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Articulo de referencia

Cuaterniones hamiltonianos clásicos

William Rowan Hamilton inventó los cuaterniones , una entidad matemática, en 1843. Este artículo describe el tratamiento original que Hamilton dio a los cuaterniones, utilizando...

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William Rowan Hamilton inventó los cuaterniones , una entidad matemática, en 1843. Este artículo describe el tratamiento original que Hamilton dio a los cuaterniones, utilizando su notación y terminología. El tratamiento de Hamilton es más geométrico que el enfoque moderno, que enfatiza las propiedades algebraicas de los cuaterniones . Matemáticamente, los cuaterniones que se analizan aquí difieren de la definición moderna únicamente en la terminología empleada.

Elementos clásicos de un cuaternión

Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos líneas dirigidas en el espacio tridimensional ; [ 1 ] o, más generalmente, como el cociente de dos vectores. [ 2 ]

Un cuaternión puede representarse como la suma de un escalar y un vector . También puede representarse como el producto de su tensor y su versor .

Escalar

Hamilton acuñó el término escalares para los números reales , porque abarcan la "escala de progresión desde el infinito positivo hasta el negativo" [ 3 ] o porque representan la "comparación de posiciones en una escala común" [ 4 ] . Hamilton consideraba el álgebra escalar ordinaria como la ciencia del tiempo puro [ 5 ] .

Vector

Hamilton definió un vector como "una línea recta... que tiene no solo longitud sino también dirección". [ 6 ] Hamilton derivó la palabra vector del latín vehere , llevar. [ 7 ]

Hamilton concibió un vector como la "diferencia de sus dos puntos extremos". [ 6 ] Para Hamilton, un vector siempre era una entidad tridimensional, con tres coordenadas relativas a cualquier sistema de coordenadas dado, incluyendo, entre otros, los sistemas polares y rectangulares . [ 8 ] Por lo tanto, se refería a los vectores como "tripletes".

Hamilton definió la suma de vectores en términos geométricos, colocando el origen del segundo vector en el extremo del primero. [ 9 ] Luego definió la resta de vectores .

Sumando un vector a sí mismo varias veces, definió la multiplicación de un vector por un entero , y luego extendió esto a la división por un entero, y a la multiplicación (y división) de un vector por un número racional . Finalmente, tomando límites, definió el resultado de multiplicar un vector α por cualquier escalar x como un vector β con la misma dirección que α si x es positivo; la dirección opuesta a α si x es negativo; y una longitud que es | x | veces la longitud de α. [ 10 ]

El cociente de dos vectores paralelos o antiparalelos es, por lo tanto, un escalar cuyo valor absoluto es igual a la razón de las longitudes de los dos vectores; el escalar es positivo si los vectores son paralelos y negativo si son antiparalelos. [ 11 ]

Vector unitario

Un vector unitario es un vector de longitud uno. Ejemplos de vectores unitarios son i, j y k.

Tensor

Nota: El uso de la palabra tensor por parte de Hamilton no coincide con la terminología moderna. El tensor de Hamilton es en realidad el valor absoluto en el álgebra de cuaterniones, lo que lo convierte en un espacio vectorial normado .

Hamilton definió el tensor como una cantidad numérica positiva o, más propiamente, un número sin signo. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] Un tensor puede considerarse como un escalar positivo. [ 15 ] El "tensor" puede considerarse como la representación de un "factor de estiramiento". [ 16 ]

Hamilton introdujo el término tensor en su primer libro, Lecciones sobre cuaterniones, basándose en las conferencias que impartió poco después de su invención de los cuaterniones:

  • Parece conveniente ampliar por definición el significado de la nueva palabra tensor, de modo que pueda incluir también aquellos otros casos en los que operamos sobre una línea disminuyendo en lugar de aumentar su longitud; y, en general, alterando esa longitud en cualquier proporción definida. Así, tendremos (como se insinuó al final del artículo en cuestión) tensores fraccionarios e incluso inconmensurables , que serán simplemente multiplicadores numéricos, y serán todos positivos o (para hablar más propiamente) números sin signo , es decir, desprovistos de los signos algebraicos de positivo y negativo ; porque, en la operación aquí considerada, abstraemos de las direcciones (así como de las situaciones) de las líneas que se comparan o sobre las que se opera.

Cada cuaternión tiene un tensor, que es una medida de su magnitud (de la misma manera que la longitud de un vector es una medida de su magnitud). Cuando un cuaternión se define como el cociente de dos vectores, su tensor es la razón entre las longitudes de estos vectores.

Versor

Un versor es un cuaternión con un tensor de 1. Alternativamente, un versor puede definirse como el cociente de dos vectores de igual longitud. [ 17 ] [ 18 ]

En general, un versor define todo lo siguiente: un eje direccional; el plano normal a ese eje; y un ángulo de rotación. [ 19 ]

Cuando se multiplica un versor por un vector que se encuentra en el plano del versor, el resultado es un nuevo vector de la misma longitud pero girado según el ángulo del versor.

Arco vectorial

Dado que cada vector unitario puede considerarse como un punto en una esfera unitaria , y dado que un versor puede considerarse como el cociente de dos vectores, un versor tiene un arco de círculo máximo representativo , llamado arco vectorial , que conecta estos dos puntos, trazado desde el divisor o parte inferior del cociente hasta el dividendo o parte superior del cociente. [ 20 ] [ 21 ]

Versor derecho

Cuando el arco de un versor tiene la magnitud de un ángulo recto , entonces se le llama versor recto , versor radial recto o versor cuadrantal .

Formas degeneradas

Hay dos casos especiales de versores degenerados, llamados escalares unitarios. [ 22 ] Estos dos escalares (unidad negativa y positiva) pueden considerarse como cuaterniones escalares . Estos dos escalares son casos límite especiales, que corresponden a versores con ángulos de cero o π.

A diferencia de otros versores, estos dos no pueden representarse mediante un único arco. El arco de 1 es un solo punto, y –1 puede representarse mediante un número infinito de arcos, ya que existen infinitas líneas más cortas entre puntos antipodales de una esfera.

Cuaternio

Todo cuaternión puede descomponerse en un escalar y un vector.

q=S(q)+V(q){\displaystyle q=\mathbf {S} (q)+\mathbf {V} (q)}

Estas dos operaciones, S y V, se denominan "tomar el escalar de" y "tomar el vector de" un cuaternión. La parte vectorial de un cuaternión también se denomina parte derecha. [ 23 ]

Cada cuaternión es igual a un versor multiplicado por el tensor del cuaternión. Denotando el versor de un cuaternión por

Uq{\displaystyle \mathbf {U} q}

y el tensor de un cuaternión por

Tq{\displaystyle \mathbf {T} q}

tenemos

q=TqUq{\displaystyle q=\mathbf {T} q\mathbf {U} q}

cuaternión derecho

Un múltiplo real de un versor derecho es un cuaternión derecho, por lo tanto, un cuaternión derecho es un cuaternión cuyo componente escalar es cero.

S(q)=0.{\displaystyle S(q)=0.}

El ángulo de un cuaternión recto es de 90 grados. Por lo tanto, un cuaternión recto solo tiene una parte vectorial y no una parte escalar. Los cuaterniones rectos se pueden expresar en forma de trinomio estándar. Por ejemplo, si Q es un cuaternión recto, se puede escribir como:

Q=incógnitai+yj+zk{\displaystyle Q=xi+yj+zk}[ 24 ]

Cuatro operaciones

Cuatro operaciones son de fundamental importancia en la notación de cuaterniones. [ 25 ]

+ − ÷ ×

En particular, es importante comprender que existe una única operación de multiplicación, una única operación de división y una única operación de suma y resta. Este único operador de multiplicación puede aplicarse a cualquier tipo de entidad matemática. Del mismo modo, cualquier tipo de entidad puede dividirse, sumarse o restarse de cualquier otro tipo de entidad. Comprender el significado del símbolo de resta es fundamental en la teoría de los cuaterniones, ya que conduce a la comprensión del concepto de vector.

Operadores ordinales

Las dos operaciones ordinales en la notación clásica de cuaterniones eran la suma y la resta, o + y −.

Estas marcas son:

"...características de síntesis y análisis de un estado de progresión, según se considere que este estado se deriva de, o se compara con, algún otro estado de esa progresión." [ 26 ]

Sustracción

La resta es un tipo de análisis llamado análisis ordinal [ 27 ].

...consideremos ahora el espacio como el campo de progresión que se va a estudiar, y los PUNTOS como estados de esa progresión. ...Me veo llevado a considerar la palabra "Menos", o la marca −, en geometría, como el signo o característica del análisis de una posición geométrica (en el espacio), en comparación con otra posición (similar). La comparación de un punto matemático con otro con miras a determinar lo que puede llamarse su relación ordinal, o su posición relativa en el espacio... [ 28 ]

El primer ejemplo de resta consiste en tomar el punto A para representar la Tierra y el punto B para representar el Sol; entonces, una flecha trazada desde A hasta B representa el acto de moverse o vección de A a B.

B − A

Esto representa el primer ejemplo de vector en las clases de Hamilton. En este caso, el acto de viajar de la Tierra al Sol. [ 29 ] [ 30 ]

Suma

La adición es un tipo de análisis llamado síntesis ordinal. [ 31 ]

Suma de vectores y escalares

Se pueden sumar vectores y escalares. Cuando se suma un vector a un escalar, se crea una entidad completamente diferente: un cuaternión.

Un vector más un escalar siempre es un cuaternión, incluso si el escalar es cero. Si el escalar sumado al vector es cero, el nuevo cuaternión resultante se denomina cuaternión recto. Tiene un ángulo característico de 90 grados.

Operaciones cardinales

Las dos operaciones cardinales [ 32 ] en notación de cuaterniones son la multiplicación geométrica y la división geométrica y se pueden escribir:

÷, ×

No es necesario aprender los siguientes términos más avanzados para utilizar la división y la multiplicación.

La división es un tipo de análisis llamado análisis cardinal. [ 33 ] La multiplicación es un tipo de síntesis llamada síntesis cardinal. [ 34 ]

División

Clásicamente, el cuaternión se consideraba la razón entre dos vectores, a veces denominada fracción geométrica.

Si OA y OB representan dos vectores trazados desde el origen O a otros dos puntos A y B, entonces la fracción geométrica se escribió como

OA:OB{\displaystyle OA:OB}

Alternativamente, si los dos vectores están representados por α y β, el cociente se escribió como

α÷β{\displaystyle \alpha \div \beta }

o

αβ{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}}

Hamilton afirma: "El cociente de dos vectores es generalmente un cuaternión". [ 35 ] Lecciones sobre cuaterniones también introduce por primera vez el concepto de cuaternión como el cociente de dos vectores:

Lógicamente y por definición, [ 36 ] [ 37 ]

siαβ=q{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=q}

entoncesq×β=α.{\displaystyle {q}\times {\beta }=\alpha .}.

En el cálculo de Hamilton, el producto no es conmutativo ; es decir, el orden de las variables es de suma importancia. Si se invirtiera el orden de q y β, el resultado no sería, en general, α. El cuaternión q puede considerarse como un operador que transforma β en α, primero rotándolo (lo que antes se denominaba "acción de versión") y luego modificando su longitud (lo que antes se denominaba "acción de tensión" ).

Además, por definición, el cociente de dos vectores es igual al numerador multiplicado por el recíproco del denominador . Dado que la multiplicación de vectores no es conmutativa, el orden no puede cambiarse en la siguiente expresión.

αβ=α×1β{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=\,{\alpha }\times {\frac {1}{\beta }}}

Nuevamente, el orden de las dos cantidades en el lado derecho es significativo.

Hardy presenta la definición de división en términos de reglas mnemotécnicas de cancelación. "La cancelación se realiza mediante un trazo ascendente de la mano derecha". [ 38 ]

Si alfa y beta son vectores y q es un cuaternión tal que

αβ=q{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}=q}

entoncesαβ−1=q{\displaystyle \alpha \beta ^{-1}=q}

yαβ.β=αβ−1.β=α{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}.\beta =\alpha \beta ^{-1}.\beta =\alpha }[ 39 ]

×{\displaystyle \times }y÷{\displaystyle \div }son operaciones inversas, tales que:
β÷α×α=β{\displaystyle \beta \div \alpha \times \alpha =\beta }yq×α÷α=q{\displaystyle q\times \alpha \div \alpha =q}[ 40 ]

y

γ=(γ÷β)×(β÷α)×α{\displaystyle \gamma =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )\times \alpha }[ 41 ]

Una forma importante de pensar en q es como un operador que cambia β en α, primero rotándolo ( versión ) y luego cambiando su longitud (tensión).

γ÷α=(γ÷β)×(β÷α){\displaystyle \gamma \div \alpha =(\gamma \div \beta )\times (\beta \div \alpha )}[ 42 ]

División de los vectores unitarios i , j , k

Los resultados de usar el operador de división en i , j y k fueron los siguientes. [ 43 ]

El recíproco de un vector unitario es el vector invertido. [ 44 ]

1i=i−1=−i{\displaystyle {\frac {1}{i}}=i^{-1}=-i}

Debido a que un vector unitario y su recíproco son paralelos entre sí pero apuntan en direcciones opuestas, el producto de un vector unitario y su recíproco tiene una propiedad conmutativa de caso especial, por ejemplo, si a es cualquier vector unitario entonces: [ 45 ]

1aa=(−a)a=1=a(−a)=a1a.{\displaystyle {\frac {1}{a}}a=(-a)a=1=a(-a)=a{\frac {1}{a}}.}

Sin embargo, en el caso más general que involucra más de un vector (sea o no un vector unitario), la propiedad conmutativa no se cumple. [ 46 ] Por ejemplo:

iki{\displaystyle i{\frac {k}{i}}}≠kii.{\displaystyle {\frac {k}{i}}i.}

Esto se debe a que k/i se define cuidadosamente como:

ki=k1i=ki−1=k(−i)=−(ki)=−(j)=−j{\displaystyle {\frac {k}{i}}=k{\frac {1}{i}}=ki^{-1}=k(-i)=-(ki)=-(j)=-j}.

De modo que:

iki=i(−j)=−k{\displaystyle i{\frac {k}{i}}=i(-j)=-k},

sin embargo

kii=(−j)i=−(ji)=−(−k)=k{\displaystyle {\frac {k}{i}}i=(-j)i=-(ji)=-(-k)=k}

División de dos vectores paralelos

Si bien en general el cociente de dos vectores es un cuaternión, si α y β son dos vectores paralelos, entonces el cociente de estos dos vectores es un escalar. Por ejemplo, si

α=ai{\displaystyle \alpha =ai},

yβ=bi{\displaystyle \beta =bi}entonces

α÷β=αβ=aibi=ab{\displaystyle \alpha \div \beta ={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {ai}{bi}}={\frac {a}{b}}}

Donde a/b es un escalar. [ 47 ]

División de dos vectores no paralelos

El cociente de dos vectores es, en general, el cuaternión:

q=αβ{\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}=TαTβ(porque⁡ϕ+ϵpecado⁡ϕ){\displaystyle ={\frac {T\alpha }{T\beta }}(\cos \phi +\epsilon \sin \phi )}

Donde α y β son dos vectores no paralelos, φ es el ángulo entre ellos y ε es un vector unitario perpendicular al plano de los vectores α y β, cuya dirección viene dada por la regla de la mano derecha estándar. [ 48 ]

Multiplicación

La notación clásica de cuaterniones solo tenía un concepto de multiplicación. La multiplicación de dos números reales, dos números imaginarios o un número real por un número imaginario en el sistema de notación clásico era la misma operación.

La multiplicación de un escalar y un vector se realizaba con el mismo operador de multiplicación; la multiplicación de dos vectores de cuaterniones utilizaba esta misma operación, al igual que la multiplicación de un cuaternión y un vector o de dos cuaterniones.

Factor, Faciend y Factum
Factor × Faciend = Factum [ 49 ]

Cuando se multiplican dos cantidades, la primera cantidad se llama factor, [ 50 ] la segunda cantidad se llama faciendo y el resultado se llama factum.

Distributivo

En la notación clásica, la multiplicación era distributiva . Comprender esto facilita ver por qué el producto de dos vectores en notación clásica produce un cuaternión.

q=(ai+bj+dok)×(mii+Fj+gramok){\displaystyle q=(ai+bj+ck)\times (ei+fj+gk)}
q=ami(i×i)+aF(i×j)+agramo(i×k)+bmi(j×i)+bF(j×j)+bgramo(j×k)+domi(k×i)+doF(k×j)+dogramo(k×k){\displaystyle q=ae({i}\times {i})+af({i}\times {j})+ag({i}\times {k})+be({j}\times {i})+bf({j}\times {j})+bg({j}\times {k})+ce({k}\times {i})+cf({k}\times {j})+cg({k}\times {k})}

Utilizando la tabla de multiplicación de cuaterniones tenemos:

q=ami(−1)+aF(+k)+agramo(−j)+bmi(−k)+bF(−1)+bgramo(+i)+domi(+j)+doF(−i)+dogramo(−1){\displaystyle q=ae(-1)+af(+k)+ag(-j)+be(-k)+bf(-1)+bg(+i)+ce(+j)+cf(-i)+cg(-1)}

Luego, recopilando términos:

q=−ami−bF−dogramo+(bgramo−doF)i+(domi−agramo)j+(aF−bmi)k{\displaystyle q=-ae-bf-cg+(bg-cf)i+(ce-ag)j+(af-be)k}

Los tres primeros términos son un escalar.

Alquiler

w=−ami−bF−dogramo{\displaystyle w=-ae-bf-cg}
incógnita=(bgramo−doF){\displaystyle x=(bg-cf)}
y=(domi−agramo){\displaystyle y=(ce-ag)}
z=(aF−bmi){\displaystyle z=(af-be)}

De modo que el producto de dos vectores es un cuaternión y se puede escribir de la forma:

q=w+incógnitai+yj+zk{\displaystyle q=w+xi+yj+zk}
Producto de dos cuaterniones derechos

El producto de dos cuaterniones derechos es generalmente un cuaternión.

Sean α y β los cuaterniones derechos que resultan de tomar los vectores de dos cuaterniones:

α=Vpag{\displaystyle \alpha =\mathbf {V} p}
β=Vq{\displaystyle \beta =\mathbf {V} q}

Su producto, en general, es un nuevo cuaternión representado aquí por r. Este producto no es ambiguo porque la notación clásica solo tiene un producto.

r=αβ;{\displaystyle r=\,\alpha \beta ;}

Al igual que todos los cuaterniones, r ahora puede descomponerse en sus partes vectorial y escalar.

r=Sr+Vr{\displaystyle r=\mathbf {S} r+\mathbf {V} r}

Los términos de la derecha se denominan escalar del producto y vector del producto [ 51 ] de dos cuaterniones derechos.

Nota: "Escalar del producto" corresponde al producto escalar euclidiano de dos vectores salvo cambio de signo (multiplicación por −1).

Otros operadores en detalle

Escalar y vector

Dos operaciones importantes en el sistema de notación clásica de cuaterniones eran S (q) y V (q), que significaban tomar la parte escalar y la parte imaginaria, lo que Hamilton denominó la parte vectorial del cuaternión. Aquí, S y V son operadores que actúan sobre q. En este tipo de expresiones, se pueden omitir los paréntesis sin ambigüedad. Notación clásica:

q=Sq+Vq{\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}

Aquí, q es un cuaternión. S q es el escalar del cuaternión, mientras que V q es el vector del cuaternión.

Conjugado

K es el operador conjugado. El conjugado de un cuaternión es un cuaternión que se obtiene multiplicando la parte vectorial del primer cuaternión por menos uno.

Si

q=Sq+Vq{\displaystyle q=\,\mathbf {S} q+\mathbf {V} q}

entonces

Kq=Sq−Vq{\displaystyle \mathbf {K} q=\mathbf {S} \,q-\mathbf {V} q}.

La expresión

r=Kq{\displaystyle r=\,\mathbf {K} q},

significa asignar al cuaternión r el valor del conjugado del cuaternión q.

Tensor

T es el operador tensorial . Devuelve un tipo de número llamado tensor .

El tensor de un escalar positivo es ese escalar. El tensor de un escalar negativo es el valor absoluto del escalar (es decir, sin el signo negativo). Por ejemplo:

T(5)=5{\displaystyle \mathbf {T} (5)=5}
T(−5)=5{\displaystyle \mathbf {T} (-5)=5}

El tensor de un vector es, por definición, la longitud del vector. Por ejemplo, si:

α=incógnitai+yj+zk{\displaystyle \alpha =xi+yj+zk}

Entonces

Tα=incógnita2+y2+z2{\displaystyle \mathbf {T} \alpha ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}

El tensor de un vector unitario es uno. Dado que el versor de un vector es un vector unitario, el tensor del versor de cualquier vector siempre es igual a la unidad. Simbólicamente:

TUα=1{\displaystyle \mathbf {TU} \alpha =1}[ 52 ]

Un cuaternión es, por definición, el cociente de dos vectores, y el tensor de un cuaternión es, por definición, el cociente de los tensores de estos dos vectores. En símbolos:

q=αβ.{\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}.}
Tq=TαTβ.{\displaystyle \mathbf {T} q={\frac {\mathbf {T} \alpha }{\mathbf {T} \beta }}.}[ 53 ]

A partir de esta definición se puede demostrar que una fórmula útil para el tensor de un cuaternión es: [ 54 ]

Tq=w2+incógnita2+y2+z2{\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}

También se puede demostrar a partir de esta definición que otra fórmula para obtener el tensor de un cuaternión es la norma común, definida como el producto de un cuaternión y su conjugado. La raíz cuadrada de la norma común de un cuaternión es igual a su tensor.

Tq=qKq{\displaystyle \mathbf {T} q={\sqrt {qKq}}}

Una identidad útil es que el cuadrado del tensor de un cuaternión es igual al tensor del cuadrado de un cuaternión, por lo que se pueden omitir los paréntesis. [ 55 ]

(Tq)2=T(q2)=Tq2{\displaystyle (\mathbf {T} q)^{2}=\mathbf {T} (q^{2})=\mathbf {T} q^{2}}

Además, los tensores de cuaterniones conjugados son iguales. [ 56 ]

TKq=Tq{\displaystyle \mathbf {TK} q=\mathbf {T} q}

El tensor de un cuaternión ahora se llama su norma .

Eje y ángulo

Tomar el ángulo de un cuaternión no escalar resultó en un valor mayor que cero y menor que π. [ 57 ] [ 58 ]

Cuando un cuaternión no escalar se considera como el cociente de dos vectores, entonces el eje del cuaternión es un vector unitario perpendicular al plano de los dos vectores en este cociente original, en una dirección especificada por la regla de la mano derecha. [ 59 ] El ángulo es el ángulo entre los dos vectores.

En símbolos,

tú=Aincógnita.q{\displaystyle u=Ax.q}
θ=∠q{\displaystyle \theta =\angle q}

Recíproca

Si

q=αβ{\displaystyle q={\frac {\alpha }{\beta }}}

entonces su recíproco se define como

1q=q−1=βα{\displaystyle {\frac {1}{q}}=q^{-1}={\frac {\beta }{\alpha }}}

La expresión:

q×α×1q{\displaystyle {q}\times {\alpha }\times {\frac {1}{q}}}

Los recíprocos tienen muchas aplicaciones importantes, [ 60 ] [ 61 ] por ejemplo rotaciones , particularmente cuando q es un versor. Un versor tiene una fórmula sencilla para su recíproco. [ 62 ]

1(Uq)=S.Uq−V.Uq=K.Uq{\displaystyle {\frac {1}{(\mathbf {U} q)}}=\mathbf {S.U} q-\mathbf {V.U} q=\mathbf {K.U} q}

En palabras, el recíproco de un versor es igual a su conjugado. Los puntos suspensivos entre los operadores muestran el orden de las operaciones y también ayudan a indicar que S y U, por ejemplo, son dos operaciones diferentes en lugar de una sola operación llamada SU.

norma común

El producto de un cuaternión con su conjugado es su norma común. [ 63 ]

La operación de calcular la norma común de un cuaternión se representa con la letra N. Por definición, la norma común es el producto de un cuaternión por su conjugado. Se puede demostrar [ 64 ] [ 65 ] que la norma común es igual al cuadrado del tensor de un cuaternión. Sin embargo, esta demostración no constituye una definición. Hamilton proporciona definiciones exactas e independientes tanto de la norma común como del tensor. Esta norma se adoptó como sugerencia de la teoría de números; sin embargo, citando a Hamilton, «no se necesitarán con frecuencia». El tensor suele ser de mayor utilidad. La palabra « norma» no aparece en Lectures on Quaternions , y solo dos veces en el índice de Elements of Quaternions .

En símbolos:

norteq=qKq=(Tq)2{\displaystyle \mathbf {N} q=\,q\mathbf {K} q=\,(\mathbf {T} q)^{2}}

La norma común de un versor siempre es igual a la unidad positiva. [ 66 ]

norteUq=Uq.KUq=1{\displaystyle \mathbf {NU} q=\mathbf {U} q.\mathbf {KU} q=1}

Bicuaterniones

Números geométricamente reales y números geométricamente imaginarios

En la literatura clásica sobre cuaterniones la ecuación

q2=−1{\displaystyle q^{2}=-1}

Se creía que tenía infinitas soluciones llamadas geométricamente reales . Estas soluciones son los vectores unitarios que forman la superficie de una esfera unitaria.

Un cuaternión geométricamente real es aquel que puede escribirse como una combinación lineal de i , j y k , de tal manera que los cuadrados de los coeficientes sumen uno. Hamilton demostró que esta ecuación debía tener raíces adicionales además de las raíces geométricamente reales. Dada la existencia del escalar imaginario, se pueden escribir y nombrar diversas expresiones. Todas ellas formaban parte del cálculo de cuaterniones original de Hamilton. En símbolos:

q+q′−1{\displaystyle q+q'{\sqrt {-1}}}

donde q y q′ son cuaterniones reales, y la raíz cuadrada de menos uno es el imaginario del álgebra ordinaria , y se denominan raíces imaginarias o simbólicas [ 67 ] y no una cantidad vectorial geométricamente real.

escalar imaginario

Las cantidades geométricamente imaginarias son raíces adicionales de la ecuación anterior de naturaleza puramente simbólica. En el artículo 214 de Elementos, Hamilton demuestra que si hay un i, un j y un k, también debe haber otra cantidad h que es un escalar imaginario, lo cual, según observa, debería haber sido evidente para cualquiera que hubiera leído los artículos anteriores con atención. [ 68 ] El artículo 149 de Elementos trata sobre los números geométricamente imaginarios e incluye una nota al pie que introduce el término bicuaternión . [ 69 ] Los términos imaginario del álgebra ordinaria e imaginario escalar se utilizan a veces para referirse a estas cantidades geométricamente imaginarias.

En el pensamiento clásico, las raíces geométricamente imaginarias de una ecuación se interpretaban como situaciones geométricamente imposibles. El artículo 214 de Elementos de cuaterniones explora el ejemplo de la ecuación de una recta y un círculo que no se intersecan, lo cual se indica mediante la existencia de una única raíz geométricamente imaginaria. [ 70 ]

En los escritos posteriores de Hamilton propuso usar la letra h para denotar el escalar imaginario [ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]

Bicuaternión

En la página 665 de Elementos de cuaterniones, Hamilton define un bicuaternión como un cuaternión con coeficientes complejos . La parte escalar de un bicuaternión es un número complejo llamado biscalar . La parte vectorial de un bicuaternión es un bivector compuesto por tres componentes complejas. Los bicuaterniones son, por lo tanto, la complejización de los cuaterniones originales (reales).

Otros cuaterniones dobles

Hamilton inventó el término asociativo para distinguir entre el escalar imaginario (conocido ahora como número complejo ), que es a la vez conmutativo y asociativo, y otras cuatro posibles raíces de la unidad negativa que designó como L, M, N y O, mencionándolas brevemente en el apéndice B de Lecciones sobre cuaterniones y en cartas privadas. Sin embargo, las raíces no asociativas de menos uno no aparecen en Elementos de cuaterniones . Hamilton murió antes de trabajar en estas extrañas entidades. Su hijo afirmó que eran «arcos reservados para las manos de otro Ulises». [ 74 ]

Véase también

Notas a pie de página

  1. ↑ Hamilton 1853 pág. 60 en Google Libros
  2. ↑ Hardy 1881 pág. 32 en Google Libros
  3. ↑ Hamilton, en la revista Philosophical , citado en el OED .
  4. ↑ Hamilton (1866) Libro I Capítulo II Artículo 17 en Google Libros
  5. ↑ Hamilton, 1853, pág. 2, párrafo 3 de la introducción. Se refiere a su artículo inicial "El álgebra como ciencia del tiempo puro". Disponible en Google Books.
  6. 1 2 Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 1 en Google Libros
  7. ↑ Hamilton (1853) Lección I Artículo 15, introducción del término vector, de vehere en Google Books
  8. ↑ Hamilton (1853) Lección I Artículo 17 El vector es una tripleta natural en Google Books
  9. ↑ a Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 6 en Google Libros
  10. ↑ Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 15 en Google Libros
  11. ↑ Hamilton (1866) Libro I Capítulo II Artículo 19 en Google Libros
  12. ↑ Hamilton 1853 pág. 57 en Google Libros
  13. ↑ Hardy 1881 pág. 5 en Google Libros
  14. ↑ Tait 1890 pág. 31 explica la definición anterior de Hamilton de un tensor como un número positivo en Google Books
  15. ↑ Hamilton 1989, pág. 165, se refiere a un tensor como un escalar positivo. ( Google Books)
  16. ↑ (1890), págs. 32-31 en Google Libros
  17. ↑ Hamilton 1898 sección 8 pág. 133 art. 151 Sobre el versor de un cuaternión o un vector y algunas fórmulas generales de transformación en Google Books
  18. ↑ Hamilton (1899), art. 156, pág. 135, introducción del término versor en Google Books
  19. ↑ Hamilton (1899), Sección 8, artículo 151, pág. 133 en Google Books
  20. ↑ Hamilton 1898 sección 9 art 162 pág. 142 Arcos vectoriales considerados como representativos de versores de cuaterniones en Google Books
  21. ↑ (1881), art. 49 págs. 71-72 71 en Google Books
  22. ↑ Elementos de cuaterniones Artículo 147 pág. 130 en Google Libros
  23. ↑ Véase Elementos de cuaterniones, Sección 13, a partir de la página 190 en Google Libros.
  24. ↑ Hamilton (1899), Sección 14, artículo 221, página 233 en Google Libros
  25. ↑ Hamilton 1853 pág. 4 en Google Libros
  26. ↑ Hamilton 1853 art 5 págs. 4-5 en Google Books
  27. ↑ Hamilton, página 33 en Google Libros
  28. ↑ Hamilton 1853 págs. 5-6 en Google Libros
  29. ↑ Véase Hamilton, 1853, págs. 8-15 en Google Libros.
  30. ↑ Hamilton 1853 pág. 15 introducción del término vector como la diferencia entre dos puntos. en Google Books
  31. ↑ Hamilton 1853 pág. 19 Hamilton asocia el signo más con la síntesis ordinal en Google Books
  32. ↑ Hamilton (1853), pág. 35, Hamilton introduce por primera vez las operaciones cardinales en Google Books
  33. ↑ Hamilton 1953 pág. 36 División definida como análisis cardinal en Google Books
  34. ↑ Hamilton 1853 pág. 37 en Google Libros
  35. ↑ Hamilton (1899), Artículo 112, página 110 en Google Libros
  36. ↑ Hardy (1881), pág. 32 en Google Libros
  37. ↑ Lecciones de Hamilton sobre cuaterniones, página 37 en Google Libros
  38. ↑ Elementos de cuaterniones en Google Libros
  39. ↑ Tratados de Tait sobre cuaterniones en Google Libros
  40. ↑ Lecciones de Hamilton sobre cuaterniones, pág. 38 en Google Libros
  41. ↑ Lecciones de Hamilton sobre cuaterniones, página 41 en Google Libros
  42. ↑ Lecciones de Hamilton sobre cuaterniones, pág. 42 en Google Libros
  43. ↑ Hardy (1881), páginas 40-41 en Google Libros
  44. ↑ Hardy 1887 pág. 45 fórmula 29 en Google Libros
  45. ↑ Hardy 1887 pág. 45 fórmula 30 en Google Libros
  46. ↑ Hardy 1887 pág. 46 en Google Libros
  47. ↑ Elementos de cuaterniones, libro uno. En Google Libros
  48. ↑ Hardy (1881), pág. 39, artículo 25 en Google Libros
  49. ↑ Hamilton 1853 pág. 27 explica Factor Faciend y Factum en Google Books
  50. ↑ Hamilton 1898, sección 103 en Google Libros
  51. ↑ (1887) escalar del producto vector del producto definido, pág. 57 en Google Books
  52. ↑ Hamilton 1898 pág. 164 El tensor del versor de un vector es la unidad. ( Google Books)
  53. ↑ Elementos de cuaterniones, cap. 11 en Google Libros
  54. ↑ Hardy (1881), pág. 65 en Google Libros
  55. ↑ Hamilton 1898 pág. 169 art. 190 El tensor del cuadrado es el cuadrado del tensor en Google Books
  56. ↑ Hamilton 1898 pág. 167 art. 187 ecuación 12 Los tensores de cuaterniones conjugados son iguales en Google Books
  57. ↑ "Hamilton (1853), pág. 164, art. 148" .
  58. ↑ Hamilton (1899), pág. 118 en Google Libros
  59. ↑ Hamilton (1899), pág. 118 en Google Libros
  60. ↑ Véase Goldstein (1980), capítulo 7, para la misma función escrita en notación matricial.
  61. ↑ "Lorentz transforma a Hamilton (1853), pág. 268, 1853" .
  62. ↑ Hardy (1881), pág. 71 en Google Libros
  63. ↑ Hamilton (1899), págs. 128-129 en Google Libros
  64. ↑ Véase la nota al pie de página, donde la palabra «probado» está resaltada. ( Google Books)
  65. ↑ Véase Hamilton 1898, pág. 169, art. 190, para la demostración de la relación entre tensor y norma común en Google Books.
  66. ↑ Hamilton 1899 pág. 138 en Google Libros
  67. ↑ Consulte los artículos 256 y 257 de Elementos de cuaterniones en Google Libros.
  68. ↑ Artículo 214 de Hamilton Elements, comentario infame... como ya se le habría ocurrido a cualquiera que hubiera leído los artículos anteriores con atención en Google Books.
  69. ↑ Elementos de cuaterniones, artículo 149 en Google Libros
  70. ↑ Véase el artículo 214 sobre elementos de cuaterniones en Google Libros.
  71. ↑ Hamilton Elements of Quaternions pág. 276 Ejemplo de notación h para escalar imaginario en Google Books
  72. ↑ Elementos de Hamilton, artículo 274, pág. 300. Ejemplo de uso de la notación h en Google Books.
  73. ↑ Elementos de Hamilton, artículo 274, pág. 300. Ejemplo de h que denota la parte imaginaria del álgebra ordinaria en Google Books.
  74. ↑ Hamilton, William Rowan (1899). Elementos de cuaterniones . Londres, Nueva York y Bombay: Longmans, Green, and Co. pág. v. ISBN  9780828402194.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

Referencias

  • WR Hamilton (1853), Lecciones sobre cuaterniones en Google Books Dublín: Hodges and Smith
  • WR Hamilton (1866), Elementos de cuaterniones en Google Books , 2.ª edición, editado por Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company.
  • A.S. Hardy (1887), Elementos de cuaterniones
  • PG Tait (1890), Un tratado elemental sobre cuaterniones , Cambridge: CJ Clay and Sons
  • Herbert Goldstein (1980), Mecánica clásica , 2.ª edición, número de catálogo de la Biblioteca del Congreso QA805.G6 1980