Conjunto (física matemática)

En física , específicamente en mecánica estadística , un conjunto (también llamado conjunto estadístico ) es una idealización que consiste en un gran número de copias virtuales (a veces infinitas) de un sistema , consideradas simultáneamente, cada una de las cuales representa un posible estado en el que podría encontrarse el sistema real. En otras palabras, un conjunto estadístico es un conjunto de sistemas de partículas utilizado en mecánica estadística para describir un único sistema. ^{[ 1 ]} El concepto de conjunto fue introducido por J. Willard Gibbs en 1902. ^{[ 2 ]}

Un conjunto termodinámico es una variedad específica de conjunto estadístico que, entre otras propiedades, se encuentra en equilibrio estadístico (definido más adelante), y se utiliza para derivar las propiedades de los sistemas termodinámicos a partir de las leyes de la mecánica clásica o cuántica. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Consideraciones físicas

El modelo de conjunto formaliza la idea de que un experimentador que repite un experimento una y otra vez bajo las mismas condiciones macroscópicas, pero sin poder controlar los detalles microscópicos, puede esperar observar una variedad de resultados diferentes.

El tamaño conceptual de los conjuntos en termodinámica, mecánica estadística y mecánica estadística cuántica puede ser muy grande, incluyendo todos los posibles estados microscópicos en los que podría encontrarse el sistema, de acuerdo con sus propiedades macroscópicas observadas . Para muchos casos físicos importantes, es posible calcular promedios directamente sobre todo el conjunto termodinámico, para obtener fórmulas explícitas para muchas de las magnitudes termodinámicas de interés, a menudo en términos de la función de partición apropiada .

El concepto de conjunto en equilibrio o estacionario es crucial para muchas aplicaciones de los conjuntos estadísticos. Si bien un sistema mecánico evoluciona con el tiempo, el conjunto no necesariamente tiene que evolucionar. De hecho, el conjunto no evolucionará si contiene todas las fases pasadas y futuras del sistema. Un conjunto estadístico de este tipo, que no cambia con el tiempo, se denomina estacionario y se puede decir que está en equilibrio estadístico . ^{[ 2 ]}

Terminología

El término «conjunto» también se utiliza para referirse a un conjunto más reducido de posibilidades extraídas del conjunto completo de estados posibles. Por ejemplo, en algunos textos , una colección de caminantes en una iteración de Monte Carlo de cadena de Markov se denomina conjunto.
El término "conjunto" se usa frecuentemente en física y en la literatura influenciada por la física. En teoría de la probabilidad , el término " espacio de probabilidad" es más común.

Tipos principales

El estudio de la termodinámica se centra en sistemas que, a simple vista, parecen estar en reposo (a pesar del movimiento de sus componentes internos) y que pueden describirse mediante un conjunto de variables macroscópicamente observables. Estos sistemas pueden describirse mediante conjuntos estadísticos que dependen de unos pocos parámetros observables y que se encuentran en equilibrio estadístico. Gibbs observó que distintas restricciones macroscópicas dan lugar a diferentes tipos de conjuntos, con características estadísticas particulares.

"Podemos imaginar un gran número de sistemas de la misma naturaleza, pero que difieren en las configuraciones y velocidades que tienen en un instante dado, y que difieren no solo infinitesimalmente, sino que pueden llegar a abarcar cualquier combinación imaginable de configuración y velocidades..." JW Gibbs (1903) ^{[ 5 ]}

Gibbs definió tres conjuntos termodinámicos importantes: ^{[ 2 ]}

Conjunto microcanónico (o conjunto NVE ): un conjunto estadístico donde la energía total del sistema y el número de partículas en el sistema están fijados a valores particulares; se requiere que cada uno de los miembros del conjunto tenga la misma energía total y el mismo número de partículas. El sistema debe permanecer totalmente aislado (incapaz de intercambiar energía o partículas con su entorno) para mantenerse en equilibrio estadístico.^{[ 2 ]}
Conjunto canónico (o conjunto NVT ): un conjunto estadístico donde la energía no se conoce con exactitud, pero el número de partículas es fijo. En lugar de la energía, se especifica la temperatura . El conjunto canónico es apropiado para describir un sistema cerrado que está, o ha estado, en contacto térmico débil con un baño térmico. Para estar en equilibrio estadístico, el sistema debe permanecer totalmente cerrado (incapaz de intercambiar partículas con su entorno) y puede entrar en contacto térmico débil con otros sistemas descritos por conjuntos con la misma temperatura.^{[ 2 ]}
Conjunto gran canónico (o conjunto μVT ): un conjunto estadístico donde ni la energía ni el número de partículas están fijos. En su lugar, se especifican la temperatura y el potencial químico . El conjunto gran canónico es apropiado para describir un sistema abierto: uno que está o ha estado en contacto débil con un reservorio (contacto térmico, contacto químico, contacto radiativo, contacto eléctrico, etc.). El conjunto permanece en equilibrio estadístico si el sistema entra en contacto débil con otros sistemas descritos por conjuntos con la misma temperatura y potencial químico.^{[ 2 ]}

Los cálculos que se pueden realizar utilizando cada uno de estos conjuntos se exploran con mayor detalle en sus respectivos artículos. También se pueden definir otros conjuntos termodinámicos, que corresponden a diferentes requisitos físicos, para los cuales a menudo se pueden derivar fórmulas análogas. Por ejemplo, en el conjunto de reacción, las fluctuaciones en el número de partículas solo se permiten de acuerdo con la estequiometría de las reacciones químicas presentes en el sistema. ^{[ 6 ]}

Equivalencia

En el límite termodinámico, todos los conjuntos deberían producir observables idénticos debido a las transformaciones de Legendre ; las desviaciones de esta regla ocurren bajo condiciones en las que las variables de estado no son convexas, como en las mediciones moleculares pequeñas. ^{[ 7 ]}

Representaciones

La expresión matemática precisa para un conjunto estadístico tiene una forma distinta según el tipo de mecánica que se considere (cuántica o clásica). En el caso clásico, el conjunto es una distribución de probabilidad sobre los microestados. En mecánica cuántica, esta noción, debida a von Neumann , es una forma de asignar una distribución de probabilidad sobre los resultados de cada conjunto completo de observables conmutativos . En mecánica clásica, el conjunto se escribe como una distribución de probabilidad en el espacio de fases ; los microestados son el resultado de particionar el espacio de fases en unidades de igual tamaño, aunque el tamaño de estas unidades puede elegirse de forma algo arbitraria.

Requisitos para las representaciones

Dejando de lado por el momento la cuestión de cómo se generan operacionalmente los conjuntos estadísticos , deberíamos poder realizar las dos operaciones siguientes en los conjuntos A y B del mismo sistema:

Comprueba si A y B son estadísticamente equivalentes.
Si p es un número real tal que $0 < p < 1$ , entonces se produce un nuevo conjunto mediante muestreo probabilístico de A con probabilidad p y de B con probabilidad $1 - p$ .

Por lo tanto, bajo ciertas condiciones, las clases de equivalencia de conjuntos estadísticos tienen la estructura de un conjunto convexo.

Mecánica cuántica

Un conjunto estadístico en mecánica cuántica (también conocido como estado mixto) se representa con mayor frecuencia mediante una matriz de densidad , denotada por ${\hat {\rho }}$ La matriz de densidad proporciona una herramienta completamente general que puede incorporar tanto incertidumbres cuánticas (presentes incluso si el estado del sistema fuera completamente conocido) como incertidumbres clásicas (debido a la falta de conocimiento) de manera unificada. Cualquier observable físico $X$ en mecánica cuántica puede escribirse como un operador, ${\hat {X}}$ El valor esperado de este operador en el conjunto estadístico $\rho$ viene dado por el siguiente rastro : $\langle X\rangle =\operatorname {Tr} ({\hat {X}}\rho ).$ Esto se puede utilizar para evaluar promedios (operador ${\hat {X}}$ ), varianzas (usando el operador ${\hat {X}}^{2}$ ), covarianzas (usando el operador ${\hat {X}}{\hat {Y}}$ ), etc. La matriz de densidad siempre debe tener una traza de 1: $\operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1$ (Esta es esencialmente la condición de que las probabilidades deben sumar uno).

En general, el conjunto evoluciona con el tiempo según la ecuación de von Neumann .

Conjuntos en equilibrio (aquellos que no evolucionan con el tiempo, $d{\hat {\rho }}/dt=0$ ) puede escribirse únicamente como una función de variables conservadas. Por ejemplo, el conjunto microcanónico y el conjunto canónico son estrictamente funciones de la energía total, que se mide mediante el operador de energía total. ${\hat {H}}$ (Hamiltoniano). El ensamble gran canónico es además una función del número de partículas, medido por el operador del número total de partículas. ${\hat {N}}$ . Dichos conjuntos de equilibrio son una matriz diagonal en la base ortogonal de estados que diagonalizan simultáneamente cada variable conservada. En notación bra-ket , la matriz de densidad es ${\hat {\rho }}=\sum _{i}P_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,$ donde los $| ψ i ⟩$ , indexados por $i$ , son los elementos de una base completa y ortogonal. (Tenga en cuenta que en otras bases, la matriz de densidad no es necesariamente diagonal).

Mecánica clásica

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fases (arriba). Cada sistema consta de una partícula masiva en un pozo de potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). El conjunto, inicialmente compacto, se expande con el tiempo.

En mecánica clásica, un conjunto se representa mediante una función de densidad de probabilidad definida sobre el espacio de fases del sistema . ^{[ 2 ]} Mientras que un sistema individual evoluciona según las ecuaciones de Hamilton , la función de densidad (el conjunto) evoluciona en el tiempo según la ecuación de Liouville .

En un sistema mecánico con un número definido de partes, el espacio de fases tiene $n$ coordenadas generalizadas llamadas $q 1, ... q n$ , y $n$ momentos canónicos asociados llamados $p 1, ... p n$ . El conjunto se representa entonces mediante una función de densidad de probabilidad conjunta $ρ (p 1, ... p n, q 1, ... q n)$ .

Si se permite que el número de partes en el sistema varíe entre los sistemas del conjunto (como en un gran conjunto donde el número de partículas es una cantidad aleatoria), entonces es una distribución de probabilidad sobre un espacio de fase extendido que incluye variables adicionales como el número de partículas $N 1$ (primer tipo de partícula), $N 2$ (segundo tipo de partícula), y así sucesivamente hasta $N s$ (el último tipo de partícula; $s$ es la cantidad de tipos diferentes de partículas que hay). El conjunto se representa entonces mediante una función de densidad de probabilidad conjunta $ρ (N 1, ... N s, p 1, ... p n, q 1, ... q n)$ . El número de coordenadas $n$ varía con el número de partículas.

Cualquier magnitud mecánica $X$ puede escribirse como una función de la fase del sistema. El valor esperado de dicha magnitud viene dado por una integral sobre todo el espacio de fases de esta magnitud ponderada por $ρ$ : $\langle X\rangle =\sum _{N_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \cdots \int \rho X\,dp_{1}\cdots dq_{n}.$ Se aplica la condición de normalización de probabilidad, lo que requiere $\sum _{N_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \cdots \int \rho \,dp_{1}\cdots dq_{n}=1.$

El espacio de fases es un espacio continuo que contiene un número infinito de estados físicos distintos dentro de cualquier región pequeña. Para conectar la densidad de probabilidad en el espacio de fases con una distribución de probabilidad sobre los microestados, es necesario particionar el espacio de fases en bloques distribuidos que representen los diferentes estados del sistema de manera equitativa. Resulta que la forma correcta de hacerlo simplemente da como resultado bloques de igual tamaño del espacio de fases canónico, por lo que un microestado en mecánica clásica es una región extendida en el espacio de fases de coordenadas canónicas que tiene un volumen particular. ^{[ nota 1 ]} En particular, la función de densidad de probabilidad en el espacio de fases, $ρ$ , está relacionada con la distribución de probabilidad sobre los microestados, $P,$ por un factor $\rho ={\frac {1}{h^{n}C}}P,$ dónde

$h$ es una constante arbitraria pero predeterminada con unidades de $energía\timestiempo$ , que establece la extensión del microestado y proporciona las dimensiones correctas a $ρ$ .^{[ nota 2 ]}
$C$ es un factor de corrección por sobreconteo (véase más abajo), que generalmente depende del número de partículas y otras consideraciones similares.

Dado que $h$ puede elegirse arbitrariamente, el tamaño conceptual de un microestado también es arbitrario. Sin embargo, el valor de $h$ influye en las desviaciones de magnitudes como la entropía y el potencial químico, por lo que es importante mantener la coherencia con el valor de $h$ al comparar diferentes sistemas.

Corrección del conteo excesivo en el espacio de fases

Por lo general, el espacio de fases contiene duplicados del mismo estado físico en múltiples ubicaciones distintas. Esto es consecuencia de la forma en que un estado físico se codifica en coordenadas matemáticas; la elección más simple del sistema de coordenadas a menudo permite que un estado se codifique de múltiples maneras. Un ejemplo de esto es un gas de partículas idénticas cuyo estado se escribe en términos de las posiciones y momentos individuales de las partículas: cuando se intercambian dos partículas, el punto resultante en el espacio de fases es diferente, pero corresponde a un estado físico idéntico del sistema. En mecánica estadística (una teoría sobre estados físicos) es importante reconocer que el espacio de fases es solo una construcción matemática y no sobreestimar ingenuamente los estados físicos reales al integrar sobre el espacio de fases. La sobreestimación puede causar serios problemas.

Dependencia de las cantidades derivadas (como la entropía y el potencial químico) de la elección del sistema de coordenadas, ya que un sistema de coordenadas puede mostrar mayor o menor sobreestimación que otro. ^{[ nota 3 ]}
Conclusiones erróneas que son inconsistentes con la experiencia física, como en la paradoja de la mezcla . ^{[ 2 ]}
Cuestiones fundamentales en la definición del potencial químico y el conjunto gran canónico . ^{[ 2 ]}

En general, resulta difícil encontrar un sistema de coordenadas que codifique de forma unívoca cada estado físico. Por consiguiente, suele ser necesario utilizar un sistema de coordenadas con múltiples copias de cada estado, para luego identificar y eliminar el exceso de copias.

Una solución rudimentaria para eliminar el conteo excesivo sería definir manualmente una subregión del espacio de fases que incluya cada estado físico solo una vez y, posteriormente, excluir todas las demás partes del espacio de fases. En un gas, por ejemplo, se podrían incluir únicamente las fases donde las coordenadas $x$ de las partículas estén ordenadas de forma ascendente. Si bien esto resolvería el problema, la integral resultante sobre el espacio de fases sería tediosa de calcular debido a la forma inusual de su límite. (En este caso, el factor $C$ introducido anteriormente se establecería en $C = 1$ , y la integral se restringiría a la subregión seleccionada del espacio de fases).

Una forma más sencilla de corregir el sobreconteo consiste en integrar sobre todo el espacio de fases, pero reduciendo el peso de cada fase para compensar exactamente dicho sobreconteo. Esto se logra mediante el factor $C$ introducido anteriormente, que es un número entero que representa la cantidad de formas en que un estado físico puede representarse en el espacio de fases. Su valor no varía con las coordenadas canónicas continuas ^{[ nota 4 ]} , por lo que el sobreconteo puede corregirse simplemente integrando sobre todo el rango de coordenadas canónicas y dividiendo el resultado por el factor de sobreconteo. Sin embargo, $C$ sí varía considerablemente con variables discretas como el número de partículas, por lo que debe aplicarse antes de sumar sobre el número de partículas.

Como se mencionó anteriormente, el ejemplo clásico de este sobreconteo es para un sistema fluido que contiene varios tipos de partículas, donde dos partículas cualesquiera del mismo tipo son indistinguibles e intercambiables. Cuando el estado se escribe en términos de las posiciones y momentos individuales de las partículas, entonces el sobreconteo relacionado con el intercambio de partículas idénticas se corrige utilizando ^{[ 2 ].} $C=N_{1}!N_{2}!\cdots N_{s}!.$ Esto se conoce como "conteo de Boltzmann correcto".

Conjuntos en estadística

La formulación de conjuntos estadísticos utilizada en física se ha adoptado ampliamente en otros campos, en parte porque se ha reconocido que el conjunto canónico o medida de Gibbs sirve para maximizar la entropía de un sistema, sujeto a un conjunto de restricciones: este es el principio de máxima entropía . Este principio se ha aplicado ampliamente a problemas de lingüística , robótica y campos similares.

Además, los conjuntos estadísticos en física suelen basarse en el principio de localidad : que todas las interacciones se producen únicamente entre átomos vecinos o moléculas cercanas. Así, por ejemplo, los modelos de red , como el modelo de Ising , modelan los materiales ferromagnéticos mediante interacciones entre espines vecinos. La formulación estadística del principio de localidad se considera ahora una forma de la propiedad de Markov en sentido amplio; los vecinos más cercanos se denominan ahora mantas de Markov . Por lo tanto, la noción general de un conjunto estadístico con interacciones entre vecinos más cercanos da lugar a campos aleatorios de Markov , que a su vez encuentran una amplia aplicabilidad; por ejemplo, en las redes de Hopfield .

Promedio del conjunto

En mecánica estadística , el promedio de conjunto se define como la media de una cantidad que es función del microestado de un sistema, según la distribución del sistema en sus microestados en este conjunto .

Dado que el promedio de conjunto depende del conjunto elegido, su expresión matemática varía de un conjunto a otro. Sin embargo, la media obtenida para una magnitud física dada no depende del conjunto elegido en el límite termodinámico . El conjunto gran canónico es un ejemplo de un sistema abierto . ^{[ 8 ]}

Mecánica estadística clásica

Para un sistema clásico en equilibrio térmico con su entorno, el promedio de conjunto toma la forma de una integral sobre el espacio de fases del sistema: ${\bar {A}}={\frac {\displaystyle \int {A\exp \left[-\beta H(q_{1},q_{2},\dots ,q_{M},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})\right]\,d\tau }}{\displaystyle \int {\exp \left[-\beta H(q_{1},q_{2},\dots ,q_{M},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})\right]\,d\tau }}},$ dónde

${\bar {A}}$ es el promedio de conjunto de la propiedad del sistema $A$ ,
$\beta$ es ${\frac {1}{kT}}$ , conocida como beta termodinámica ,
$H$ es el hamiltoniano del sistema clásico en términos del conjunto de coordenadas. $q_{i}$ y sus momentos generalizados conjugados $p_{i}$ ,
$d\tau$ es el elemento de volumen del espacio de fase clásico de interés.

El denominador de esta expresión se conoce como función de partición y se denota con la letra Z.

Mecánica estadística cuántica

En mecánica estadística cuántica , cuando un sistema está en equilibrio térmico, se toman promedios térmicos sobre los autoestados de energía discretos del sistema , porque el hamiltoniano cuántico tiene un espectro cuantizado en lugar de un espacio de fase continuo. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} ${\bar {A}}={\frac {\sum _{i}A_{i}e^{-\beta E_{i}}}{\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}}}.$

Promedio del conjunto canónico

La versión generalizada de la función de partición proporciona el marco completo para trabajar con promedios de conjunto en termodinámica, teoría de la información , mecánica estadística y mecánica cuántica .

El ensamble microcanónico representa un sistema aislado en el que la energía ( E ), el volumen ( V ) y el número de partículas ( N ) son constantes. El ensamble canónico representa un sistema cerrado que puede intercambiar energía ( E ) con su entorno (generalmente un baño térmico), pero el volumen ( V ) y el número de partículas ( N ) son constantes. El ensamble gran canónico representa un sistema abierto que puede intercambiar energía ( E ) y partículas ( N ) con su entorno, pero el volumen ( V ) se mantiene constante.

Interpretación operacional

En la discusión presentada hasta ahora, si bien rigurosa, hemos dado por sentado que la noción de conjunto es válida a priori, como se hace comúnmente en el contexto físico. Lo que no se ha demostrado es que el conjunto en sí (no los resultados consecuentes) sea un objeto definido con precisión matemáticamente. Por ejemplo,

No está claro dónde existe este conjunto tan grande de sistemas (por ejemplo, ¿es un gas de partículas dentro de un recipiente ?).
No está claro cómo generar físicamente un conjunto.

En esta sección, intentamos responder parcialmente a esta pregunta.

Supongamos que tenemos un procedimiento de preparación para un sistema en un laboratorio de física: por ejemplo, el procedimiento podría involucrar un aparato físico y algunos protocolos para manipularlo. Como resultado de este procedimiento, se produce un sistema que se mantiene aislado durante un breve período de tiempo. Al repetir este procedimiento de preparación de laboratorio, obtenemos una secuencia de sistemas _X₁_,X₂ , ... , Xk , que en nuestra idealización matemática, suponemos que es una _secuenciainfinita de sistemas. Los sistemas son similares en el sentido de que todos fueron producidos de la misma manera. Esta secuencia infinita es un conjunto.

En un entorno de laboratorio, cada uno de estos sistemas preparados podría utilizarse como entrada para un procedimiento de prueba posterior . De nuevo, el procedimiento de prueba implica un aparato físico y algunos protocolos; como resultado del procedimiento de prueba obtenemos una respuesta de sí o no . Dado un procedimiento de prueba E aplicado a cada sistema preparado, obtenemos una secuencia de valores Meas( E , X1 ), Meas( E , X2 ) , ..., Meas( _E , Xk ₎_{. Cada uno de estos valores es 0 (o no} ) o 1 (sí).

Supongamos que existe el siguiente promedio temporal: $\sigma (E)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Meas} (E,X_{k})$ Para los sistemas mecánicos cuánticos, una suposición importante en el enfoque de la lógica cuántica a la mecánica cuántica es la identificación de preguntas de sí o no con la red de subespacios cerrados de un espacio de Hilbert. Con algunas suposiciones técnicas adicionales, se puede inferir que los estados vienen dados por operadores de densidad S de tal manera que: $\sigma (E)=\operatorname {Tr} (ES).$

Vemos que esto refleja la definición de estados cuánticos en general: un estado cuántico es una correspondencia entre las magnitudes observables y sus valores esperados.

Véase también

Matriz de densidad : herramienta matemática en física cuántica
Conjunto (mecánica de fluidos) – Colección imaginaria de experimentos conceptualmente idénticos
Interpretación de conjuntos : concepto en mecánica cuántica
Espacio de fases : espacio de todos los estados posibles que puede tomar un sistema.
Teorema de Liouville (Hamiltoniano) : Resultado clave en la mecánica hamiltoniana y la mecánica estadística.
Estadística de Maxwell-Boltzmann : distribución estadística utilizada en mecánica de muchas partículas.
Replicación (estadística) : Principio según el cual la variación se puede estimar mejor mediante la repetición de condiciones que no varían.

Notas

↑ Esta partición de volumen igual es consecuencia del teorema de Liouville , es decir, del principio de conservación de la extensión en el espacio de fases canónico para la mecánica hamiltoniana. Esto también puede demostrarse partiendo de la concepción de un conjunto como una multitud de sistemas. Véase el capítulo I de los Principios Elementales de Gibbs.
↑ (Nota histórica) El ensamble original de Gibbs estableció efectivamente $h = 1 [unidad de energía] \times [unidad de tiempo]$ , lo que provocó una dependencia de las unidades en los valores de algunas magnitudes termodinámicas como la entropía y el potencial químico. Desde el advenimiento de la mecánica cuántica, $a menudo se toma h$ igual a la constante de Planck para obtener una correspondencia semiclasica con la mecánica cuántica.
↑ En algunos casos, el error de sobreconteo es benigno. Un ejemplo es la elección del sistema de coordenadas utilizado para representar las orientaciones de objetos tridimensionales . Una codificación simple es la 3-esfera (por ejemplo, cuaterniones unitarios), que es una doble cobertura : cada orientación física puede codificarse de dos maneras. Si esta codificación se utiliza sin corregir el sobreconteo, la entropía será mayor en $k log 2$ por objeto rotable y el potencial químico menor en $kT log 2.$ Esto en realidad no produce ningún error observable, ya que solo causa desplazamientos no observables.
↑ Técnicamente, existen algunas fases en las que la permutación de partículas ni siquiera produce una fase específica distinta: por ejemplo, dos partículas similares pueden compartir la misma trayectoria, estado interno, etc. Sin embargo, en mecánica clásica, estas fases solo constituyen una fracción infinitesimal del espacio de fases (tienen medida cero) y, por lo tanto, no contribuyen a ninguna integral de volumen en el espacio de fases.

Referencias

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↑ "Mecánica estadística de sistemas clásicos" (PDF) . Departamento de Física y Astronomía de la Universidad George Mason . Consultado el 3 de noviembre de 2023 .
↑ Landau, LD; Lifshitz, EM (1980). Física estadística, parte 1 (3.ª ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-3372-7.
↑ Huang, Kerson (1987). Mecánica estadística . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-81518-1.

Enlaces externos

Aplicación del método de Monte Carlo en problemas de física estadística.

[8] Esta partición de volumen igual es consecuencia del teorema de Liouville , es decir, del principio de conservación de la extensión en el espacio de fases canónico para la mecánica hamiltoniana. Esto también puede demostrarse partiendo de la concepción de un conjunto como una multitud de sistemas. Véase el capítulo I de los Principios Elementales de Gibbs.

[9] (Nota histórica) El ensamble original de Gibbs estableció efectivamente $h = 1 [unidad de energía] \times [unidad de tiempo]$ , lo que provocó una dependencia de las unidades en los valores de algunas magnitudes termodinámicas como la entropía y el potencial químico. Desde el advenimiento de la mecánica cuántica, $a menudo se toma h$ igual a la constante de Planck para obtener una correspondencia semiclasica con la mecánica cuántica.

[10] En algunos casos, el error de sobreconteo es benigno. Un ejemplo es la elección del sistema de coordenadas utilizado para representar las orientaciones de objetos tridimensionales . Una codificación simple es la 3-esfera (por ejemplo, cuaterniones unitarios), que es una doble cobertura : cada orientación física puede codificarse de dos maneras. Si esta codificación se utiliza sin corregir el sobreconteo, la entropía será mayor en $k log 2$ por objeto rotable y el potencial químico menor en $kT log 2.$ Esto en realidad no produce ningún error observable, ya que solo causa desplazamientos no observables.

[11] Técnicamente, existen algunas fases en las que la permutación de partículas ni siquiera produce una fase específica distinta: por ejemplo, dos partículas similares pueden compartir la misma trayectoria, estado interno, etc. Sin embargo, en mecánica clásica, estas fases solo constituyen una fracción infinitesimal del espacio de fases (tienen medida cero) y, por lo tanto, no contribuyen a ninguna integral de volumen en el espacio de fases.

[ensamble_dictionary-1] Rennie, Richard; Jonathan Law (2019). Oxford Dictionary of Physics . Oxford University Press. pp. 458 y ss. ISBN 978-0-19-882147-2.

[gibbs-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gibbs, Josiah Willard (1902). Principios elementales de mecánica estadística . Nueva York: Charles Scribner's Sons .

[Kittel-3] Kittel, Charles ; Herbert Kroemer (1980). Física térmica, segunda edición . San Francisco: WH Freeman and Company. pp. 31 y ss. ISBN 0-7167-1088-9.

[Landau-4] Landau, LD ; Lifshitz, EM (1980). Física estadística . Pergamon Press. págs. 9 y ss. ISBN 0-08-023038-5.

[5] Gibbs, JW (1928). Obras completas, vol. 2. Green & Co, Londres, Nueva York: Longmans.

[6] Heath Turner, C.; Brennan, John K.; Lísal, Martin; Smith, William R.; Karl Johnson, J.; Gubbins, Keith E. (2008). "Simulación de equilibrios de reacciones químicas mediante el método de Monte Carlo de conjunto de reacciones: una revisión". Simulación molecular . 34 (2). Informa UK Limited: 119– 146. doi : 10.1080/08927020801986564 . ISSN 0892-7022 .

[pre_eq-7] Suzen, M; Sega, M; Holm, C (18 de mayo de 2009). ""Desequivalencia de conjuntos en experimentos con moléculas individuales"" . Physical Review E . 79 (5) 051118. arXiv : 0810.3407 . Bibcode : 2009PhRvE..79e1118S . doi : 10.1103/PhysRevE.79.051118 . Consultado el 3 de marzo de 2024 .

[12] "Mecánica estadística de sistemas clásicos" (PDF) . Departamento de Física y Astronomía de la Universidad George Mason . Consultado el 3 de noviembre de 2023 .

[13] Landau, LD; Lifshitz, EM (1980). Física estadística, parte 1 (3.ª ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-3372-7.

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