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Articulo de referencia

Espacio Tychonoff

En topología y ramas afines de las matemáticas , los espacios de Tychonoff y los espacios completamente regulares son tipos de espacios topológicos . Estas condiciones son ejemp...

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En topología y ramas afines de las matemáticas , los espacios de Tychonoff y los espacios completamente regulares son tipos de espacios topológicos . Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación . Un espacio de Tychonoff es cualquier espacio completamente regular que también es un espacio de Hausdorff ; existen espacios completamente regulares que no son de Tychonoff (es decir, no son de Hausdorff).

Paul Urysohn había utilizado la noción de espacio completamente regular en un artículo de 1925 [ 1 ] sin darle un nombre. Pero fue Andrey Tychonoff quien introdujo la terminología de espacio completamente regular en 1930. [ 2 ]

Definiciones

Separación de un punto de un conjunto cerrado mediante una función continua.

Un espacio topológicoincógnita{\displaystyle X}Se dice que un conjunto es completamente regular si los puntos pueden separarse de conjuntos cerrados mediante funciones continuas (acotadas) de valor real. En términos técnicos, esto significa: para cualquier conjunto cerradoA⊆incógnita{\displaystyle A\subsetequ X}y cualquier puntoincógnita∈incógnita∖A,{\displaystyle x\in X\setminus A,}existe una función continua de valor realF:incógnita→R{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }de tal manera queF(incógnita)=1{\displaystyle f(x)=1}yF|A=0.{\displaystyle f\vert _{A}=0.}(De forma equivalente, se pueden elegir dos valores cualesquiera en lugar de0{\displaystyle 0}y1{\displaystyle 1}e incluso exigir queF{\displaystyle f}sea ​​una función acotada.)

Un espacio topológico se llama espacio de Tychonoff (alternativamente: espacio T 3½ , o espacio T π , o espacio T 3 completamente ) si es un espacio de Hausdorff completamente regular .

Nota: Los espacios completamente regulares y los espacios de Tychonoff están relacionados mediante la noción de equivalencia de Kolmogorov . Un espacio topológico es de Tychonoff si y solo si es completamente regular y T 0. Por otro lado, un espacio es completamente regular si y solo si su cociente de Kolmogorov es de Tychonoff.

Convenciones de nomenclatura

En la literatura matemática se aplican diferentes convenciones al término «completamente regular» y a los axiomas «T». Las definiciones de esta sección corresponden al uso moderno habitual. Sin embargo, algunos autores intercambian los significados de ambos términos o los utilizan indistintamente. En Wikipedia, los términos «completamente regular» y «Tychonoff» se usan con frecuencia y, por lo general, se evita la notación «T». Por lo tanto, en la literatura especializada, se recomienda precaución y consultar las definiciones que utiliza el autor. Para más información sobre este tema, véase Historia de los axiomas de separación .

Ejemplos

Casi todos los espacios topológicos estudiados en análisis matemático son de Tychonoff, o al menos completamente regulares. Por ejemplo, la recta real es de Tychonoff bajo la topología euclidiana estándar . Otros ejemplos incluyen:

Existen espacios de Hausdorff regulares que no son completamente regulares, pero la construcción de tales ejemplos es compleja. Uno de ellos es el llamado sacacorchos de Tychonoff , [ 3 ] [ 4 ] que contiene dos puntos tales que cualquier función continua de valor real en el espacio tiene el mismo valor en estos dos puntos. Una construcción aún más compleja parte del sacacorchos de Tychonoff y construye un espacio de Hausdorff regular llamado sacacorchos condensado de Hewitt , [ 5 ] [ 6 ] que no es completamente regular de una manera más estricta, a saber, toda función continua de valor real en el espacio es constante.

Propiedades

Preservación

La regularidad completa y la propiedad de Tychonoff se comportan adecuadamente con respecto a las topologías iniciales . Específicamente, la regularidad completa se conserva al tomar topologías iniciales arbitrarias y la propiedad de Tychonoff se conserva al tomar topologías iniciales que separan puntos. De ello se deduce que:

  • Cada subespacio de un espacio completamente regular o de Tychonoff tiene la misma propiedad.
  • Un espacio de producto no vacío es completamente regular (respectivamente Tychonoff) si y solo si cada espacio de factores es completamente regular (respectivamente Tychonoff).

Como ocurre con todos los axiomas de separación, la regularidad completa no se conserva al tomar topologías finales . En particular, los cocientes de espacios completamente regulares no tienen por qué ser regulares . Los cocientes de espacios de Tychonoff ni siquiera tienen por qué ser de Hausdorff , siendo un contraejemplo elemental la recta con dos orígenes . Existen cocientes cerrados del plano de Moore que proporcionan contraejemplos.

Funciones continuas de valor real

Para cualquier espacio topológicoincógnita,{\displaystyle X,}dejardo(incógnita){\displaystyle C(X)}denotamos la familia de funciones continuas de valor real enincógnita{\displaystyle X}y dejardob(incógnita){\displaystyle C_{b}(X)}sea ​​el subconjunto de funciones continuas de valor real acotadas .

Los espacios completamente regulares se pueden caracterizar por el hecho de que su topología está completamente determinada pordo(incógnita){\displaystyle C(X)}odob(incógnita).{\displaystyle C_{b}(X).}En particular:

  • Un espacioincógnita{\displaystyle X}es completamente regular si y solo si tiene la topología inicial inducida pordo(incógnita){\displaystyle C(X)}odob(incógnita).{\displaystyle C_{b}(X).}
  • Un espacioincógnita{\displaystyle X}es completamente regular si y solo si todo conjunto cerrado puede escribirse como la intersección de una familia de conjuntos cero enincógnita{\displaystyle X}(es decir, los conjuntos cero forman una base para los conjuntos cerrados deincógnita{\displaystyle X}).
  • Un espacioincógnita{\displaystyle X}es completamente regular si y solo si los conjuntos coceros deincógnita{\displaystyle X}formar una base para la topología deincógnita.{\displaystyle X.}

Dado un espacio topológico arbitrario(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}existe una forma universal de asociar un espacio completamente regular con(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).}Sea ρ la topología inicial enincógnita{\displaystyle X}inducido pordoτ(incógnita){\displaystyle C_{\tau }(X)}o, equivalentemente, la topología generada por la base de conjuntos coceros en(incógnita,τ).{\displaystyle (X,\tau ).}Entonces ρ será la topología completamente regular más fina enincógnita{\displaystyle X}eso es más grueso queτ.{\displaystyle \tau .}Esta construcción es universal en el sentido de que cualquier función continua F:(incógnita,τ)→Y{\displaystyle f:(X,\tau )\to Y} a un espacio completamente regularY{\displaystyle Y}será continuo en(incógnita,ρ).{\displaystyle (X,\rho ).}En el lenguaje de la teoría de categorías , el functor que envía(incógnita,τ){\displaystyle (X,\tau )}a(incógnita,ρ){\displaystyle (X,\rho )}es adjunto izquierdo del functor de inclusión CReg → Top . Por lo tanto, la categoría de espacios completamente regulares CReg es una subcategoría reflectiva de Top , la categoría de espacios topológicos . Al tomar cocientes de Kolmogorov , se observa que la subcategoría de espacios de Tychonoff también es reflectiva.

Se puede demostrar quedoτ(incógnita)=doρ(incógnita){\displaystyle C_{\tau }(X)=C_{\rho }(X)}en la construcción anterior de modo que los anillosdo(incógnita){\displaystyle C(X)}ydob(incógnita){\displaystyle C_{b}(X)}Por lo general, solo se estudian para espacios completamente regulares.incógnita.{\displaystyle X.}

La categoría de espacios de Tychonoff reales compactos es antiequivalente a la categoría de anillos.do(incógnita){\displaystyle C(X)}(dóndeincógnita{\displaystyle X}es realcompacto) junto con homomorfismos de anillos como aplicaciones. Por ejemplo, se puede reconstruirincógnita{\displaystyle X}dedo(incógnita){\displaystyle C(X)}cuandoincógnita{\displaystyle X}es (real) compacto. La teoría algebraica de estos anillos es, por lo tanto, objeto de estudios intensivos. Una vasta generalización de esta clase de anillos que aún se asemeja a muchas propiedades de los espacios de Tychonoff, pero que también es aplicable en geometría algebraica real , es la clase de anillos cerrados reales .

Incrustaciones

Los espacios Tychonoff son precisamente aquellos espacios que pueden integrarse en espacios Hausdorff compactos . Más precisamente, para cada espacio Tychonoffincógnita,{\displaystyle X,}Existe un espacio Hausdorff compactoK{\displaystyle K}de tal manera queincógnita{\displaystyle X}es homeomorfo a un subespacio deK.{\displaystyle K.}

De hecho, siempre se puede elegir.K{\displaystyle K}ser un cubo de Tychonoff (es decir, un producto posiblemente infinito de intervalos unitarios ). Todo cubo de Tychonoff es compacto de Hausdorff como consecuencia del teorema de Tychonoff . Dado que todo subespacio de un espacio compacto de Hausdorff es de Tychonoff, se tiene:

Un espacio topológico es de Tychonoff si y solo si puede ser incrustado en un cubo de Tychonoff .

Compactaciones

De particular interés son aquellas incrustaciones donde la imagen deincógnita{\displaystyle X}es denso enK;{\displaystyle K;}Estas se denominan compactificaciones de Hausdorff.incógnita.{\displaystyle X.} Dada cualquier incrustación de un espacio de Tychonoffincógnita{\displaystyle X}en un espacio compacto de HausdorffK{\displaystyle K}el cierre de la imagen deincógnita{\displaystyle X}enK{\displaystyle K}es una compactificación deincógnita.{\displaystyle X.} En el mismo artículo de 1930 [ 2 ] donde Tychonoff definió espacios completamente regulares, también demostró que todo espacio de Tychonoff tiene una compactificación de Hausdorff.

Entre esas compactificaciones de Hausdorff, hay una única "más general", la compactificación de Stone-Čech.βincógnita.{\displaystyle \beta X.} Se caracteriza por la propiedad universal de que, dado un mapa continuoF{\displaystyle f}deincógnita{\displaystyle X}a cualquier otro espacio compacto de HausdorffY,{\displaystyle Y,}Hay un mapa continuo únicogramo:βincógnita→Y{\displaystyle g:\beta X\to Y}que se extiendeF{\displaystyle f}en el sentido de queF{\displaystyle f}es la composición degramo{\displaystyle g}yj.{\displaystyle j.}

Estructuras uniformes

La regularidad completa es precisamente la condición necesaria para la existencia de estructuras uniformes en un espacio topológico. En otras palabras, todo espacio uniforme tiene una topología completamente regular y todo espacio completamente regularincógnita{\displaystyle X}es uniformizable . Un espacio topológico admite una estructura uniforme separada si y solo si es de Tychonoff.

Dado un espacio completamente regularincógnita{\displaystyle X}Por lo general, hay más de una uniformidad enincógnita{\displaystyle X}que sea compatible con la topología deincógnita.{\displaystyle X.}Sin embargo, siempre habrá una uniformidad compatible más fina, llamada la uniformidad fina enincógnita.{\displaystyle X.}Siincógnita{\displaystyle X}es Tychonoff, entonces se puede elegir la estructura uniforme de manera queβincógnita{\displaystyle \beta X}se convierte en la culminación del espacio uniformeincógnita.{\displaystyle X.}

Véase también

Citas

  1. ^ Urysohn, Paul (1925). "Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen". Annalen Matemáticas . 94 (1): 262– 295. doi : 10.1007/BF01208659 .Véanse las páginas 291 y 292.
  2. ^ Tychonoff , A. (1930). "Über die topologische Erweiterung von Räumen". Annalen Matemáticas . 102 (1): 544– 561. doi : 10.1007/BF01782364 .
  3. ↑ Willard 1970 , Problema 18G.
  4. ↑ Steen y Seebach 1995 , Ejemplo 90.
  5. ↑ Steen y Seebach 1995 , Ejemplo 92.
  6. ↑ Hewitt, Edwin (1946). "Sobre dos problemas de Urysohn". Anales de Matemáticas . 47 (3): 503– 509. doi : 10.2307/1969089 . JSTOR 1969089 . 

Bibliografía

  • Gillman, Leonard ; Jerison, Meyer (1960). Anillos de funciones continuas . Textos de posgrado en matemáticas, n.° 43 (edición reimpresa de Dover  ). Nueva York: Springer-Verlag. pág.  xiii. ISBN 978-048681688-3.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 . 
  • Willard, Stephen (1970). Topología general (edición reimpresa de Dover  ). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.