Teorema de Cramer (curvas algebraicas)

En geometría algebraica , el teorema de Cramer sobre curvas algebraicas proporciona el número necesario y suficiente de puntos en el plano real que caen sobre una curva algebraica para determinar de forma única la curva en casos no degenerados . Este número es

${\displaystyle {\frac {n(n+3)}{2}},}$

donde n es el grado de la curva. El teorema se debe a Gabriel Cramer , quien lo publicó en 1750. ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, una recta (de grado 1) está determinada por dos puntos distintos sobre ella: una y solo una recta pasa por esos dos puntos. Del mismo modo, una cónica no degenerada ( ecuación polinómica en x e y cuya suma de exponentes en cualquier término no supera 2, por lo tanto, de grado  2) está determinada de forma única por cinco puntos en posición general (ninguno de los cuales está sobre una línea recta).

La intuición del caso cónico es la siguiente: supongamos que los puntos dados se encuentran, específicamente, sobre una elipse . Entonces, se necesitan cinco datos para identificar la elipse : la posición horizontal de su centro, la posición vertical del centro, el eje mayor (la longitud de la cuerda más larga ), el eje menor (la longitud de la cuerda más corta que pasa por el centro, perpendicular al eje mayor) y la orientación rotacional de la elipse (el grado de desviación del eje mayor respecto a la horizontal). Cinco puntos en posición general bastan para proporcionar estos cinco datos, mientras que cuatro puntos no.

El número de términos distintos (incluidos aquellos con coeficiente cero) en una ecuación de grado n en dos variables es ( n  +  1)( n  +  2)  /  2. Esto se debe a que los términos de grado n son${\displaystyle x^{n},\,x^{n-1}y^{1},\,\dots ,\,y^{n},}$numerando n  +  1 en total; los términos de grado ( n  −  1) son${\displaystyle x^{n-1},\,x^{n-2}y^{1},\,\dots ,\,y^{n-1},}$numerando n en total; y así sucesivamente a través de los términos de primer grado.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y,}$numerando 2 en total, y el único término de grado cero (la constante). La suma de estos es ( n  +  1)  + n + ( n − 1) + ... + 2 + 1 = ( n + 1)( n + 2) / 2 términos, cada uno con su propio coeficiente . Sin embargo, uno de estos coeficientes es redundante para determinar la curva, porque siempre podemos dividir la ecuación polinómica por cualquiera de los coeficientes, dando una ecuación equivalente con un coeficiente fijo en 1, y por lo tanto [( n + 1)( n + 2) / 2] − 1 = n ( n + 3) / 2 coeficientes restantes.                                

Por ejemplo, una ecuación de cuarto grado tiene la forma general

${\displaystyle x^{4}+c_{1}x^{3}y+c_{2}x^{2}y^{2}+c_{3}xy^{3}+c_{4}y^{4}+c_{5}x^{3}+c_{6}x^{2}y+c_{7}xy^{2}+c_{8}y^{3}+c_{9}x^{2}+c_{10}xy+c_{11}y^{2}+c_{12}x+c_{13}y+c_{14}=0,}$

con 4(4+3)/2 = 14 coeficientes.

Determinar una curva algebraica a través de un conjunto de puntos consiste en determinar los valores de estos coeficientes en la ecuación algebraica de manera que cada punto satisfaga la ecuación. Dados n ( n  +  3)  /  2 puntos ( xi _, yi ₎ , cada uno de estos puntos puede usarse para crear una ecuación independiente al sustituirla en la ecuación polinómica general de grado n , lo que da como resultado n ( n  +  3)  /  2 ecuaciones lineales en los n ( n  +  3)  /  2 coeficientes desconocidos. Si este sistema no es degenerado, es decir, tiene un determinante distinto de cero , los coeficientes desconocidos se determinan de forma única y, por lo tanto, la ecuación polinómica y su curva también se determinan de forma única. Un número mayor de puntos sería redundante, y un número menor sería insuficiente para resolver el sistema de ecuaciones de forma única para los coeficientes.

Un ejemplo de un caso degenerado, en el que n ( n  +  3)  /  2 puntos en la curva no son suficientes para determinar la curva de forma única, fue proporcionado por Cramer como parte de la paradoja de Cramer . Sea el grado n  =  3, y sean nueve puntos todas las combinaciones de x  =  −1,  0,  1 e y = −1, 0, 1. Más de una cúbica contiene todos estos puntos, a saber, todas las cúbicas de la forma${\displaystyle a(x^{3}-x)+b(y^{3}-y)=0.}$Por lo tanto, estos puntos no determinan una única cúbica, aunque existan n ( n  +  3)  /  2  =  9 de ellas. En términos más generales, existen infinitas cúbicas que pasan por los nueve puntos de intersección de dos cúbicas ( el teorema de Bézout implica que dos cúbicas tienen, en general, nueve puntos de intersección).

De igual modo, para el caso cónico de n = 2, si tres de los cinco puntos dados caen sobre la misma línea recta, es posible que no determinen de forma única la curva.

Si se requiere que la curva pertenezca a una subcategoría particular de ecuaciones polinómicas de grado n , entonces pueden ser necesarios y suficientes menos de n ( n  +  3)  / 2 puntos para determinar una curva única. Por ejemplo, tres puntos (no colineales) determinan un círculo : el círculo genérico viene dado por la ecuación ${\displaystyle (xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}}$donde el centro se encuentra en ( a , b ) y el radio es r . De forma equivalente, al expandir los términos al cuadrado, la ecuación genérica es${\displaystyle x^{2}-2ax+y^{2}-2by=k,}$dónde${\displaystyle k=r^{2}-a^{2}-b^{2}.}$Aquí se han impuesto dos restricciones en comparación con el caso cónico general de n  =  2: el coeficiente del término en xy está restringido a ser igual a 0, y el coeficiente de y ² está restringido a ser igual al coeficiente de x ² . Por lo tanto, en lugar de necesitar cinco puntos, solo se necesitan 5  −  2  =  3, que coinciden con los 3 parámetros a , b , k (o equivalentemente a , b , r ) que deben identificarse.    

• Cinco puntos determinan una cónica