la densidad es constante), las ecuaciones se convierten en:

${\displaystyle 2\rho \mathbf {\Omega } \times {\mathbf {u} }=-\nabla p,}$

dónde${\displaystyle \Omega }$es el vector de velocidad angular . Si se toma el rotacional de esta ecuación, el resultado es el teorema de Taylor-Proudman:

${\displaystyle ({\mathbf {\Omega } }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }={\mathbf {0} }.}$

Para derivar esto, se necesitan las identidades vectoriales.

${\displaystyle \nabla \times (A\times B)=A(\nabla \cdot B)-(A\cdot \nabla )B+(B\cdot \nabla )AB(\nabla \cdot A)}$

y

${\displaystyle \nabla \times (\nabla p)=0\ }$

y

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0\ }$

(porque el rotor del gradiente siempre es igual a cero). Tenga en cuenta que${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {\Omega } }=0}$También es necesario (la velocidad angular es libre de divergencia).

La forma vectorial del teorema de Taylor-Proudman se entiende mejor expandiendo el producto escalar :

${\displaystyle \Omega _{x}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial x}}+\Omega _{y}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial y}}+\Omega _{z}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial z}}=0.}$

En coordenadas para las cuales${\displaystyle \Omega _ {x} = \ Omega _ {y} = 0}$, las ecuaciones se reducen a

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial z}}=0,}$

si${\displaystyle \Omega _ {z}\neq 0}$Por lo tanto, las tres componentes del vector velocidad son uniformes a lo largo de cualquier línea paralela al eje z.

La columna de Taylor es un cilindro imaginario proyectado por encima y por debajo de un cilindro real que se ha colocado paralelo al eje de rotación (en cualquier punto del flujo, no necesariamente en el centro). El flujo se curvará alrededor de los cilindros imaginarios al igual que el real debido al teorema de Taylor-Proudman, que establece que el flujo en un fluido rotatorio, homogéneo e inviscido es bidimensional en el plano ortogonal al eje de rotación y, por lo tanto, no hay variación en el flujo a lo largo del mismo.${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$eje, a menudo tomado como el${\displaystyle {\hat {z}}}$eje.

La columna de Taylor es un efecto simplificado, observado experimentalmente, de lo que ocurre en las atmósferas y los océanos de la Tierra.

El resultado conocido como el teorema de Taylor-Proudman fue derivado por primera vez por Sydney Samuel Hough (1870-1923), matemático de la Universidad de Cambridge, en 1897. ^{[ 1 ] : 506 [ 2 ]} Proudman publicó otra derivación en 1916 y Taylor en 1917, luego el efecto fue demostrado experimentalmente por Taylor en 1923. ^{[ 3 ] : 648 [ 4 ] : 245 [ 5 ] [ 6 ]}