Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Evolución del tiempo

La evolución temporal es el cambio de estado producido por el paso del tiempo , aplicable a sistemas con estado interno (también llamados sistemas con estado ). En esta formulac...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

La evolución temporal es el cambio de estado producido por el paso del tiempo , aplicable a sistemas con estado interno (también llamados sistemas con estado ). En esta formulación, el tiempo no tiene por qué ser un parámetro continuo, sino que puede ser discreto o incluso finito . En la física clásica , la evolución temporal de un conjunto de cuerpos rígidos se rige por los principios de la mecánica clásica . En su forma más básica, estos principios expresan la relación entre las fuerzas que actúan sobre los cuerpos y su aceleración, dada por las leyes del movimiento de Newton . Estos principios pueden expresarse de forma equivalente y más abstracta mediante la mecánica hamiltoniana o la mecánica lagrangiana .

El concepto de evolución temporal también puede aplicarse a otros sistemas con estado. Por ejemplo, el funcionamiento de una máquina de Turing puede considerarse como la evolución temporal del estado de control de la máquina junto con el estado de la cinta (o posiblemente varias cintas), incluyendo la posición del cabezal (o cabezales) de lectura/escritura. En este caso, el tiempo se considera como pasos discretos.

Los sistemas con estado suelen tener descripciones duales, ya sea en términos de estados o de valores observables . En estos sistemas, la evolución temporal también puede referirse al cambio en los valores observables. Esto es particularmente relevante en mecánica cuántica, donde la representación de Schrödinger y la de Heisenberg son descripciones (en su mayoría) equivalentes de la evolución temporal.

operadores de evolución temporal

Consideremos un sistema con espacio de estados X cuya evolución es determinista y reversible . Para mayor concreción, supongamos también que el tiempo es un parámetro que varía sobre el conjunto de los números reales R. Entonces, la evolución temporal viene dada por una familia de transformaciones de estado biyectivas .

(Ft,s:incógnita→incógnita)s,t∈R{\displaystyle (\operatorname {F} _{t,s}\colon X\rightarrow X)_{s,t\in \mathbb {R} }}.

F t , s ( x ) es el estado del sistema en el instante t , cuyo estado en el instante s es x . Se cumple la siguiente identidad

Ftú,t⁡(Ft,s⁡(incógnita))=Ftú,s⁡(incógnita).{\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}

Para ver por qué esto es cierto, supongamos que x ∈ X es el estado en el instante s . Entonces, por la definición de F, F t , s ( x ) es el estado del sistema en el instante t y, en consecuencia, aplicando la definición una vez más, F u , t (F t , s ( x )) es el estado en el instante u . Pero esto también es F u , s ( x ).

En algunos contextos de la física matemática, las aplicaciones F t , s se denominan operadores de propagación o simplemente propagadores . En mecánica clásica , los propagadores son funciones que operan en el espacio de fases de un sistema físico. En mecánica cuántica , los propagadores suelen ser operadores unitarios en un espacio de Hilbert . Los propagadores pueden expresarse como exponenciales ordenadas en el tiempo del hamiltoniano integrado. Las propiedades asintóticas de la evolución temporal vienen dadas por la matriz de dispersión . [ 1 ]

Un espacio de estados con un propagador distinguido también se denomina sistema dinámico .

Decir que la evolución del tiempo es homogénea significa que

Ftú,t=Ftú−t,0{\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{ut,0}}a pesar detú,t∈R{\displaystyle u,t\in \mathbb {R} }.

En el caso de un sistema homogéneo, las aplicaciones G t = F t ,0 forman un grupo uniparamétrico de transformaciones de X , es decir

GRAMOt+s=GRAMOt⁡GRAMOs.{\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}

Para sistemas no reversibles, los operadores de propagación F t , s se definen siempre que t ≥ s y satisfacen la identidad de propagación.

Ftú,t⁡(Ft,s⁡(incógnita))=Ftú,s⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x)}para cualquiertú≥t≥s{\displaystyle u\geq t\geq s}.

En el caso homogéneo, los propagadores son exponenciales del hamiltoniano.

En mecánica cuántica

En la representación de Schrödinger , el operador hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si|ψ(t)⟩{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }es el estado del sistema en el momentot{\displaystyle t}, entonces

H|ψ(t)⟩=iℏ∂∂t|ψ(t)⟩.{\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}

Esta es la ecuación de Schrödinger .

Hamiltoniano independiente del tiempo

SiH{\displaystyle H}es independiente del tiempo, entonces un estado en algún momento inicial (t=0{\displaystyle t=0}) puede expresarse utilizando el operador de evolución temporal unitarioU(t){\displaystyle U(t)}es el operador exponencial como

|ψ(t)⟩=U(t)|ψ(0)⟩=mi−iHt/ℏ|ψ(0)⟩,{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t)\left|\psi (0)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle ,}

o, más generalmente, durante algún tiempo inicialt0{\displaystyle t_{0}}

|ψ(t)⟩=U(t,t0)|ψ(t0)⟩=mi−iH(t−t0)/ℏ|ψ(t0)⟩.{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t,t_{0})\left|\psi (t_{0})\right\rangle =e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }\left|\psi (t_{0})\right\rangle .}[ 2 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Lección 1 | Entrelazamientos cuánticos, Parte 1 (Stanford) (video). Stanford, CA: Stanford. 2 de octubre de 2006. Recuperado el 5 de septiembre de 2020 a través de YouTube.
  2. ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck; Hemley, Susan Reid; Ostrowsky, Nicole; Ostrowsky, DB (2020). Mecánica cuántica (Segunda ed.). Weinheim, Alemania: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. págs. 313–315 . ISBN   9783527345533.

Referencias generales

  • Amann, H.; Arendt, W.; Neubrander, F.; Nicaise, S.; von Below, J. (2008), Amann, Herbert; Arendt, Wolfgang; Hieber, Matías; Neubrander, Frank M; Nicaise, Serge; von Below, Joachim (eds.), Análisis funcional y ecuaciones de evolución: el volumen de Günter Lumer , Basilea: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-7643-7794-6 , ISBN 978-3-7643-7793-9, MR 2402015 .
  • Jerome, JW; Polizzi, E. (2014), "Discretización de sistemas cuánticos dependientes del tiempo: propagación en tiempo real del operador de evolución", Applicable Analysis , 93 (12): 2574–2597 , arXiv : 1309.3587 , doi : 10.1080/00036811.2013.878863 , S2CID 17905545 .
  • Lanford, OE (1975), "Evolución temporal de grandes sistemas clásicos", en Moser J. (ed.), Sistemas dinámicos, teoría y aplicaciones , Lecture Notes in Physics, vol.  38, Berlín, Heidelberg: Springer, pp. 1–111 , doi : 10.1007/3-540-07171-7_1 , ISBN  978-3-540-37505-0.
  • Lanford, OE; Lebowitz, JL (1975), "Evolución temporal y propiedades ergódicas de sistemas armónicos", en Moser J. (ed.), Sistemas dinámicos, teoría y aplicaciones , Lecture Notes in Physics, vol.  38, Berlín, Heidelberg: Springer, pp. 144–177 , doi : 10.1007/3-540-07171-7_3 , ISBN  978-3-540-37505-0.
  • Lumer, Günter (1994), "Ecuaciones de evolución. Soluciones para problemas de evolución irregular mediante soluciones generalizadas y valores iniciales generalizados. Aplicaciones a modelos de choques periódicos" , Annales Universitatis Saraviensis , Series Mathematicae, 5 (1), MR 1286099 .
Obtenido de " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Time_evolution&oldid=1351117543 "
Lecturas relacionadas
6 articulos
TiempoTiempoEl tiempo es la secuencia continua de existencia y eventos que ocurre en una sucesión aparentemente irreversible desde el pasado , a través del pre...Tiempo discreto y tiempo continuoEn dinámica matemática, el tiempo discreto y el tiempo continuo son dos marcos alternativos dentro de los cuales se modelan las variables que evolu...FinitudBandera a cuadros utilizada en las carreras de autos para señalar el final de una carrera. La finitud , o ser finito , es el estado de ser limitado...Física clásicaFísica clásicaLos cuatro dominios principales de la física moderna La física clásica es un grupo de teorías físicas anteriores a las teorías modernas, más comple...Cuerpo rígidoCuerpo rígidoEn física , un cuerpo rígido , también conocido como objeto rígido , [2] es un cuerpo sólido en el que la deformación es nula o despreciable. La di...Retrato de Isaac Newton con cabello largo mirando hacia la izquierda.Mecánica clásicaDiagrama del movimiento orbital de un satélite alrededor de la Tierra, que muestra vectores de velocidad y aceleración (fuerza) perpendiculares, re...