El primer lema de isotopía de Thom

En matemáticas, especialmente en topología diferencial , el primer lema de isotopía de Thom establece: dado un mapa suave${\displaystyle f:M\to N}$entre colectores lisos y${\displaystyle S\subset M}$un subconjunto estratificado cerrado de Whitney , si${\displaystyle f|_{S}}$es apropiado y${\displaystyle f|_{A}}$es una inmersión para cada estrato${\displaystyle A}$de${\displaystyle S}$, entonces${\displaystyle f|_{S}}$es una fibración localmente trivial . ^{[ 1 ]} El lema fue introducido originalmente por René Thom , quien consideró el caso cuando${\displaystyle N=\mathbb {R} }$. ^{[ 2 ]} En ese caso, el lema construye una isotopía a partir de la fibra${\displaystyle f^{-1}(a)}$a${\displaystyle f^{-1}(b)}$; de donde proviene el nombre "lema de isotopía".

Las trivializaciones locales que proporciona el lema preservan los estratos. Sin embargo, generalmente no son suaves (ni siquiera${\displaystyle C^{1}}$). Por otro lado, es posible que las trivializaciones locales sean semialgebraicas si los datos de entrada son semialgebraicos. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El lema también es válido para un espacio estratificado más general, como un espacio estratificado en el sentido de Mather , pero aún con las condiciones de Whitney (u otras condiciones). El lema también es válido para la estratificación que satisface la condición (C) de Bekka , que es más débil que la condición (B) de Whitney. ^{[ 5 ]} (La importancia de esto radica en que las consecuencias del primer lema de isotopía no pueden implicar la condición (B) de Whitney).

El segundo lema de isotopía de Thom es una versión derivada del primer lema de isotopía.

La demostración ^{[ 1 ]} se basa en la noción de un campo vectorial controlado . ^{[ 6 ]} Sea${\displaystyle \{(T_{A},\pi _{A},\rho _{A})\mid A\}}$ser un sistema de vecindarios tubulares${\displaystyle T_{A}}$en${\displaystyle M}$de estratos${\displaystyle A}$en${\displaystyle S}$dónde${\displaystyle \pi _{A}:T_{A}\to A}$es la proyección asociada y${\displaystyle \rho _{A}:T_{A}\to [0,\infty )}$dada por la norma cuadrada en cada fibra de${\displaystyle \pi _{A}}$(La construcción de dicho sistema se basa en las condiciones de Whitney o en alguna condición más débil). Por definición, un campo vectorial controlado es una familia de campos vectoriales (suaves de alguna clase).${\displaystyle \eta _{A}}$en los estratos${\displaystyle A}$de tal manera que: para cada estrato A , existe un vecindario${\displaystyle T'_{A}}$de${\displaystyle A}$en${\displaystyle T_{A}}$de tal manera que para cualquier${\displaystyle B>A}$,

${\displaystyle \eta _{B}\circ \rho _{A}=0,}$

${\displaystyle (\pi _{A})_{*}\eta _{B}=\eta _{A}\circ \pi _{A}}$

en${\displaystyle T_{A}'\cap B}$.

Supongamos que el sistema${\displaystyle T_{A}}$es compatible con el mapa${\displaystyle f:M\to N}$(tal sistema existe). Entonces, hay dos resultados clave debido a Thom:

1. Dado un campo vectorial${\displaystyle \zeta }$En N , existe un campo vectorial controlado.${\displaystyle \eta }$en S eso es un levantamiento de eso:${\displaystyle f_{*}(\eta )=\zeta \circ f}$. ^{[ 7 ]}
2. Un campo vectorial controlado tiene un flujo continuo (a pesar de que un campo vectorial controlado es discontinuo). ^{[ 8 ]}

El lema se deduce ahora de forma directa. Dado que la afirmación es local, supongamos${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle \partial _{i}}$los campos vectoriales de coordenadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Luego, mediante el resultado de levantamiento, encontramos campos vectoriales controlados${\displaystyle {\widetilde {\partial _ {i}}}}$en${\displaystyle S}$de tal manera que${\displaystyle f_{*}({\widetilde {\partial _{i}}})=\partial _{i}\circ f}$. Dejar${\displaystyle \varphi _{i}:\mathbb {R} \times S\to S}$sean los flujos asociados a ellos. Luego defina

${\displaystyle H:f|_{S}^{-1}(0)\times \mathbb {R} ^{n}\to S}$

por

${\displaystyle H(y,t)=\varphi _{n}(t_{n},\phi _{n-1}(t_{n-1},\cdots ,\varphi _{1}(t_{1},y)\cdots )).}$

Es un mapa sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y es un homeomorfismo ya que${\displaystyle G(x)=(\varphi _{1}(-t_{1},\cdots ,\varphi _{n}(-t_{n},x)\cdots ),t),t=f(x)}$es lo contrario. Dado que los flujos${\displaystyle \varphi _{i}}$preservar los estratos,${\displaystyle H}$También conserva los estratos.${\displaystyle \square }$

• Teorema de fibración de Ehresmann
• Espacio estratificado de Thom-Mather
• Topología domesticada

• https://mathoverflow.net/questions/23259/thom-first-isotopy-lemma-in-o-minimal-structures