Teorema de Tellegen

El teorema de Tellegen es uno de los teoremas más poderosos de la teoría de redes . La mayoría de los teoremas de distribución de energía y los principios de extremos en la teoría de redes se pueden derivar de él. Fue publicado en 1952 por Bernard Tellegen . ^{[ 1 ]} Fundamentalmente, el teorema de Tellegen da una relación simple entre magnitudes que satisfacen las leyes de Kirchhoff de la teoría de circuitos eléctricos .

El teorema de Tellegen es aplicable a una gran variedad de sistemas de red. Los supuestos básicos para estos sistemas son la conservación del flujo de cantidades extensivas ( ley de corrientes de Kirchhoff , LCL) y la unicidad de los potenciales en los nodos de la red ( ley de voltajes de Kirchhoff , LVK). El teorema de Tellegen constituye una herramienta útil para analizar sistemas de red complejos , como circuitos eléctricos, redes biológicas y metabólicas , redes de transporte por tuberías y redes de procesos químicos .

Consideremos una red agrupada arbitraria que tiene${\displaystyle b}$ramas y${\displaystyle n}$nodos. En una red eléctrica , las ramas son componentes de dos terminales y los nodos son puntos de interconexión. Supongamos que a cada rama le asignamos arbitrariamente una diferencia de potencial de rama.${\displaystyle W_{k}}$y una corriente de rama${\displaystyle F_{k}}$para${\displaystyle k=1,2,\dots ,b}$y supongamos que se miden con respecto a direcciones de referencia asociadas elegidas arbitrariamente . Si las diferencias de potencial de rama${\displaystyle W_{1},W_{2},\dots,W_{b}}$satisfacer todas las restricciones impuestas por KVL y si las corrientes de rama${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}}$satisfacer todas las restricciones impuestas por KCL, entonces

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}$

El teorema de Tellegen es extremadamente general; es válido para cualquier red concentrada que contenga cualquier elemento, lineal o no lineal , pasivo o activo , variable en el tiempo o invariante en el tiempo . La generalidad se extiende cuando${\displaystyle W_{k}}$y${\displaystyle F_{k}}$son operaciones lineales sobre el conjunto de diferencias de potencial y sobre el conjunto de corrientes de rama (respectivamente), ya que las operaciones lineales no afectan a la LVK ni a la LCK. Por ejemplo, la operación lineal puede ser el promedio o la transformada de Laplace . En términos más generales, los operadores que preservan la LVK se denominan operadores de voltaje de Kirchhoff, los operadores que preservan la LCK se denominan operadores de corriente de Kirchhoff, y los operadores que preservan ambas se denominan simplemente operadores de Kirchhoff. Estos operadores no tienen por qué ser lineales para que se cumpla el teorema de Tellegen. ^{[ 2 ]}

El conjunto de corrientes también puede muestrearse en un momento diferente al del conjunto de diferencias de potencial, ya que KVL y KCL son válidas en todos los instantes de tiempo. Otra extensión se da cuando el conjunto de diferencias de potencial${\displaystyle W_{k}}$es de una red y el conjunto de corrientes${\displaystyle F_{k}}$proviene de una red completamente diferente, siempre que las dos redes tengan la misma topología (misma matriz de incidencia ), el teorema de Tellegen sigue siendo válido. Esta extensión del teorema de Tellegen conduce a muchos teoremas relacionados con redes de dos puertos. ^{[ 3 ]}

Necesitamos introducir algunas definiciones de red necesarias para proporcionar una demostración compacta.

Matriz de incidencia: La${\displaystyle n\times b}$matriz${\displaystyle \mathbf {A_{a}} }$se denomina matriz de incidencia nodo-rama para los elementos de la matriz${\displaystyle a_{ij}}$ser

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{si el actual en la rama }}j{\text{ sale del nodo }}i\\-1,&{\text{si el actual en la rama }}j{\text{ entra en el nodo }}i\\0,&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

Un nodo de referencia o dato${\displaystyle P_{0}}$se introduce para representar el entorno y está conectado a todos los nodos y terminales dinámicos.${\displaystyle (n-1)\times b}$matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$, donde la fila que contiene los elementos${\displaystyle a_{0j}}$del nodo de referencia${\displaystyle P_{0}}$Se elimina, se denomina matriz de incidencia reducida.

Las leyes de conservación (LCC) en forma vectorial-matricial:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

La condición de unicidad para los potenciales (KVL) en forma vectorial-matricial:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }$

dónde${\displaystyle w_{k}}$son los potenciales absolutos en los nodos con respecto al nodo de referencia${\displaystyle P_{0}}$.

Utilizando KVL:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}}$

porque${\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0} }$por KCL. Entonces:

${\displaystyle \sum _ {k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}$

Se han construido análogos de redes para una amplia variedad de sistemas físicos, y han demostrado ser extremadamente útiles para analizar su comportamiento dinámico. El área de aplicación clásica de la teoría de redes y el teorema de Tellegen es la teoría de circuitos eléctricos. Se utiliza principalmente para diseñar filtros en aplicaciones de procesamiento de señales .

Una aplicación más reciente del teorema de Tellegen se encuentra en el ámbito de los procesos químicos y biológicos. Las suposiciones para circuitos eléctricos ( leyes de Kirchhoff ) se generalizan para sistemas dinámicos que obedecen las leyes de la termodinámica irreversible. La topología y la estructura de las redes de reacción (mecanismos de reacción, redes metabólicas ) pueden analizarse mediante el teorema de Tellegen.

Otra aplicación del teorema de Tellegen consiste en determinar la estabilidad y la optimización de sistemas de procesos complejos, como plantas químicas o sistemas de producción de petróleo. El teorema de Tellegen puede formularse para sistemas de procesos que utilizan nodos, terminales y conexiones de flujo, y que permiten la presencia de sumideros y fuentes para la producción o destrucción de grandes cantidades.

Una formulación para el teorema de Tellegen sobre sistemas de procesos:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

dónde${\displaystyle p_{j}}$son los términos de producción,${\displaystyle t_{j}}$son las conexiones terminales y${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}$son los términos de almacenamiento dinámico para las variables extensivas.

Referencias en línea

Referencias generales

• Ejemplo de circuito para el teorema de Tellegen
• GF Oster y CA Desoer, Teorema de Tellegen y desigualdades termodinámicas
• Termodinámica de redes