Discretización temporal

En física aplicada e ingeniería , la discretización temporal es una técnica matemática para resolver problemas transitorios , como los problemas de flujo .

Los problemas transitorios a menudo se resuelven utilizando simulaciones de ingeniería asistida por computadora (CAE), que requieren discretizar las ecuaciones gobernantes tanto en el espacio como en el tiempo. La discretización temporal implica la integración de cada término en varias ecuaciones sobre un paso de tiempo (${\displaystyle \Delta t}$).

El dominio espacial puede discretizarse para producir una forma semidiscreta: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(x,t)=F(\varphi ).~}$$

La discretización temporal de primer orden utilizando diferencias hacia atrás es ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ),}$$

Y la discretización de segundo orden es $${\displaystyle {\frac {3\varphi ^{n+1}-4\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}{2\Delta t}}=F(\varphi ),}$$ dónde

• ${\displaystyle \varphi }$es un escalar
• ${\displaystyle n+1}$es el valor en el próximo momento,${\displaystyle t+\Delta t}$
• ${\displaystyle n}$es el valor en el momento actual,${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle n-1}$es el valor en el momento anterior,${\displaystyle t-\Delta t}$

La función${\displaystyle F(\varphi )}$se evalúa utilizando integración temporal implícita y explícita. ^{[ 3 ]}

La discretización temporal se realiza integrando la ecuación discretizada general a lo largo del tiempo. Primero, los valores en un volumen de control dado${\displaystyle P}$en intervalo de tiempo${\displaystyle t}$se asumen y luego el valor en el intervalo de tiempo${\displaystyle t+\Delta t}$Se encuentra. Este método establece que la integral temporal de una variable dada es un promedio ponderado entre los valores actuales y futuros. La forma integral de la ecuación se puede escribir como: $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=f\cdot F(\varphi ^{n+1})+(1-f)\cdot F(\varphi ^{n}),}$$ dónde${\displaystyle f}$es un peso entre 0 y 1.

• ${\displaystyle f=0.0}$produce el esquema completamente explícito .
• ${\displaystyle f=1.0}$produce el esquema totalmente implícito .
• ${\displaystyle f=0.5}$da como resultado el esquema de Crank-Nicolson .

Esta integración es válida para cualquier volumen de control y cualquier variable discretizada. La siguiente ecuación se obtiene al aplicarla a la ecuación gobernante, incluyendo la difusión , la convección y los términos fuente completamente discretizados . ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}F(\varphi )\,dt=[f\cdot F_{\varphi }^{t+\Delta t}+(1-f)\cdot F_{\varphi }^{t}]\,\Delta t}$$

Después de discretizar la derivada temporal, la función${\displaystyle F(\varphi )}$Aún queda por evaluar. La función ahora se evalúa mediante integración temporal implícita y explícita. ^{[ 5 ]}

• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy .
• Análisis de estabilidad de Von Neumann .
• Método de elementos finitos
• Métodos explícitos e implícitos
• Chi-Wang Shu