Representación tiempo-frecuencia

Una representación tiempo-frecuencia ( RTF ) es una vista de una señal (considerada como una función del tiempo) representada tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia . ^{[ 1 ]} El análisis tiempo-frecuencia consiste en analizar el dominio tiempo-frecuencia proporcionado por una RTF. Esto se logra mediante una formulación que a menudo se denomina "Distribución Tiempo-Frecuencia" (DTF).

Las TFR suelen ser campos de valores complejos en el tiempo y la frecuencia, donde el módulo del campo representa la amplitud o la "densidad de energía" (la concentración de la raíz cuadrática media en el tiempo y la frecuencia), y el argumento del campo representa la fase.

Una señal , en función del tiempo, puede considerarse una representación con resolución temporal perfecta . En cambio, la magnitud de la transformada de Fourier (TF) de la señal puede considerarse una representación con resolución espectral perfecta , pero sin información temporal, ya que la magnitud de la TF transmite el contenido de frecuencia, pero no indica cuándo ocurren los diferentes eventos en la señal.

Las TFR sirven de puente entre estas dos representaciones, ya que proporcionan simultáneamente información temporal y espectral . Por lo tanto, las TFR son útiles para la representación y el análisis de señales que contienen múltiples frecuencias variables en el tiempo.

Una forma de TFR (o TFD) se puede formular mediante la comparación multiplicativa de una señal consigo misma, expandida en diferentes direcciones alrededor de cada punto en el tiempo. Estas representaciones y formulaciones se conocen como TFR o TFD cuadráticas o "bilineales" (QTFR o QTFD) porque la representación es cuadrática en la señal (véase Distribución tiempo-frecuencia bilineal ). Esta formulación fue descrita por primera vez por Eugene Wigner en 1932 en el contexto de la mecánica cuántica y, posteriormente, reformulada como una TFR general por Ville en 1948 para formar lo que ahora se conoce como la distribución de Wigner-Ville , ya que se demostró en ^{[ 2 ]} que la fórmula de Wigner necesitaba usar la señal analítica definida en el artículo de Ville para ser útil como representación y para un análisis práctico. Hoy en día, las QTFR incluyen el espectrograma (magnitud al cuadrado de la transformada de Fourier de tiempo corto ), el escalograma (magnitud al cuadrado de la transformada wavelet) y la distribución pseudo-Wigner suavizada.

Aunque las transformadas de Fourier cuadráticas (TFR) ofrecen resoluciones temporales y espectrales perfectas simultáneamente, su naturaleza cuadrática genera términos cruzados, también llamados "interferencias". Estos términos cruzados, causados ​​por la estructura bilineal de las transformadas de Fourier cuadráticas (TFD) y las TFR, pueden ser útiles en algunas aplicaciones, como la clasificación, ya que proporcionan información adicional al algoritmo de reconocimiento. Sin embargo, en otras aplicaciones, estos términos cruzados pueden afectar negativamente a ciertas TFR cuadráticas y requerir su reducción. Una forma de lograrlo es comparando la señal con una función diferente. Estas representaciones resultantes se conocen como TFR lineales, debido a su linealidad con respecto a la señal. Un ejemplo de esta representación es la transformada de Fourier con ventana (también conocida como transformada de Fourier de tiempo corto ), que localiza la señal modulándola con una función de ventana antes de aplicar la transformada de Fourier para obtener el contenido de frecuencia de la señal en la región de la ventana.

Las transformadas wavelet, en particular la transformada wavelet continua , expanden la señal en términos de funciones wavelet localizadas tanto en el tiempo como en la frecuencia. Por lo tanto, la transformada wavelet de una señal puede representarse en términos tanto de tiempo como de frecuencia. El análisis mediante la transformada wavelet continua es muy útil para identificar señales no estacionarias en series temporales , ^{[ 3 ]} como las relacionadas con el clima ^{[ 4 ]} o los deslizamientos de tierra. ^{[ 5 ]}

Las nociones de tiempo, frecuencia y amplitud utilizadas para generar una TFR a partir de una transformada wavelet se desarrollaron originalmente de forma intuitiva. En 1992, se publicó una derivación cuantitativa de estas relaciones, basada en una aproximación de fase estacionaria . ^{[ 6 ]}

Las transformaciones canónicas lineales son transformaciones lineales de la representación tiempo-frecuencia que preservan la forma simpléctica . Estas incluyen y generalizan la transformada de Fourier , la transformada fraccional de Fourier y otras, proporcionando así una visión unificada de estas transformaciones en términos de su acción sobre el dominio tiempo-frecuencia.

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