Análisis tiempo-frecuencia

Existen varias formas diferentes de formular una función de distribución tiempo-frecuencia válida, lo que da como resultado varias distribuciones tiempo-frecuencia bien conocidas, tales como:

• Transformada de Fourier de tiempo corto (incluida la transformada de Gabor ),
• transformada wavelet ,
• Función de distribución tiempo-frecuencia bilineal ( función de distribución de Wigner o WDF),
• Función de distribución de Wigner modificada , función de distribución de Gabor-Wigner, etc. (véase la transformada de Gabor-Wigner ).
• Transformación de Hilbert-Huang

Puede encontrar más información sobre la historia y la motivación del desarrollo de la distribución tiempo-frecuencia en la entrada Representación tiempo-frecuencia .

Idealmente, una función de distribución tiempo-frecuencia tiene las siguientes propiedades:

1. Alta resolución tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia, para facilitar su análisis e interpretación.
2. No se utilizan términos cruzados para evitar confundir los componentes reales con artefactos o ruido.
3. Una lista de propiedades matemáticas deseables para garantizar que dichos métodos sean útiles en aplicaciones prácticas.
4. Una menor complejidad computacional , que garantice que el tiempo necesario para representar y procesar una señal en un plano tiempo-frecuencia sea mínimo, permite implementaciones en tiempo real.

A continuación se presenta una breve comparación de algunas funciones de distribución tiempo-frecuencia seleccionadas. ^{[ 4 ]}

Para analizar correctamente las señales, es importante elegir una función de distribución tiempo-frecuencia adecuada. La función de distribución tiempo-frecuencia que se debe usar depende de la aplicación que se esté considerando, como se muestra al revisar una lista de aplicaciones. ^{[ 5 ]} La gran claridad de la función de distribución de Wigner (WDF) obtenida para algunas señales se debe a la función de autocorrelación inherente a su formulación; sin embargo, esta última también causa el problema de los términos cruzados. Por lo tanto, si queremos analizar una señal de un solo término, usar la WDF puede ser el mejor enfoque; si la señal está compuesta por múltiples componentes, otros métodos como la transformada de Gabor, la distribución de Gabor-Wigner o las funciones de distribución B modificada pueden ser mejores opciones.

Como ejemplo, las magnitudes obtenidas mediante análisis de Fourier no localizado no permiten distinguir las señales:

${\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(2\pi t);&10\leq t<20\\\cos(3\pi t);&t>20\end{cases}}}$

Pero el análisis tiempo-frecuencia sí puede.

• Función de autocovarianza (FAC)${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

Por lo general, suponemos que${\displaystyle E[x(t)]=0}$para cualquier t,

${\displaystyle E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

${\displaystyle =\iint x(t+\tau /2,\xi _{1})x^{*}(t-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$

(definición alternativa de la función de autocovarianza)

${\displaystyle {\overset {\land }{R_{x}}}(t,\tau )=E[x(t)x(t+\tau )]}$

• Densidad espectral de potencia (PSD)${\displaystyle S_{x}(t,f)}$

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

• Relación entre la función de distribución de Wigner (WDF) y la densidad espectral de potencia (PSD)

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$${\displaystyle =S_{x}(t,f)}$

• Relación entre la función de ambigüedad y la ACF

${\displaystyle E[A_{X}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]e^{-j2\pi t\eta }dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi t\eta }dt}$

• Proceso aleatorio estacionario : las propiedades estadísticas no cambian con t. Su función de autocovarianza:

${\displaystyle R_{x}(t_{1},\tau )=R_{x}(t_{2},\tau )=R_{x}(\tau )}$ para cualquier${\displaystyle t}$, Por lo tanto, ${\displaystyle R_{x}(\tau )=E[x(\tau /2)x^{*}(-\tau /2)]}$${\displaystyle =\iint x(\tau /2,\xi _{1})x^{*}(-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$PSD, ${\displaystyle S_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$Ruido blanco:

${\displaystyle S_{x}(f)=\sigma }$ , dónde${\displaystyle \sigma }$es alguna constante.

• Cuando x(t) es estacionario,

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=S_{x}(f)}$ , (invariante con${\displaystyle t}$)

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )\cdot e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$${\displaystyle =R_{x}(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$${\displaystyle =R_{x}(\tau )\delta (\eta )}$ , (distinto de cero solo cuando${\displaystyle \eta =0}$)

• Para el ruido blanco aditivo (AWN),

${\displaystyle E[W_{g}(t,f)]=\sigma }$

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\sigma \delta (\tau )\delta (\eta )}$

• Diseño de filtro para una señal en ruido blanco aditivo

${\displaystyle E_{x}}$: energía de la señal

${\displaystyle A}$ : área de la distribución tiempo-frecuencia de la señal

La PSD del ruido blanco es${\displaystyle S_{n}(f)=\sigma }$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\iint \limits _{(t,f)\in {\text{signal part}}}S_{x}(t,f)dtdf}}}$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\sigma \mathrm {A} }}}$

• Si${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]}$varía con${\displaystyle t}$y${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]}$es distinto de cero cuando${\displaystyle \eta =0}$, entonces${\displaystyle x(t)}$es un proceso aleatorio no estacionario.
• Si
  1. ${\displaystyle h(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+x_{3}(t)+......+x_{k}(t)}$
  2. ${\displaystyle x_{n}(t)}$tienen media cero para todos${\displaystyle t}$'s
  3. ${\displaystyle x_{n}(t)}$son mutuamente independientes para todos${\displaystyle t}$'arena${\displaystyle \tau }$'s

entonces:

${\displaystyle E[x_{m}(t+\tau /2)x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=E[x_{m}(t+\tau /2)]E[x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=0}$

• si${\displaystyle m\neq n}$, entonces

${\displaystyle E[W_{h}(t,f)]=\sum _{n=1}^{k}E[W_{x_{n}}(t,f)]}$

${\displaystyle E[A_{h}(\eta ,\tau )]=\sum _{n=1}^{k}E[A_{x_{n}}(\eta ,\tau )]}$

• Proceso aleatorio para STFT (Transformada de Fourier de Tiempo Corto)

${\displaystyle E[x(t)]\neq 0}$ debería quedar satisfecho. De lo contrario, ${\displaystyle E[X(t,f)]=E[\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau ]}$${\displaystyle =\int _{t-B}^{t+B}E[x(\tau )]w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$para un proceso aleatorio de media cero,${\displaystyle E[X(t,f)]=0}$

• Descomponer mediante la transformada fraccional de Fourier (AF) y la transformada fraccional de Fourier (FRFT). Cualquier proceso aleatorio no estacionario puede expresarse como una suma de la transformada fraccional de Fourier (o multiplicación chirp) de un proceso aleatorio estacionario.

La definición de frecuencia instantánea es la tasa de cambio de fase en el tiempo, o

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dt}}\phi (t),}$

dónde${\displaystyle \phi (t)}$es la fase instantánea de una señal. Podemos conocer la frecuencia instantánea directamente del plano tiempo-frecuencia si la imagen es suficientemente nítida. Dado que la alta nitidez es fundamental, a menudo utilizamos WDF para analizarla.

El objetivo del diseño de filtros es eliminar el componente no deseado de una señal. Tradicionalmente, podemos filtrar individualmente en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia, como se muestra a continuación.

Los métodos de filtrado mencionados anteriormente no funcionan bien para todas las señales que se superponen en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Mediante la función de distribución tiempo-frecuencia, podemos filtrar en el dominio euclidiano tiempo-frecuencia o en el dominio fraccional empleando la transformada fraccional de Fourier . A continuación se muestra un ejemplo.

El diseño de filtros en el análisis tiempo-frecuencia siempre trabaja con señales compuestas por múltiples componentes, por lo que no se puede utilizar la función de distribución de Wiedemann (WDF) debido a la presencia de términos cruzados. La transformada de Gabor, la función de distribución de Gabor-Wigner o la función de distribución de clases de Cohen pueden ser mejores opciones.

El concepto de descomposición de señales se refiere a la necesidad de separar un componente de los demás en una señal; esto se puede lograr mediante una operación de filtrado que requiere una etapa de diseño de filtro. Tradicionalmente, dicho filtrado se realiza en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia; sin embargo, esto puede no ser posible en el caso de señales no estacionarias multicomponentes, ya que dichos componentes podrían superponerse tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. En consecuencia, la única forma posible de lograr la separación de componentes y, por lo tanto, la descomposición de la señal, es implementar un filtro tiempo-frecuencia.

Según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , podemos concluir que el número mínimo de puntos de muestreo sin aliasing es equivalente al área de la distribución tiempo-frecuencia de una señal. (En realidad, esto es solo una aproximación, ya que el área tiempo-frecuencia de cualquier señal es infinita). A continuación, se muestra un ejemplo antes y después de combinar la teoría del muestreo con la distribución tiempo-frecuencia:

Se observa que el número de puntos de muestreo disminuye después de aplicar la distribución tiempo-frecuencia.

Al utilizar la transformada de Wolfram Dwarf, puede surgir el problema de los términos cruzados (también llamado interferencia). Por otro lado, el uso de la transformada de Gabor mejora la claridad y la legibilidad de la representación, facilitando así su interpretación y aplicación a problemas prácticos.

Por consiguiente, cuando la señal que tendemos a muestrear está compuesta por un solo componente, utilizamos la WDF; sin embargo, si la señal consta de más de un componente, el uso de la transformada de Gabor, la función de distribución de Gabor-Wigner u otras TFD de interferencia reducida pueden lograr mejores resultados.

El teorema de Balian-Low formaliza este concepto y proporciona una cota para el número mínimo de muestras tiempo-frecuencia necesarias.

Tradicionalmente, la modulación y la multiplexación se centran en el tiempo o en la frecuencia, respectivamente. Aprovechando la distribución tiempo-frecuencia, podemos lograr una mayor eficiencia en la modulación y la multiplexación. Basta con ocupar todo el plano tiempo-frecuencia. A continuación, presentamos un ejemplo.

Como se ilustra en el ejemplo anterior, usar el WDF no es una buena idea, ya que el grave problema de los términos cruzados dificulta la multiplexación y la modulación.

Podemos representar una onda electromagnética en forma de una matriz de 2 por 1.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

que es similar al plano tiempo-frecuencia. Cuando una onda electromagnética se propaga a través del espacio libre, ocurre la difracción de Fresnel . Podemos operar con la matriz de 2 por 1

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

por LCT con matriz de parámetros

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},}$

donde z es la distancia de propagación y${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda. Cuando una onda electromagnética pasa a través de una lente esférica o se refleja en un disco, la matriz de parámetros debe ser

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}}$

respectivamente, donde ƒ es la distancia focal de la lente y R es el radio del disco. Estos resultados correspondientes se pueden obtener a partir de

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

La luz es una onda electromagnética, por lo que el análisis tiempo-frecuencia se aplica a la óptica de la misma manera que a la propagación general de ondas electromagnéticas.

De manera similar, es característico de las señales acústicas que sus componentes de frecuencia sufran variaciones abruptas en el tiempo y, por lo tanto, no estarían bien representadas por un análisis de un solo componente de frecuencia que abarque toda su duración.

Dado que las señales acústicas se utilizan como habla en la comunicación entre el emisor y el receptor humanos, su transmisión sin demoras en los sistemas de comunicación técnica es crucial, lo que hace que el uso de transformadas de Fourier más simples, como la transformada de Gabor, sea adecuado para analizar estas señales en tiempo real reduciendo la complejidad computacional.

Si la velocidad del análisis de frecuencia no es una limitación, se debe realizar una comparación detallada de características con criterios bien definidos antes de seleccionar una TFD específica. Otro enfoque consiste en definir una TFD dependiente de la señal que se adapte a los datos. En biomedicina, se puede utilizar la distribución tiempo-frecuencia para analizar la electromiografía (EMG), la electroencefalografía (EEG), el electrocardiograma (ECG) o las emisiones otoacústicas (EOA).