Lámpara de Thomson

La lámpara de Thomson es un experimento mental filosófico basado en el concepto de infinito. Fue ideada en 1954 por el filósofo británico James F. Thomson , quien la utilizó para analizar la posibilidad de una supertarea , que consiste en completar un número infinito de tareas.

Consideremos una lámpara con un interruptor de palanca . Al accionar el interruptor una vez, la lámpara se enciende. Al accionarlo otra vez, se apaga. Supongamos ahora que existe un ser capaz de realizar la siguiente tarea: inicia un temporizador y enciende la lámpara. Al cabo de un minuto, la apaga. Al cabo de medio minuto, la vuelve a encender. Al cabo de un cuarto de minuto, la apaga. Al cabo de un octavo de minuto, la vuelve a encender, y así sucesivamente, accionando el interruptor cada vez después de esperar exactamente la mitad del tiempo que esperó antes de accionarlo previamente. ^{[ 1 ]} La suma de esta serie infinita de intervalos de tiempo es exactamente dos minutos. ^{[ 2 ]}

A continuación, se considera la siguiente pregunta: ¿Está la lámpara encendida o apagada a los dos minutos? ^{[ 1 ]} Thomson razonó que esta supertarea crea una contradicción:

Parece imposible responder a esta pregunta. No puede estar encendida, porque nunca la encendí sin apagarla inmediatamente. No puede estar apagada, porque la encendí primero y, después, nunca la apagué sin volver a encenderla inmediatamente. Pero la lámpara debe estar encendida o apagada. Esto es una contradicción. ^{[ 1 ]}

La pregunta está relacionada con el comportamiento de la serie de Grandi , es decir, la serie infinita divergente.

• S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

Para valores pares de n , la serie finita anterior suma 1; para valores impares, suma 0. En otras palabras, a medida que n toma los valores de cada uno de los enteros no negativos 0, 1, 2, 3, ... sucesivamente, la serie genera la secuencia {1, 0, 1, 0, ...}, que representa el estado cambiante de la lámpara. ^{[ 3 ]} La secuencia no converge cuando n tiende a infinito, por lo que tampoco lo hace la serie infinita.

Otra forma de ilustrar este problema es reorganizar la serie:

• S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)

La serie infinita entre paréntesis es exactamente igual a la serie original S. Esto significa que S = 1 − S _, lo que implica S = ^1/2 . De hecho, esta manipulación se puede justificar rigurosamente: existen definiciones generalizadas para las sumas de series que asignan a la serie de Grandi el valor ^1/2 _.

Uno de los objetivos de Thomson en su artículo original de 1954 es diferenciar las supertareas de sus analogías en serie. Escribe sobre la lámpara y la serie de Grandi,

Entonces, la pregunta de si la lámpara está encendida o apagada… es la pregunta: ¿Cuál es la suma de la secuencia divergente infinita?

+1, −1, +1, ...?

Ahora bien, los matemáticos afirman que esta secuencia tiene una suma; dicen que su suma es 1/2 _. Y ^esta respuesta no nos sirve, puesto que aquí no tiene sentido decir que la lámpara está medio encendida. Entiendo que esto significa que no existe un método establecido para decidir qué se hace cuando se realiza una supertarea. … No se puede esperar que comprendamos esta idea simplemente porque tengamos la idea de que se ha realizado una o varias tareas y porque estemos familiarizados con los números transfinitos . ^{[ 4 ]}

Más adelante, afirma que incluso la divergencia de una serie no proporciona información sobre su supertarea: "La imposibilidad de una supertarea no depende en absoluto de si una secuencia aritmética vagamente asociada es convergente o divergente". ^{[ 5 ]}

• Lista de paradojas
• paradoja de Ross-Littlewood
• Las paradojas de Zenón
• Máquina Zeno

• Allen, Benjamin William (2008). Zenón, Aristóteles, el hipódromo y Aquiles: Una investigación histórica y filosófica . New Brunswick, NJ: Rutgers, The State University of New Jersey. pp. 209–210 . ISBN  9781109058437Archivado del original el 24 de junio de 2014.
• Benacerraf, Paul (1962). "Tareas, supertareas y la eleática moderna". The Journal of Philosophy . 59 (24): 765– 784. doi : 10.2307/2023500 . JSTOR 2023500 . 
• Huggett, Nick (2010). Everywhere and Everywhen  : Adventures in Physics and Philosophy: Adventures in Physics and Philosophy . Oxford University Press. pp. 22–23 . ISBN  9780199702114.
• Thomson, James F. (octubre de 1954). "Tareas y supertareas". Analysis . 15 (1). Analysis, vol. 15, n.º 1: 1–13 . doi : 10.2307/3326643 . JSTOR 3326643 . 
• Earman, John y Norton, John (1996) Dolores infinitos: El problema de las supertareas. En Benacerraf y sus críticos , Adam Morton y Stephen P. Stich (Eds.), págs.  231-261.