Producto tensorial de formas cuadráticas

En matemáticas , el producto tensorial de formas cuadráticas se entiende más fácilmente cuando se consideran las formas cuadráticas como espacios cuadráticos . ^{[ 1 ]} Si R es un anillo conmutativo donde 2 es invertible , y si${\displaystyle (V_{1},q_{1})}$y${\displaystyle (V_{2},q_{2})}$Si dos espacios cuadráticos sobre R son , entonces su producto tensorial es .${\displaystyle (V_{1}\otimes V_{2},q_{1}\otimes q_{2})}$es el espacio cuadrático cuyo R - módulo subyacente es el producto tensorial${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$de R -módulos y cuya forma cuadrática es la forma cuadrática asociada al producto tensorial de las formas bilineales asociadas a${\displaystyle q_{1}}$y${\displaystyle q_{2}}$.

En particular, la forma${\displaystyle q_{1}\otimes q_{2}}$Satisface

${\displaystyle (q_{1}\otimes q_{2})(v_{1}\otimes v_{2})=q_{1}(v_{1})q_{2}(v_{2})\quad \forall v_{1}\in V_{1},\ v_{2}\in V_{2}}$

(lo cual, sin embargo, lo caracteriza de manera única). De esto se deduce que si las formas cuadráticas son diagonalizables (lo cual siempre es posible si 2 es invertible en R ), es decir,

${\displaystyle q_{1}\cong \langle a_{1},...,a_{n}\rangle }$

${\displaystyle q_{2}\cong \langle b_{1},...,b_{m}\rangle }$

entonces el producto tensorial tiene diagonalización

${\displaystyle q_{1}\otimes q_{2}\cong \langle a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},...a_{1}b_{m},a_{2}b_{1},...,a_{2}b_{m},...,a_{n}b_{1},...a_{n}b_{m}\rangle .}$