Desigualdad de tres esferas

En matemáticas , la desigualdad de las tres esferas limita la${\displaystyle L^{2}}$norma de una función armónica en una esfera dada en términos de la${\displaystyle L^{2}}$norma de esta función en dos esferas, una con radio mayor y otra con radio menor.

Dejar${\displaystyle u}$ser una función armónica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Entonces para todos${\displaystyle 0<r_{1}<r<r_{2}}$uno tiene

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(S_{r})}\leq \|u\|_{L^{2}(S_{r_{1}})}^{\alpha }\|u\|_{L^{2}(S_{r_{2}})}^{1-\alpha }}$

dónde${\displaystyle S_{\rho }:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \vert x\vert =\rho \}}$para${\displaystyle \rho >0}$es la esfera de radio${\displaystyle \rho }$centrado en el origen y donde

${\displaystyle \alpha$ :={\frac {\log(r_{2}/r)}{\log(r_{2}/r_{1})}}.}

Aquí utilizamos la siguiente normalización para la${\displaystyle L^{2}}$norma:

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(S_{\rho })}^{2}:=\rho ^{1-n}\int _{\mathbb {S} ^{n-1}}\vert u(\rho {\hat {x}})\vert ^{2}\,d\sigma ({\hat {x}}).}$

• Korevaar, J.; Meyers, JLH (1994), "Convexidad logarítmica para normas supremas de funciones armónicas", Bull. London Math. Soc. , 26 (4): 353– 362, doi : 10.1112/blms/26.4.353 , MR 1302068