Teoría de las mareas

Las mareas recibieron relativamente poca atención en las civilizaciones alrededor del mar Mediterráneo , ya que las mareas allí son relativamente pequeñas y las áreas que experimentan mareas lo hacen de manera poco confiable. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Sin embargo, se propusieron varias teorías, desde comparar los movimientos con la respiración o el flujo sanguíneo hasta teorías que involucraban remolinos o ciclos fluviales. ^{[ 2 ]} Una idea similar de "tierra que respira" fue considerada por algunos pensadores asiáticos. ^{[ 4 ]} Según se informa, Platón creía que las mareas eran causadas por el agua que entraba y salía de cavernas submarinas. ^{[ 1 ]} Crates de Mallus atribuyó las mareas al "contramovimiento (ἀντισπασμός) del mar" y Apolodoro de Corcira a "los reflujos del océano". ^{[ 5 ]} Un antiguo texto indio Purana que data de 400-300 a. C. se refiere a que el océano sube y baja debido a la expansión del calor por la luz de la Luna. ^{[ a ] ​​[ 6 ]} El pueblo Yolngu del noreste de Arnhem Land en el Territorio del Norte de Australia identificó un vínculo entre la Luna y las mareas, que míticamente atribuyeron a que la Luna se llenaba de agua y luego se vaciaba. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Finalmente, los griegos conocieron la relación entre la Luna (y el Sol ) y las mareas , aunque la fecha exacta del descubrimiento no está clara; se hacen referencias a ella en fuentes como Piteas de Massilia en el 325 a. C. y la Historia Natural de Plinio el Viejo en el 77 d. C. Aunque se conocía el ciclo de las mareas y su relación con los movimientos lunares y solares, el mecanismo exacto que las conectaba no estaba claro. ^{[ 2 ]} El clasicista Thomas Little Heath afirmó que tanto Piteas como Posidonio relacionaron las mareas con la luna, "el primero directamente, el segundo a través de la formación de los vientos". ^{[ 5 ]} Séneca menciona en De Providentia el movimiento periódico de las mareas controlado por la esfera lunar. ^{[ 9 ]} Eratóstenes (siglo III a. C.) y Posidonio (siglo I a. C.) produjeron descripciones detalladas de las mareas y su relación con las fases de la Luna , Posidonio en particular realizó largas observaciones del mar en la costa española, aunque poco de su obra ha sobrevivido. La influencia de la Luna en las mareas se menciona en el Tetrabiblos de Ptolomeo como evidencia de la realidad de la astrología . ^{[ 1 ] [ 10 ]} Se cree que Seleuco de Seleucia teorizó alrededor del 150 a. C. que las mareas eran causadas por la Luna como parte de su modelo heliocéntrico . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Aristóteles , a juzgar por las discusiones sobre sus creencias en otras fuentes, se cree que creía que las mareas eran causadas por vientos impulsados ​​por el calor del Sol, y rechazó la teoría de que la Luna las causara. Una leyenda apócrifa afirma que se suicidó frustrado por no comprender completamente las mareas. ^{[ 1 ]} Heráclides también sostenía que "el sol crea vientos, y que estos vientos, cuando soplan, causan la pleamar y, cuando cesan, la bajamar". ^{[ 5 ]} Dicearco también "atribuía las mareas a la acción directa del sol según su posición". ^{[ 5 ]} Filóstrato discute las mareas en el Libro Quinto de la Vida de Apolonio de Tiana (circa 217-238 d. C.); era vagamente consciente de una correlación entre las mareas y las fases de la Luna, pero las atribuía a espíritus que movían el agua dentro y fuera de las cavernas, lo que relacionó con la leyenda de que los espíritus de los muertos no pueden seguir adelante en ciertas fases de la Luna. ^{[ b ]}

El Venerable Beda analiza las mareas en El Cálculo del Tiempo y demuestra que la periodicidad de las mareas, que se producen dos veces al día, está relacionada con la Luna, y que el ciclo lunar mensual de mareas vivas y muertas también está relacionado con la posición de la Luna. Continúa señalando que los horarios de las mareas varían a lo largo de la misma costa y que los movimientos del agua provocan bajamar en un lugar cuando hay pleamar en otro. ^{[ 13 ]} Sin embargo, no logró ningún avance en la cuestión de cómo la Luna crea exactamente las mareas. ^{[ 2 ]}

Se decía que los métodos empíricos medievales para predecir las mareas permitían "saber qué Luna produce la pleamar" a partir de los movimientos de la Luna. ^{[ 14 ]} Dante hace referencia a la influencia de la Luna en las mareas en su Divina Comedia . ^{[ 15 ] [ 1 ]}

La comprensión medieval europea de las mareas se basaba a menudo en obras de astrónomos musulmanes que se hicieron accesibles mediante traducciones latinas a partir del siglo XII. ^{[ 16 ]} Abu Ma'shar al-Balkhi , en su Introductorium in astronomiam , enseñó que las mareas altas y bajas eran causadas por la Luna. ^{[ 16 ]} Abu Ma'shar analizó los efectos del viento y las fases lunares relativas al Sol sobre las mareas. ^{[ 16 ]} En el siglo XII, al-Bitruji aportó la noción de que las mareas eran causadas por la circulación general de los cielos. ^{[ 16 ]} Los astrólogos árabes medievales frecuentemente hacían referencia a la influencia de la Luna sobre las mareas como evidencia de la realidad de la astrología; algunos de sus tratados sobre el tema influyeron en Europa occidental. ^{[ 10 ] [ 1 ]} Algunos teorizaron que la influencia era causada por los rayos lunares que calentaban el fondo del océano. ^{[ 3 ]}

Simon Stevin en su obra de 1608, De spiegheling der Ebbenvloet (La teoría de la marea baja y alta ), descarta una gran cantidad de ideas erróneas que aún existían sobre la marea baja y alta. Stevin aboga por la idea de que la atracción de la Luna era responsable de las mareas y escribe en términos claros sobre la marea baja, la marea alta, la marea viva y la marea muerta, enfatizando que era necesario realizar más investigaciones. ^{[ 17 ] [ 18 ]} En 1609, Johannes Kepler sugirió correctamente que la gravitación de la Luna causa las mareas, ^{[ c ]} que comparó con la atracción magnética ^{[ 20 ] [ 2 ] [ 21 ] [ 22 ]} basando su argumento en observaciones y correlaciones antiguas.

En 1616, Galileo Galilei escribió Discurso sobre las mareas . ^{[ 23 ]} Rechaza enérgicamente y con sarcasmo la teoría lunar de las mareas, ^{[ 21 ] [ 2 ]} e intenta explicar las mareas como resultado de la rotación y traslación de la Tierra alrededor del Sol , creyendo que los océanos se movían como el agua en una gran cuenca: al moverse la cuenca, también se mueve el agua. ^{[ 24 ]} Pero sus contemporáneos notaron que esto hacía predicciones que no se ajustaban a las observaciones. ^{[ 25 ]}

René Descartes teorizó que las mareas (junto con el movimiento de los planetas, etc.) eran causadas por vórtices etéricos , sin referencia a las teorías de Kepler sobre la gravitación por atracción mutua; esto fue extremadamente influyente, y numerosos seguidores de Descartes desarrollaron esta teoría a lo largo del siglo XVII, particularmente en Francia. ^{[ 26 ]} Sin embargo, Descartes y sus seguidores reconocieron la influencia de la Luna, especulando que las ondas de presión de la Luna a través del éter eran responsables de la correlación. ^{[ 3 ] [ 27 ] [ 4 ] [ 28 ]}

Teoría de las mareas de equilibrio

Newton , en los Principia , proporciona una explicación correcta de la fuerza de marea , que puede utilizarse para explicar las mareas en un planeta cubierto por un océano uniforme, pero que no tiene en cuenta la distribución de los continentes ni la batimetría oceánica . ^{[ 29 ]}

Esta forma de la teoría se conoce como teoría del equilibrio . La teoría del equilibrio hace tres simplificaciones: 1) ignora la tierra, 2) ignora la viscosidad del agua para que pueda responder a la gravedad instantáneamente, 3) ignora la fricción entre la Tierra y el agua. En un sistema de coordenadas que gira con el par Tierra-Luna, la distancia entre la Tierra y la Luna es constante: están en equilibrio. Este equilibrio puede explicarse como un balance de la fuerza de gravedad de la Luna y la fuerza centrífuga de la rotación. En el centro de la Tierra, las fuerzas son iguales y opuestas. ^{[ 30 ]} Para otros puntos, las fuerzas no se equilibran exactamente y la fuerza residual se llama fuerza generadora de mareas . Para los puntos de la superficie terrestre más cercanos a la Luna, la gravedad es ligeramente más fuerte; para los puntos más alejados, la fuerza centrífuga es ligeramente más fuerte. En los polos alejados de la línea Tierra-Luna, la pequeña fuerza neta apunta hacia la Tierra. El agua del océano apenas se ve afectada por estas fuerzas. Entre los polos y el ecuador, un componente de la pequeña fuerza apunta horizontalmente a la superficie de la Tierra y hacia el ecuador. Ninguna fuerza se opone a esta pequeña fuerza. El agua del océano fluye en respuesta a esta fuerza, saliendo de los polos y acumulándose cerca del ecuador. ^{[ 31 ] : 10 [ 32 ]} El resultado es una doble protuberancia de marea a lo largo del eje Tierra-Luna, algo mayor en el lado más cercano a la Luna. A medida que la Tierra rota sobre su eje, diferentes puntos de la Tierra se mueven a través de estas protuberancias, lo que explica aproximadamente las mareas dobles diarias. Tanto el agua de los océanos como la Tierra sólida experimentan estas diferencias de atracción, pero la Tierra rígida resiste la deformación y mantiene su forma aproximadamente esférica, mientras que el fluido se redistribuye para compensar el desequilibrio, formando las protuberancias. ^{[ 33 ] [ 34 ]} La marea de equilibrio es la marea idealizada suponiendo una Tierra sin tierra. ^{[ 35 ]}

Ecuaciones de mareas de Laplace

A. Potencial gravitacional lunar: esta imagen muestra la Luna directamente sobre los 30°  N (o 30°  S) vista desde arriba del hemisferio norte. Cabe destacar que la Luna nunca se encuentra a más de 28,6° al norte del ecuador.

B. Esta vista muestra el mismo potencial desde 180° respecto a la vista A. Vista desde arriba del hemisferio norte. Rojo hacia arriba, azul hacia abajo.

En 1776, Laplace formuló un conjunto único de ecuaciones diferenciales parciales lineales para el flujo de marea, descrito como un flujo laminar bidimensional barotrópico . Se introducen los efectos de Coriolis, así como la fuerza lateral debida a la gravedad . Laplace obtuvo estas ecuaciones simplificando las ecuaciones de la dinámica de fluidos , pero también pueden derivarse de integrales de energía mediante la ecuación de Lagrange .

Para una lámina fluida de espesor medio D , la elevación de marea vertical ζ , así como las componentes de velocidad horizontal u y v (en las direcciones de latitud φ y longitud λ , respectivamente) satisfacen las ecuaciones de marea de Laplace : ^{[ 48 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}&+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}\left[{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(uD)+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(vD\cos(\varphi )\right)\right]=0,\\[2ex]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-v\,2\Omega \sin(\varphi )+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left(g\zeta +U\right)=0,\quad {\text{y}}\\[2ex]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u\,2\Omega \sin(\varphi )+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(g\zeta +U\right)=0,\end{aligned}}}$

donde Ω es la frecuencia angular de la rotación del planeta, g es la aceleración gravitacional del planeta en la superficie media del océano, a es el radio planetario y U es el potencial de fuerza de marea gravitacional externa .

William Thomson (Lord Kelvin) reescribió los términos de momento de Laplace utilizando el rotacional para hallar una ecuación para la vorticidad . Bajo ciertas condiciones, esta ecuación puede reescribirse como una conservación de la vorticidad.

Las mejoras teóricas de Laplace fueron sustanciales, pero aún dejaban la predicción en un estado aproximado. Esta situación cambió en la década de 1860, cuando Lord Kelvin , mediante la aplicación del análisis de Fourier a los movimientos de las mareas como análisis armónico , tuvo más en cuenta las circunstancias locales de dichos fenómenos. El trabajo de Thomson en este campo fue desarrollado y ampliado posteriormente por George Darwin , quien aplicó la teoría lunar vigente en su época.Los símbolos de Darwin para los componentes armónicos de las mareas todavía se utilizan, por ejemplo:M: luna/lunar;S: sol/solar;K: luna-sol/lunisolar.

Los desarrollos armónicos de Darwin de las fuerzas generadoras de mareas fueron mejorados posteriormente cuando AT Doodson , aplicando la teoría lunar de EW Brown , ^{[ 49 ]} desarrolló el potencial generador de mareas (PGT) en forma armónica, distinguiendo 388 frecuencias de marea. ^{[ 50 ]} El trabajo de Doodson se llevó a cabo y se publicó en 1921. ^{[ 51 ]} Doodson ideó un sistema práctico para especificar los diferentes componentes armónicos del potencial generador de mareas, los números de Doodson , un sistema que todavía se utiliza.

Desde mediados del siglo XX, análisis posteriores han generado muchos más términos que los 388 de Doodson. Aproximadamente 62 componentes tienen un tamaño suficiente para ser considerados para su posible uso en la predicción de mareas marinas, pero a veces muchos menos pueden predecir las mareas con una precisión útil. Los cálculos de predicción de mareas utilizando los componentes armónicos son laboriosos, y desde la década de 1870 hasta aproximadamente la de 1960 se realizaban utilizando una máquina mecánica de predicción de mareas , una forma especializada de computadora analógica . Más recientemente, se utilizan computadoras digitales, mediante el método de inversión de matrices , para determinar los componentes armónicos de las mareas directamente a partir de los registros de mareógrafos. ^{[ 52 ]}

Los componentes de las mareas se combinan para dar un agregado infinitamente variable debido a sus diferentes e inconmensurables frecuencias: el efecto se visualiza en una animación de la Sociedad Matemática Estadounidense que ilustra la forma en que los componentes solían combinarse mecánicamente en la máquina de predicción de mareas. Las amplitudes (la mitad de la amplitud pico a pico ) de los componentes de las mareas se dan a continuación para seis ubicaciones de ejemplo: Eastport, Maine (ME), ^{[ 53 ]} Biloxi, Mississippi (MS), San Juan, Puerto Rico (PR), Kodiak, Alaska (AK), San Francisco, California (CA) y Hilo, Hawaii (HI).

Para especificar los diferentes componentes armónicos del potencial generador de mareas, Doodson ideó un sistema práctico que aún se utiliza, basado en los llamados números de Doodson, a partir de los seis argumentos o variables de Doodson. El número de componentes de frecuencia de marea es grande, pero cada una corresponde a una combinación lineal específica de seis frecuencias mediante múltiplos enteros pequeños, positivos o negativos. En principio, estos argumentos angulares básicos pueden especificarse de diversas maneras; la elección de Doodson de sus seis "argumentos de Doodson" se ha utilizado ampliamente en el estudio de las mareas. En términos de estos argumentos de Doodson, cada frecuencia de marea puede especificarse como una suma formada por un múltiplo entero pequeño de cada uno de los seis argumentos. Los seis multiplicadores enteros pequeños resultantes codifican la frecuencia del argumento de marea en cuestión, y estos son los números de Doodson: en la práctica, todos, excepto el primero, suelen estar sesgados al alza en +5 para evitar números negativos en la notación. (Si el múltiplo sesgado excede 9, el sistema adopta X para 10 y E para 11.) ^{[ 54 ]}

Los argumentos de Doodson se especifican de la siguiente manera, en orden de frecuencia decreciente: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \beta _{1}=\tau =(\theta _{M}+\pi -s)}$es la hora lunar media, el ángulo horario de Greenwich de la Luna media más 12 horas.

${\displaystyle \beta _{2}=s=(F+\Omega )}$es la longitud media de la Luna.

${\displaystyle \beta _ {3}=h=(sD)}$es la longitud media del Sol.

${\displaystyle \beta _{4}=p=(s-\ell )}$es la longitud del perigeo medio de la Luna.

${\displaystyle \beta _ {5}=N'=(-\Omega)}$es el negativo de la longitud del nodo ascendente medio de la Luna en la eclíptica.

${\displaystyle \beta _{6}=p_{\ell }}$o${\displaystyle p_{s}=(sD-\ell ')}$es la longitud del perigeo medio del Sol.

En estas expresiones, los símbolos${\displaystyle \ell }$,${\displaystyle \ell '}$,${\displaystyle F}$y${\displaystyle D}$remitirse a un conjunto alternativo de argumentos angulares fundamentales (generalmente preferidos para su uso en la teoría lunar moderna), en el que:

${\displaystyle \ell }$es la anomalía media de la Luna (distancia desde su perigeo).

${\displaystyle \ell '}$es la anomalía media del Sol (distancia desde su perigeo).

${\displaystyle F}$es el argumento medio de la latitud de la Luna (distancia desde su nodo).

${\displaystyle D}$es la elongación media de la Luna (distancia al sol).

Es posible definir varias variables auxiliares a partir de combinaciones de estas.

En términos de este sistema, cada frecuencia constituyente de marea puede identificarse mediante sus números de Doodson. El constituyente de marea más fuerte, "M ₂ ", tiene una frecuencia de dos ciclos por día lunar; sus números de Doodson se suelen escribir como 255,555, lo que significa que su frecuencia se compone del doble del primer argumento de Doodson y cero veces de todos los demás. El segundo constituyente de marea más fuerte, S _2, está influenciado por el sol, y sus números de Doodson son 273,555, lo que significa que su frecuencia se compone del doble del primer argumento de Doodson, +2 veces el segundo, -2 veces el tercero y cero veces cada uno de los otros tres. ^{[ 55 ]} Esto se agrega al equivalente angular del tiempo solar medio +12 horas. Estas dos frecuencias componentes más fuertes tienen argumentos simples para los cuales el sistema de Doodson podría parecer innecesariamente complejo, pero cada una de las cientos de otras frecuencias componentes se puede especificar brevemente de manera similar, mostrando en conjunto la utilidad de la codificación.