Segundo lema de isotopía de Thom

En matemáticas, especialmente en topología diferencial , el segundo lema de isotopía de Thom es una versión de la familia del primer lema de isotopía de Thom ; es decir, afirma que una familia de aplicaciones entre espacios estratificados de Whitney es localmente trivial cuando es una aplicación de Thom . ^{[ 1 ]} Al igual que el primer lema de isotopía, el lema fue introducido por René Thom .

( Mather 2012 , § 11) ofrece un esbozo de la demostración. ( Verona 1984 ) ofrece una demostración simplificada. Al igual que el primer lema de isotopía, el lema también se cumple para la estratificación con la condición de Bekka (C) , que es más débil que la condición de Whitney (B). ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle f:M\to N}$ser un mapa suave entre variedades suaves y${\displaystyle X,Y\subset M}$subvariedades tales que${\displaystyle f|_{X},f|_{Y}}$ambos tienen diferencial de rango constante. Entonces la condición de Thom${\displaystyle (a_{f})}$Se dice que se cumple si para cada secuencia${\displaystyle x_{i}}$en X que converge a un punto y en Y y tal que${\displaystyle \operatorname {ker} (d(f|_{X})_{x_{i}})}$convergiendo a un plano${\displaystyle \tau }$en el grassmanniano , tenemos${\displaystyle \operatorname {ker} (d(f|_{Y})_{y})\subset \tau .}$^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle S\subset M,S'\subset N}$ser subconjuntos cerrados estratificados de Whitney y${\displaystyle p:S\to Z,q:S'\to Z}$mapea a alguna variedad suave Z tal que${\displaystyle f:S\to S'}$es un mapa sobre Z ; es decir,${\displaystyle f(S)\subset S'}$y${\displaystyle q\circ f|_{S}=p}$. Entonces${\displaystyle f}$Se denomina mapeo de Thom si se cumplen las siguientes condiciones: ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle f|_{S},q}$son apropiados.
• ${\displaystyle q}$es una inmersión en cada estrato de${\displaystyle S'}$.
• Para cada estrato X de S ,${\displaystyle f(X)}$se encuentra en un estrato Y de${\displaystyle S'}$y${\displaystyle f:X\to Y}$es una inmersión.
• La condición de Thom${\displaystyle (a_{f})}$se mantiene para cada par de estratos de${\displaystyle S}$.

Entonces, el segundo lema de isotopía de Thom dice que una aplicación de Thom es localmente trivial sobre Z ; es decir, cada punto z de Z tiene un entorno U con homeomorfismos.${\displaystyle h_{1}:p^{-1}(z)\times U\to p^{-1}(U),h_{2}:q^{-1}(z)\times U\to q^{-1}(U)}$sobre U tal que${\displaystyle f\circ h_{1}=h_{2}\circ (f|_{p^{-1}(z)}\times \operatorname {id} )}$. ^{[ 3 ]}

• Espacio estratificado de Thom-Mather : una forma de descomponer un espacio topológico. 
• Primer lema de isotopía de Thom – Páginas de teoremas que muestran descripciones breves sin espacios