Producto tensorial topológico

En matemáticas , existen muchas maneras diferentes de construir un producto tensorial topológico de dos espacios vectoriales topológicos . Para los espacios de Hilbert o los espacios nucleares , existe una teoría sencilla y bien definida de productos tensoriales (véase Producto tensorial de espacios de Hilbert ), pero para los espacios de Banach generales o los espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la teoría es notoriamente compleja.

Una de las motivaciones originales para los productos tensoriales topológicos${\displaystyle {\sombrero {\otimes }}}$es el hecho de que los productos tensoriales de los espacios de funciones suaves de valor real en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$No se comportan como se esperaba. Hay una inyección.

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

pero esto no es un isomorfismo . Por ejemplo, la función${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}}$no puede expresarse como una combinación lineal finita de funciones suaves en${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).}$^{[ 1 ]} Solo obtenemos un isomorfismo después de construir el producto tensorial topológico; es decir,

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).}$

Este artículo detalla primero la construcción en el caso del espacio de Banach. El espacio${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$No es un espacio Banach y se analizan otros casos al final.

El producto tensorial algebraico de dos espacios de Hilbert A y B tiene una forma sesquilineal definida positiva natural (producto escalar) inducida por las formas sesquilineales de A y B. Así, en particular , tiene una forma cuadrática definida positiva natural , y la completación correspondiente es un espacio de Hilbert A ⊗ B , llamado producto tensorial (de espacios de Hilbert) de A y B.

Si los vectores a _i y b _j recorren bases ortonormales de A y B , entonces los vectores a i _⊗ b j _forman una base ortonormal de A ⊗ B.

En esta sección utilizaremos la notación de ( Ryan 2002 ) . La forma obvia de definir el producto tensorial de dos espacios de Banach es${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Consiste en copiar el método para espacios de Hilbert: definir una norma en el producto tensorial algebraico y luego completarla en dicha norma. El problema es que existen varias maneras naturales de definir una norma en el producto tensorial.

Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son los espacios de Banach el producto tensorial algebraico de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$significa el producto tensorial de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$como espacios vectoriales y se denota por${\displaystyle A\otimes B.}$El producto tensorial algebraico${\displaystyle A\otimes B}$consta de todas las sumas finitas $${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},}$$ dónde${\displaystyle n}$es un número natural que depende de${\displaystyle x}$y${\displaystyle a_{i}\in A}$y${\displaystyle b_{i}\in B}$para ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Cuando${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son espacios Banach, unnorma cruzada (onorma cruzada )${\displaystyle p}$sobre el producto tensorial algebraico${\displaystyle A\otimes B}$es una norma que satisface las condiciones $${\displaystyle p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,}$$$${\displaystyle p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.}$$ Aquí${\displaystyle a^{\prime }}$y${\displaystyle b^{\prime }}$son elementos de los espacios duales topológicos de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B,}$respectivamente y${\displaystyle p^{\prime }}$es la norma dual de${\displaystyle p.}$El términoLa norma cruzada razonable también se utiliza para la definición anterior.

Existe una norma cruzada${\displaystyle \pi }$llamada norma cruzada proyectiva , dada por $${\displaystyle \pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},}$$ dónde${\displaystyle x\in A\otimes B.}$

Resulta que la norma cruzada proyectiva coincide con la norma cruzada más grande ( Ryan 2002 , pp. 15–16) . 

Existe una norma cruzada${\displaystyle \varepsilon }$llamada norma cruzada inyectiva , dada por $${\displaystyle \varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}}$$ dónde${\displaystyle x\in A\otimes B.}$Aquí${\displaystyle A^{\prime }}$y${\displaystyle B^{\prime }}$denotamos los duales topológicos de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B,}$respectivamente.

Cabe señalar que la norma cruzada inyectiva es solo en cierto sentido razonable la "más pequeña".

Las completaciones del producto tensorial algebraico en estas dos normas se denominan productos tensoriales proyectivo e inyectivo , y se denotan por${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B}$y${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.}$

Cuando${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son espacios de Hilbert, la norma utilizada para su producto tensorial de espacio de Hilbert no es igual a ninguna de estas normas en general. Algunos autores la denotan por${\displaystyle \sigma ,}$por lo que el producto tensorial del espacio de Hilbert en la sección anterior sería${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.}$

Anorma cruzada uniforme${\displaystyle \alpha }$es una tarea para cada par${\displaystyle (X,Y)}$de espacios de Banach de una norma cruzada razonable en${\displaystyle X\otimes Y}$para que si${\displaystyle X,W,Y,Z}$son espacios de Banach arbitrarios entonces para todos los operadores (lineales continuos)${\displaystyle S:X\to W}$y${\displaystyle T:Y\to Z}$el operador${\displaystyle S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z}$es continuo y${\displaystyle \|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.}$Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son dos espacios de Banach y${\displaystyle \alpha }$es una norma cruzada uniforme entonces${\displaystyle \alpha }$define una norma cruzada razonable en el producto tensorial algebraico${\displaystyle A\otimes B.}$El espacio lineal normado obtenido al equipar${\displaystyle A\otimes B}$con esa norma se denota por${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B.}$La finalización de${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B,}$que es un espacio de Banach, se denota por${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.}$El valor de la norma dado por${\displaystyle \alpha }$en${\displaystyle A\otimes B}$y en el producto tensorial completo${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$para un elemento${\displaystyle x}$en${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$(o${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B}$) se denota por${\displaystyle \alpha _{A,B}(x){\text{ o }}\alpha (x).}$

Una norma cruzada uniforme${\displaystyle \alpha }$Se dice quefinitamente generado si, para cada par${\displaystyle (X,Y)}$de espacios Banach y cada${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$$${\displaystyle \alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.}$$

Una norma cruzada uniforme${\displaystyle \alpha }$esgenerado cofinitamente si, para cada par${\displaystyle (X,Y)}$de espacios Banach y cada${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$$${\displaystyle \alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.}$$

ALa norma tensorial se define como una norma cruzada uniforme finitamente generada. La norma cruzada proyectiva${\displaystyle \pi }$y la norma cruzada inyectiva${\displaystyle \varepsilon }$Las normas definidas anteriormente son normas tensoriales y se denominan, respectivamente, norma tensorial proyectiva y norma tensorial inyectiva.

Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son espacios de Banach arbitrarios y${\displaystyle \alpha }$es una norma cruzada uniforme arbitraria entonces $${\displaystyle \varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).}$$

Las topologías de los espacios vectoriales topológicos localmente convexos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$están dadas por familias de seminormas . Para cada elección de seminorma en${\displaystyle A}$y en${\displaystyle B}$Podemos definir la familia correspondiente de normas cruzadas en el producto tensorial algebraico.${\displaystyle A\otimes B,}$y al elegir una norma cruzada de cada familia obtenemos algunas normas cruzadas en${\displaystyle A\otimes B,}$definir una topología. En general, hay una enorme cantidad de maneras de hacerlo. Las dos formas más importantes son tomar todas las normas cruzadas proyectivas o todas las normas cruzadas inyectivas. Las completaciones de las topologías resultantes en${\displaystyle A\otimes B}$se denominan productos tensoriales proyectivos e inyectivos, y se denotan por${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$y${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$Hay un mapa natural de${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$a${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$

Si${\displaystyle A}$o${\displaystyle B}$es un espacio nuclear entonces el mapa natural de${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$a${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B}$es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que si${\displaystyle A}$o${\displaystyle B}$es nuclear, entonces solo hay un producto tensorial sensato de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Esta propiedad caracteriza a los espacios nucleares.

• Espacio de Fréchet : espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo. 
• núcleo de Fredholm
• Producto tensorial inductivo
• Topología proyectiva : topología más gruesa que hace que ciertas funciones sean continuas. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 

• Ryan, RA (2002), Introducción a los productos tensoriales de espacios de Banach , Nueva York: Springer.
• Grothendieck, A. (1955), "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires", Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense , 16.