Relación de recurrencia a tres términos

En matemáticas , y especialmente en análisis numérico , una relación de recurrencia lineal homogénea de tres términos ( RRTT , los calificadores "lineal homogénea" generalmente se dan por sentados) ^{[ 1 ]} es una relación de recurrencia de la forma

${\displaystyle y_{n+1}=a_{n}y_{n}+b_{n}y_{n-1}}$para${\displaystyle n=1,2,...,}$

donde las secuencias${\displaystyle \{a_{n}\}}$y${\displaystyle \{b_{n}\}}$, junto con los valores iniciales${\displaystyle y_{0},y_{1}}$gobernar la evolución de la secuencia${\displaystyle \{y_{n}\}}$.

Si el${\displaystyle \{a_{n}\}}$y${\displaystyle \{b_{n}\}}$son constantes e independientes del índice de paso n , entonces la TTRR es una recurrencia lineal con coeficientes constantes de orden 2. Posiblemente el ejemplo más simple y prominente para este caso es la secuencia de Fibonacci , que tiene coeficientes constantes.${\displaystyle a_{n}=b_{n}=1}$.

Los polinomios ortogonales P _n tienen todos una TTRR con respecto al grado n ,

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)}$

donde A _n no es 0. Por el contrario, el teorema de Favard establece que una secuencia de polinomios que satisface una TTRR es una secuencia de polinomios ortogonales.

Además, muchas otras funciones especiales tienen TTRR. Por ejemplo, la solución a

${\displaystyle J_{n+1}={\frac {2n}{z}}J_{n}-J_{n-1}}$

viene dada por la función de Bessel${\displaystyle J_{n}=J_{n}(z)}$Los TTRR son una herramienta importante para el cálculo numérico de funciones especiales.

Los TTRR están estrechamente relacionados con las fracciones continuas .

Las soluciones de una TTRR, al igual que las de una ecuación diferencial ordinaria lineal , forman un espacio vectorial bidimensional: cualquier solución puede escribirse como la combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes cualesquiera. Una solución única se especifica mediante los valores iniciales.${\displaystyle y_{0},y_{1}}$. ^{[ 2 ]}

• Algoritmo de recurrencia de Miller

• Walter Gautschi . Aspectos computacionales de las relaciones de recurrencia de tres términos. SIAM Review, 9:24–80 (1967).
• Walter Gautschi. Soluciones mínimas de la relación de recurrencia de tres términos y polinomios ortogonales. Matemáticas de la computación, 36:547–554 (1981).
• Amparo Gil, Javier Segura, and Nico M. Temme . Métodos numéricos para funciones especiales. siam (2007)
• J. Wimp, Computación con relaciones de recurrencia, Londres: Pitman (1984)