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Lema de Margulis

En geometría diferencial , el lema de Margulis (llamado así en honor a Grigory Margulis ) es un resultado sobre subgrupos discretos de isometrías de una variedad riemanniana de ...

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En geometría diferencial , el lema de Margulis (llamado así en honor a Grigory Margulis ) es un resultado sobre subgrupos discretos de isometrías de una variedad riemanniana de curvatura no positiva (por ejemplo, el espacio hiperbólico n-dimensional ). En términos generales, establece que, dentro de un radio fijo, generalmente denominado constante de Margulis , la estructura de las órbitas de dicho grupo no puede ser demasiado compleja. Más precisamente, dentro de este radio alrededor de un punto, todos los puntos de su órbita pertenecen a la órbita de un subgrupo nilpotente (de hecho, existe un número finito y acotado de tales subgrupos).

El lema de Margulis para variedades de curvatura no positiva

Declaración formal

El lema de Margulis se puede formular de la siguiente manera. [ 1 ]

Dejarincógnita{\displaystyle X}Sea una variedad simplemente conexa de curvatura seccional acotada no positiva . Existen constantesdo,ε>0{\displaystyle C,\varepsilon >0}con la siguiente propiedad. Para cualquier subgrupo discretoΓ{\displaystyle \Gamma }del grupo de isometrías deincógnita{\displaystyle X}y cualquierincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}, siFincógnita{\displaystyle F_{x}}es el conjunto:

Fincógnita={gramo∈Γ:d(incógnita,gramoincógnita)<ε}{\displaystyle F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}}

luego el subgrupo generado porFincógnita{\displaystyle F_{x}}contiene un subgrupo nilpotente de índice menor quedo{\displaystyle C}. Aquíd{\displaystyle d}es la distancia inducida por la métrica riemanniana.

Una afirmación inmediatamente equivalente puede expresarse de la siguiente manera: para cualquier subconjuntoF{\displaystyle F}del grupo de isometría , si satisface que:

  • existe unincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}de tal manera que∀gramo∈F:d(incógnita,gramoincógnita)<ε{\displaystyle \forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon };
  • el grupo⟨F⟩{\displaystyle \langle F\rangle }generado porF{\displaystyle F}es discreto

entonces⟨F⟩{\displaystyle \langle F\rangle }contiene un subgrupo nilpotente del índice≤do{\displaystyle \leq C}.

constantes de Margulis

La constante óptimaε{\displaystyle \varepsilon }En la declaración se puede hacer que dependa solo de la dimensión y del límite inferior de la curvatura; normalmente se normaliza de modo que la curvatura esté entre -1 y 0. Generalmente se la denomina constante de Margulis de la dimensión.

También se pueden considerar las constantes de Margulis para espacios específicos. Por ejemplo, se ha realizado un importante esfuerzo para determinar la constante de Margulis de los espacios hiperbólicos (de curvatura constante -1). Por ejemplo:

  • La constante óptima para el plano hiperbólico es igual a2arsinh⁡(2porque⁡(2π/7)−18porque⁡(π/7)+7)≃0,2629{\displaystyle 2\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0.2629}; [ 2 ]
  • En general, la constante de Margulisεnorte{\displaystyle \varepsilon _{n}}para la hiperbólicanorte{\displaystyle n}-Se sabe que el espacio satisface los límites:do−norte2<εnorte<K/norte{\displaystyle c^{-n^{2}}<\varepsilon _{n}<K/{\sqrt {n}}}para algunos0<do<1,K>0{\displaystyle 0<c<1,K>0}. [ 3 ]

barrios de Zassenhaus

Una familia de ejemplos particularmente estudiada de variedades de curvatura negativa la constituyen los espacios simétricos asociados a grupos de Lie semisimples . En este caso, el lema de Margulis puede expresarse mediante la siguiente formulación más algebraica, que se remonta a Hans Zassenhaus . [ 4 ]

SiGRAMO{\displaystyle G}es un grupo de Lie semisimple existe un vecindarioΩ{\displaystyle \Omega }de la identidad enGRAMO{\displaystyle G}y undo>0{\displaystyle C>0}de tal manera que cualquier subgrupo discretoΓ{\displaystyle \Gamma }que es generado porΓ∩Ω{\displaystyle \Gamma \cap \Omega }contiene un subgrupo nilpotente del índice≤do{\displaystyle \leq C}.

Un barrio asíΩ{\displaystyle \Omega }se llama barrio Zassenhaus enGRAMO{\displaystyle G}. SiGRAMO{\displaystyle G}es compacto este teorema equivale al teorema de Jordan sobre grupos lineales finitos .

Descomposición gruesa-delgada

DejarMETRO{\displaystyle M}sea ​​una variedad riemanniana yε>0{\displaystyle \varepsilon >0}. La parte delgada deMETRO{\displaystyle M}es el subconjunto de puntosincógnita∈METRO{\displaystyle x\in M}donde el radio de inyectividad deMETRO{\displaystyle M}enincógnita{\displaystyle x}es menor queε{\displaystyle \varepsilon }, generalmente denotadoMETRO<ε{\displaystyle M_{<\varepsilon }}y la parte gruesa su complemento, generalmente denotadaMETRO≥ε{\displaystyle M_{\geq \varepsilon }}Existe una descomposición tautológica en una unión disjunta.METRO=METRO<ε∪METRO≥ε{\displaystyle M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }}.

CuandoMETRO{\displaystyle M}tiene curvatura negativa yε{\displaystyle \varepsilon }es menor que la constante de Margulis para la cobertura universalMETRO~{\displaystyle {\widetilde {M}}}La estructura de los componentes de la parte delgada es muy simple. Restringámonos al caso de variedades hiperbólicas de volumen finito. Supongamos queε{\displaystyle \varepsilon }es menor que la constante de Margulis paraHnorte{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}y dejarMETRO{\displaystyle M}ser hiperbóliconorte{\displaystyle n}-variedad de volumen finito. Entonces su parte delgada tiene dos tipos de componentes: [ 5 ]

  • Cúspides : estos son los componentes no acotados, son difeomorfos a un plano(norte−1){\displaystyle (n-1)}-múltiples veces una línea;
  • Tubos de Margulis: estos son vecindarios de geodésicas cerradas de longitud<ε{\displaystyle <\varepsilon }enMETRO{\displaystyle M}. Están limitados y (siMETRO{\displaystyle M}es orientable) difeomorfo a un círculo por un(norte−1){\displaystyle (n-1)}-desct.

En particular, una variedad hiperbólica de volumen finito completa es siempre difeomorfa al interior de una variedad compacta (posiblemente con frontera vacía).

Otras aplicaciones

El lema de Margulis es una herramienta importante en el estudio de variedades de curvatura negativa. Además de la descomposición gruesa-delgada, otras aplicaciones son:

  • El lema del collar : esta es una versión más precisa de la descripción de los componentes compactos de las partes delgadas. Afirma que cualquier geodésica cerrada de longitudℓ<ε{\displaystyle \ell <\varepsilon }En una superficie hiperbólica se encuentra contenido un cilindro incrustado de diámetro de ordenℓ−1{\displaystyle \ell ^{-1}}.
  • El lema de Margulis proporciona una solución cualitativa inmediata al problema del covolumen mínimo entre variedades hiperbólicas: dado que se puede observar que el volumen de un tubo de Margulis está acotado inferiormente por una constante que depende únicamente de la dimensión, se deduce que existe un ínfimo positivo para los volúmenes de variedades hiperbólicas n -dimensionales para cualquier n . [ 6 ]
  • La existencia de vecindarios de Zassenhaus es un ingrediente clave en la demostración del teorema de Kazhdan-Margulis .
  • El teorema de Jordan-Schur puede recuperarse como corolario de la existencia de vecindarios de Zassenhaus.

Véase también

  • La desigualdad de Jorgensen proporciona una formulación cuantitativa para subgrupos discretos del grupo de isometría.PAGGRAMOL2(do){\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}del espacio hiperbólico tridimensional.

Notas

  1. ↑ Ballmann, Gromov y Schroeder 1985 , Teorema 9.5.
  2. ↑ Yamada, A. (1981). "Sobre la constante universal de Marden de los grupos fuchsianos" . Kodai Math. J. 4 ( 2): 266– 277. doi : 10.2996/kmj/1138036373 .
  3. ↑ Belolipetsky, Mikhail (2014). "Orbifolds hiperbólicos de pequeño volumen". Actas del ICM 2014. Kyung Moon SA. arXiv : 1402.5394 .
  4. ↑ Raghunathan 1972 , Definición 8.22.
  5. ↑ Thurston 1997 , Capítulo 4.5.
  6. ↑ Ratcliffe 2006 , pág. 666.

Referencias

  • Ballmann, Werner; Gromov, Mikhail ; Schroeder, Viktor (1985). Variedades de curvatura no positiva . Birkhâuser.
  • Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . SEÑOR 0507234 . 
  • Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, Segunda edición . Springer. pp.  xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.
  • Thurston, William (1997). Geometría y topología tridimensional. Vol. 1. Princeton University Press.