La geometría del ritmo musical

La geometría del ritmo musical: ¿Qué hace que un ritmo sea bueno? es un libro sobre las matemáticas de los ritmos y los golpes de batería . Fue escrito por Godfried Toussaint y publicado por Chapman & Hall /CRC en 2013 y en una segunda edición ampliada en 2020. El Comité de la Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de América ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. ^{[ 1 ]}

Godfried Toussaint (1944–2019) fue un científico informático belga-canadiense que trabajó como profesor de informática en la Universidad McGill y la Universidad de Nueva York . Su principal especialidad profesional era la geometría computacional , ^{[ 2 ]} pero también era baterista de jazz, ^{[ 3 ]} tenía un interés de larga data en las matemáticas de la música y el ritmo musical, y desde 2005 estuvo afiliado como investigador en el Centro de Investigación Interdisciplinaria en Música, Medios y Tecnología de la Escuela de Música Schulich de McGill. ^{[ 2 ]} En 2009 visitó la Universidad de Harvard como becario Radcliffe para avanzar en su investigación sobre el ritmo musical. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Para estudiar los ritmos matemáticamente, Toussaint abstrae muchas de sus características que son importantes musicalmente, que involucran los sonidos o la fuerza de los tiempos individuales, el desfase de los tiempos, los ritmos estructurados jerárquicamente o la posibilidad de música que cambia de un ritmo a otro. La información que queda describe los tiempos de cada compás (una secuencia cíclica de tiempos espaciados uniformemente) como tiempos fuertes (tiempos en los que un tiempo se enfatiza en la interpretación musical) o tiempos débiles (tiempos en los que se omite o se interpreta débilmente). Esto se puede representar combinatoriamente como un collar , una clase de equivalencia de secuencias binarias bajo rotaciones , donde los valores binarios verdaderos representan tiempos fuertes y los falsos representan tiempos débiles. Alternativamente, Toussaint utiliza una representación geométrica como un polígono convexo , la envoltura convexa de un subconjunto de los vértices de un polígono regular , donde los vértices de la envoltura representan los momentos en que se interpreta un tiempo; Dos ritmos se consideran iguales si los polígonos correspondientes son congruentes . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Como ejemplo, el crítico William Sethares (teórico musical e ingeniero) presenta una representación de este tipo para el ritmo tresillo , en el que se marcan tres tiempos de un compás de ocho tiempos , con dos pausas largas y una corta entre cada tiempo. El tresillo puede representarse geométricamente como un triángulo isósceles , formado por tres vértices de un octaedro regular , cuyos dos lados largos y uno corto corresponden a las pausas entre tiempos. En la figura, el inicio convencional de un compás de tresillo, el tiempo anterior al primero de sus dos pausas más largas, se encuentra en el vértice superior, y la progresión cronológica de los tiempos corresponde al orden de los vértices en sentido horario alrededor del polígono. ^{[ 5 ]}

El libro utiliza este método para estudiar y clasificar ritmos existentes de la música del mundo , analizar sus propiedades matemáticas (por ejemplo, el hecho de que muchos de estos ritmos tienen un espaciado entre sus tiempos que, como el tresillo, es casi uniforme pero no exactamente uniforme), diseñar algoritmos que puedan generar patrones de tiempos similares con espaciado casi uniforme para un número arbitrario de tiempos en el ritmo y en el compás, medir la similitud entre ritmos, agrupar ritmos en grupos relacionados utilizando sus similitudes y, en última instancia, intentar capturar la idoneidad de un ritmo para su uso en la música mediante una fórmula matemática. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Toussaint ha utilizado este libro como material auxiliar en cursos introductorios de programación informática, para proporcionar tareas de programación a los estudiantes. ^{[ 5 ]} Es accesible a lectores sin muchos conocimientos previos de matemáticas o teoría musical, ^{[ 4 ] [ 7 ]} y Setheres escribe que «sería una excelente introducción a las ideas de las matemáticas y la informática para el estudiante con inspiración musical». ^{[ 5 ]} El crítico Russell Jay Hendel sugiere que, además de ser leído por placer, podría ser un libro de texto para una asignatura optativa avanzada para un estudiante de matemáticas, o un curso de educación general en matemáticas para no matemáticos. ^{[ 1 ]} Los profesionales en etnomusicología , historia de la música , psicología de la música , teoría musical y composición musical también pueden encontrarlo de interés. ^{[ 7 ]}

A pesar de las preocupaciones sobre cierta terminología mal utilizada, la «ingenuidad hacia la teoría musical fundamental» y la discrepancia entre la representación visual del ritmo y su percepción auditiva, el teórico musical Mark Gotham califica el libro como «una contribución sustancial a un campo que aún se encuentra rezagado con respecto a la literatura teórica más desarrollada sobre la altura del sonido». ^{[ 7 ]} Y aunque el crítico Juan G. Escudero se queja de que las abstracciones matemáticas del libro omiten muchos aspectos importantes de la música y el ritmo musical, y que se han pasado por alto muchas características rítmicas de la música clásica contemporánea , concluye que «los esfuerzos transdisciplinarios de este tipo son necesarios». ^{[ 4 ]} La crítica Ilhand Izmirli califica el libro como «encantador, informativo e innovador». ^{[ 6 ]} Hendel añade que la presentación del material del libro como especulativo y exploratorio, en lugar de definitivo y completo, es «exactamente lo que necesitan los estudiantes [de matemáticas]». ^{[ 1 ]}