cribado de Thomas-Fermi

El apantallamiento de Thomas-Fermi es un enfoque teórico para calcular los efectos del apantallamiento del campo eléctrico por electrones en un sólido. ^{[ 1 ]} Es un caso especial de la teoría de Lindhard más general ; en particular, el apantallamiento de Thomas-Fermi es el límite de la fórmula de Lindhard cuando el vector de onda (el recíproco de la escala de longitud de interés) es mucho menor que el vector de onda de Fermi, es decir, el límite de larga distancia. ^{[ 1 ]} Recibe su nombre de Llewellyn Thomas y Enrico Fermi .

El vector de onda de Thomas-Fermi (en unidades Gaussian-cgs ) es ^{[ 1 ].}$${\displaystyle k_{0}^{2}=4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }},}$$ donde μ es el potencial químico ( nivel de Fermi ), n es la concentración de electrones y e es la carga elemental .

Por ejemplo, en el caso de semiconductores que no están demasiado dopados, la densidad de carga n ∝ e ^{μ / k _B T} , donde k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. En este caso, $${\displaystyle k_{0}^{2}={\frac {4\pi e^{2}n}{k_{\rm {B}}T}},}$$

es decir, ₁ / k0 viene dado por la fórmula familiar para la longitud de Debye . En el extremo opuesto, en el límite de baja temperatura T = 0 , los electrones se comportan como partículas cuánticas ( fermiones ). Tal aproximación es válida para metales a temperatura ambiente, y el vector de onda de apantallamiento de Thomas-Fermi _kTF dado en unidades atómicas es $${\displaystyle k_{\rm {TF}}^{2}=4\left({\frac {3n}{\pi }}\right)^{1/3}.}$$

Si restauramos la masa del electrón${\displaystyle m_{e}}$y la constante de Planck${\displaystyle \hbar }$, el vector de onda de apantallamiento en unidades gaussianas es${\displaystyle k_{0}^{2}=k_{\rm {TF}}^{2}(m_{e}/\hbar ^{2})}$.

Para obtener más detalles y un análisis más profundo, incluyendo los casos unidimensionales y bidimensionales, consulte el artículo sobre la teoría de Lindhard .

Si se coloca una carga puntual Q en r = 0 en un sólido, ¿qué campo producirá, teniendo en cuenta el apantallamiento electrónico?

Se busca una solución coherente a dos ecuaciones:

• La fórmula de apantallamiento de Thomas-Fermi proporciona la densidad de carga en cada punto r en función del potencial.${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$en ese momento.
• La ecuación de Poisson (derivada de la ley de Gauss ) relaciona la segunda derivada del potencial con la densidad de carga.

Para la fórmula no lineal de Thomas-Fermi, resolver estas ecuaciones simultáneamente puede ser difícil, y generalmente no existe una solución analítica. Sin embargo, la fórmula linealizada tiene una solución simple (en unidades cgs-gaussianas ):$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{r}}e^{-k_{0}r}}$$ Con k ₀ = 0 (sin apantallamiento), esto se convierte en la conocida ley de Coulomb .

Cabe señalar que, además del apantallamiento aquí descrito, puede existir permitividad dieléctrica ; por ejemplo, debido a la polarización de los electrones internos inmóviles. En ese caso, sustituya Q por Q / ε , donde ε es la permitividad relativa debida a estas otras contribuciones.

Para un gas de Fermi tridimensional (gas de electrones no interactuantes), el vector de onda de apantallamiento${\displaystyle k_{0}}$puede expresarse como una función tanto de la temperatura como de la energía de Fermi.${\displaystyle E_{\rm {F}}}$El primer paso es calcular el potencial químico interno.${\displaystyle \mu }$, que implica la inversa de una integral de Fermi-Dirac , $${\displaystyle {\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}=F_{1/2}^{-1}\left[{2 \over {3\Gamma (3/2)}}\left({E_{\rm {F}} \over T}\right)^{3/2}\right].}$$

Podemos expresar${\displaystyle k_{0}}$en términos de una temperatura efectiva${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$:${\displaystyle k_{0}^{2}=4\pi e^{2}n/k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}}$, o${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=n\partial \mu /\partial n}$. El resultado general para${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$es$${\displaystyle {T_{\rm {eff}} \over T}={4 \over 3\Gamma (1/2)}{(E_{\rm {F}}/k_{\rm {B}}T)^{3/2} \over F_{-1/2}(\mu /k_{\rm {B}}T)}.}$$En el límite clásico${\displaystyle k_{\rm {B}}T\gg E_{\rm {F}}}$, encontramos${\displaystyle T_{\rm {eff}}=T}$, mientras que en el límite degenerado${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\rm {F}}}$encontramos $${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=(2/3)E_{\rm {F}}.}$$ Una forma aproximada simple que recupera ambos límites correctamente es $${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=\left[(k_{\rm {B}}T)^{p}+(2E_{\rm {F}}/3)^{p}\right]^{1/p},}$$ para cualquier potencia${\displaystyle p}$. Un valor que ofrece una concordancia decente con el resultado exacto para todos${\displaystyle k_{\rm {B}}T/E_{\rm {F}}}$es${\displaystyle p=1.8}$, ^{[ 2 ]} que tiene un error relativo máximo de < 2,3%.

En la temperatura efectiva dada anteriormente, la temperatura se utiliza para construir un modelo clásico efectivo. Sin embargo, esta forma de la temperatura efectiva no recupera correctamente el calor específico y la mayoría de las demás propiedades del sistema finito.${\displaystyle T}$fluido electrónico incluso para el gas de electrones no interactuantes. Por supuesto, no intenta incluir los efectos de interacción electrón-electrón. Una forma simple para una temperatura efectiva que recupera correctamente todas las propiedades funcionales de la densidad incluso del gas de electrones interactuantes , incluidas las funciones de distribución de pares en un valor finito.${\displaystyle T}$, se ha dado utilizando el modelo clásico de cadena hiperredada ( CHNC ) del fluido de electrones. Es decir, $${\displaystyle {\frac {T_{\rm {eff}}}{E_{\rm {F}}}}=\left({\frac {T^{2}}{E_{\rm {F}}^{2}}}+{\frac {T_{q}^{2}}{E_{\rm {F}}^{2}}}\right)^{1/2}}$$ donde la temperatura cuántica${\displaystyle T_{q}}$se define como: $${\displaystyle {\frac {T_{q}}{E_{\rm {F}}}}={\frac {1}{a+b{\sqrt {r_{\rm {s}}}}+cr_{\rm {s}}}}}$$ donde a = 1,594 , b = −0,3160 , c = 0,0240 . Aquí${\displaystyle r_{\rm {s}}}$es el radio de Wigner-Seitz correspondiente a una esfera en unidades atómicas que contiene un electrón. Es decir, si${\displaystyle n}$es el número de electrones en un volumen unitario utilizando unidades atómicas donde la unidad de longitud es el Bohr, es decir,5,291 77 × 10 ⁻⁹  cm , entonces $${\displaystyle r_{\rm {s}}=\left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3}.}$$ Para un gas de electrones denso, por ejemplo, con${\displaystyle r_{\rm {s}}\approx 1}$o menos, las interacciones electrón-electrón se vuelven insignificantes en comparación con la energía de Fermi, entonces, usando un valor de${\displaystyle r_{\rm {s}}}$cerca de la unidad, vemos que la temperatura efectiva CHNC en${\displaystyle T=0}$se aproxima a la forma${\displaystyle 2E_{\rm {F}}/3}$. También se han dado otros mapeos para el caso 3D, ^{[ 3 ]} y fórmulas similares para la temperatura efectiva para el mapeo clásico del gas de electrones bidimensional. ^{[ 4 ]}

• ecuación de Thomas-Fermi
• oscilaciones de Friedel
• Interacción Bardeen-Pines