Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario

Transcurrieron casi dos siglos para que la formulación actual del trabajo de Kepler adquiriera su forma establecida. Los Eléments de la philosophie de Newton ( Elementos de la filosofía de Newton ) de Voltaire , de 1738, fueron la primera publicación en utilizar la terminología de «leyes». ^{[ 17 ] [ 18 ]} La Biographical Encyclopedia of Astronomers, en su artículo sobre Kepler (p. 620), afirma que la terminología de leyes científicas para estos descubrimientos era común al menos desde la época de Joseph de Lalande . ^{[ 19 ]} Fue la exposición de Robert Small , en An account of the astronomical discoveries of Kepler (1814), la que conformó el conjunto de tres leyes, al añadir la tercera. ^{[ 20 ]} Small también afirmó, en contra de la historia, que estas eran leyes empíricas , basadas en el razonamiento inductivo . ^{[ 18 ] [ 21 ]} 

La primera ley de Kepler establece que: ^{[ 22 ] : 3}

La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de sus dos focos .

Matemáticamente, una elipse se puede representar mediante la fórmula $${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }},}$$ dónde${\displaystyle p}$es el semi-lado recto , ε es la excentricidad de la elipse, r es la distancia del Sol al planeta y θ es el ángulo con respecto a la posición actual del planeta desde su punto más cercano, visto desde el Sol. Por lo tanto, ( r , θ ) son coordenadas polares . 

Para una elipse, 0 < ε < 1 ; en el caso límite ε  =  0, la órbita es un círculo con el Sol en el centro (es decir, donde hay excentricidad cero).

En θ = 0°, perihelio , la distancia es mínima: $${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {p}{1+\varepsilon }}.}$$

En θ = 90° y en θ = 270°, la distancia es igual a${\displaystyle p}$.

En θ = 180°, afelio , la distancia es máxima (por definición, el afelio es – invariablemente – perihelio más 180°):   $${\displaystyle r_{\text{max}}={\frac {p}{1-\varepsilon }}.}$$

El semieje mayor a es la media aritmética entre r _min y r _max : $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}},\\a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

El semieje menor b es la media geométrica entre r _min y r _max : $${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}},\\b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}}$$

El semi-lato recto p es la media armónica entre r _min y r _max : $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\text{max}}^{-1}+r_{\text{min}}^{-1}}{2}}\right)^{-1},\\pa&=r_{\text{max}}r_{\text{min}}=b^{2}.\end{aligned}}}$$

La excentricidad ε es el coeficiente de variación entre r _min y r _max : $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}.}$$

El área de la elipse es $${\displaystyle A=\pi ab.}$$

El caso especial de un círculo es ε = 0, lo que resulta en r  = p  = r _min  = r _max  = a  = b y A = πr ² .

La segunda ley de Kepler establece que: ^{[ 22 ] : 3}

Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales. ^{[ 23 ]}

El radio orbital y la velocidad angular del planeta en la órbita elíptica varían. Esto se muestra en la animación: el planeta se mueve más rápido cuando está más cerca del Sol y más lento cuando se aleja. La segunda ley de Kepler establece que el sector azul tiene un área constante.

La tercera ley de Kepler establece que: ^{[ 22 ] : 3}

La relación entre el cuadrado del período orbital de un objeto y el cubo del semieje mayor de su órbita es la misma para todos los objetos que orbitan alrededor del mismo cuerpo celeste.

O simbólicamente:${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

dónde${\displaystyle T}$es el período orbital del objeto y${\displaystyle a}$es el semieje mayor de su órbita.

Esto refleja la relación entre la distancia de los planetas al Sol y sus períodos orbitales.

Kepler enunció en 1619 ^{[ 14 ]} esta tercera ley en un laborioso intento de determinar lo que él consideraba la « música de las esferas » según leyes precisas y expresarla en términos de notación musical. ^{[ 25 ]} Por lo tanto, se la conoció como la ley armónica . ^{[ 26 ]} La forma original de esta ley (que se refiere no al semieje mayor, sino a una «distancia media») solo es válida para planetas con excentricidades pequeñas cercanas a cero. ^{[ 27 ]}

Utilizando la ley de gravitación de Newton (publicada en 1687), esta relación se puede encontrar en el caso de una órbita circular igualando la fuerza centrípeta a la fuerza gravitatoria: $${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}.}$$ Luego, expresamos la velocidad angular ω en términos del período orbital.${\displaystyle T}$y luego, reordenando, se obtiene la tercera ley de Kepler: $${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\implies T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\implies T^{2}\propto r^{3}.}$$

Se puede realizar una derivación más detallada con órbitas elípticas generales, en lugar de círculos, así como orbitando el centro de masa, en lugar de solo la masa grande. Esto resulta en reemplazar un radio circular.${\displaystyle r}$con el semieje mayor${\displaystyle a}$del movimiento relativo elíptico de una masa con respecto a la otra, así como reemplazar la masa grande.${\displaystyle M}$con${\displaystyle M+m}$Sin embargo, dado que las masas de los planetas son mucho menores que la del Sol, esta corrección a menudo se ignora. La fórmula completa correspondiente es: $${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}},}$$ dónde${\displaystyle M}$es la masa del Sol ,${\displaystyle m}$es la masa del planeta,${\displaystyle G}$es la constante gravitacional ,${\displaystyle T}$es el período orbital y${\displaystyle a}$es el semieje mayor elíptico, y${\displaystyle {\text{AU}}}$es la unidad astronómica : la distancia media de la Tierra al Sol. 

Mesa

La siguiente tabla muestra los datos utilizados por Kepler para derivar empíricamente su ley:

Kepler se enteró de la reciente invención de los logaritmos y las gráficas log-log por parte de John Napier antes de descubrir el patrón. ^{[ 28 ]}

Al encontrar este patrón, Kepler escribió: ^{[ 29 ]}

Al principio creí que estaba soñando... Pero es absolutamente cierto y exacto que la relación que existe entre los períodos de dos planetas cualesquiera es precisamente la relación de la potencia de 3/2 de la distancia media.

— traducido de Armonías del Mundo de Kepler (1619)

A modo de comparación, aquí están las estimaciones modernas:

Desde el punto de vista heliocéntrico , consideremos el vector hacia el planeta.${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }},}$dónde${\displaystyle r}$es la distancia al planeta, y${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$es un vector unitario que apunta hacia el planeta. $${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ dónde${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$es el vector unitario cuya dirección es de 90° en sentido antihorario de${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$, y${\displaystyle \theta }$es el ángulo polar, y donde un punto sobre la variable significa diferenciación con respecto al tiempo.

Deriva dos veces el vector de posición para obtener el vector de velocidad y el vector de aceleración: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

Entonces $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$$ donde la aceleración radial es $${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2},}$$ y la aceleración transversal es $${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$$

La segunda ley de Kepler dice que $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$$ es constante.

La aceleración transversal${\displaystyle a_{\theta }}$es cero: $${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$$ Por lo tanto, la aceleración de un planeta que obedece la segunda ley de Kepler está dirigida hacia el Sol.

La aceleración radial${\displaystyle a_{\text{r}}}$es $${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$$

La primera ley de Kepler establece que la órbita se describe mediante la ecuación $${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$$ Al diferenciar con respecto al tiempo se obtiene $${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }},}$$ o $${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$$

Diferenciando una vez más, $${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$$

La aceleración radial${\displaystyle a_{\text{r}}}$Satisface $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$$

Sustituyendo la ecuación de la elipse se obtiene $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$$

La relación${\displaystyle b^{2}=pa}$da como resultado final simple $${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$$ Esto significa que el vector de aceleración${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$Si cualquier planeta obedece la primera y la segunda ley de Kepler, se cumple la ley del inverso del cuadrado.$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ dónde $${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}}$$ es una constante,${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$es el vector unitario que apunta desde el Sol hacia el planeta, y${\displaystyle r}$es la distancia entre el planeta y el Sol.

Dado el movimiento medio${\displaystyle n=2\pi /T}$, dónde${\displaystyle T}$es el período, según la tercera ley de Kepler,${\displaystyle \alpha }$tiene el mismo valor para todos los planetas. Por lo tanto, la ley del cuadrado inverso para las aceleraciones planetarias se aplica a todo el Sistema Solar.

La ley del inverso del cuadrado es una ecuación diferencial . Las soluciones a esta ecuación diferencial incluyen los movimientos keplerianos, como se muestra, pero también incluyen movimientos donde la órbita es una hipérbola , una parábola o una línea recta (véase órbita de Kepler ).

Según la segunda ley de Newton , la fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta es $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}{\ddot {\mathbf {r} }}=-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ dónde${\displaystyle m_{\text{planet}}}$es la masa del planeta, y${\displaystyle \alpha }$tiene el mismo valor para todos los planetas del Sistema Solar. Según la tercera ley de Newton , el Sol es atraído por el planeta por una fuerza de la misma magnitud. Dado que la fuerza es proporcional a la masa del planeta, bajo la consideración de simetría, también debería ser proporcional a la masa del Sol.${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$. Entonces $${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}},}$$ dónde${\displaystyle G}$es la constante gravitacional .

La aceleración del cuerpo número i del Sistema Solar es, según las leyes de Newton, $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij},}$$ dónde${\displaystyle m_{j}}$es la masa del cuerpo j ,${\displaystyle r_{ij}}$es la distancia entre el cuerpo i y el cuerpo j ,${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$es el vector unitario desde el cuerpo i hacia el cuerpo j , y la suma vectorial se realiza sobre todos los cuerpos del Sistema Solar, excepto el propio i .

En el caso especial en el que solo hay dos cuerpos en el Sistema Solar (Tierra y Sol), la aceleración se convierte en $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}},}$$ que es la aceleración del movimiento de Kepler. Así que la Tierra se mueve alrededor del Sol según las leyes de Kepler.

Si los dos cuerpos del Sistema Solar son la Luna y la Tierra, la aceleración de la Luna se convierte en $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.}$$ Así pues, en esta aproximación, la Luna se mueve alrededor de la Tierra según las leyes de Kepler.

En el caso de tres cuerpos las aceleraciones son $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.\end{aligned}}}$$ Estas aceleraciones no son las de las órbitas de Kepler, y el problema de los tres cuerpos es complicado. Pero la aproximación kepleriana es la base de los cálculos de perturbación (véase la teoría lunar ).

El problema kepleriano supone una órbita elíptica , los cuatro puntos

s , el Sol (en uno de los focos de la elipse),

z , el perihelio ,

c , el centro de la elipse,

p , el planeta,

y parámetros

${\displaystyle a=|cz|,}$distancia entre el centro y el perihelio, el semieje mayor,

${\displaystyle \varepsilon =|cs|/a,}$la excentricidad,

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$el semieje menor,

${\displaystyle r=|sp|,}$la distancia entre el Sol y el planeta.

${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$la dirección del planeta vista desde el Sol, la verdadera anomalía .

El problema consiste en calcular las coordenadas polares ( r , θ ) del planeta a partir del tiempo transcurrido desde el perihelio, t .  

Se resuelve por pasos. Kepler consideró el círculo con el eje mayor como diámetro, y

${\displaystyle x,}$la proyección del planeta sobre el círculo auxiliar,

${\displaystyle y,}$el punto en el círculo tal que las áreas del sector | zcy | y | zsx | son iguales,

${\displaystyle M=\angle zcy,}$la anomalía media .

Las áreas sectoriales están relacionadas por${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

El área del sector circular${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

El área barrida desde el perihelio, $${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$$ es proporcional, según la segunda ley de Kepler, al tiempo transcurrido desde el perihelio. Por lo tanto, la anomalía media M es proporcional al tiempo t transcurrido desde el perihelio: $${\displaystyle M=nt,}$$ donde n es el movimiento medio .

Cuando se calcula la anomalía media M , el objetivo es calcular la anomalía verdadera θ . Sin embargo, la función θ  = f ( M ) no es elemental. ^{[ 33 ]} La solución de Kepler es usar  $${\displaystyle E=\angle zcx,}$$ con x visto desde el centro, la anomalía excéntrica como variable intermedia, y primero calculamos E como una función de M resolviendo la ecuación de Kepler que se muestra a continuación, y luego calculamos la anomalía verdadera θ a partir de la anomalía excéntrica E. Aquí están los detalles: $${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|,\\{\text{with}}\ |scx|&={\frac {|cs|\cdot |dx|}{2}},\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}.\end{aligned}}}$$

La división por 2/2 da como resultado la ecuación de Kepler ^.$${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$$ Esta ecuación expresa M en función de E. Determinar E para un valor de M dado constituye el problema inverso. Se suelen utilizar algoritmos numéricos iterativos.

Una vez calculada la anomalía excéntrica E , el siguiente paso es calcular la anomalía verdadera θ . 

Nótese que las coordenadas de posición cartesianas con referencia al centro de la elipse son ( a  cos E , b sin E ). Con referencia al Sol (con coordenadas ( c , 0) = ( ae , 0)), r = ( a cos E − ae , b sin E ).          

La verdadera anomalía sería arctan( ry _/ r _x ), la magnitud de r sería √ r  · r  .

Nótese en la figura que $${\displaystyle |cd|=|cs|+|sd|,}$$ de modo que $${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$$

Dividiendo por${\displaystyle a}$y insertando la primera ley de Kepler $${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$$ da $${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$$ El resultado es una relación útil entre la anomalía excéntrica E y la anomalía verdadera θ . 

Una forma computacionalmente más conveniente se obtiene sustituyendo E en la identidad trigonométrica.$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}$$ Llegar $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

Multiplicando por 1  + ε se obtiene el resultado  $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}.}$$ Este es el tercer paso en la relación entre el tiempo y la posición en la órbita.

El cuarto paso consiste en calcular la distancia heliocéntrica r desde la anomalía verdadera θ mediante la primera ley de Kepler: $${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a(1-\varepsilon ^{2}),}$$ Utilizando la relación anterior entre θ y E , la ecuación final para la distancia r es $${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$$