Media móvil

En estadística , una media móvil ( o media móvil [ ^{1 ] )} es un cálculo para analizar datos mediante la creación de una serie de promedios de diferentes selecciones del conjunto completo de datos. Existen variantes como la simple , la acumulativa o la ponderada .

Matemáticamente, una media móvil es un tipo de convolución . Por lo tanto, en el procesamiento de señales se considera un filtro de respuesta de impulso finito de paso bajo . Debido a que la función rectangular define sus coeficientes de filtro, se le llama filtro rectangular . A veces, se le aplica un submuestreo .

Dado una serie de números y un subconjunto de tamaño fijo, el primer elemento de la media móvil se obtiene calculando el promedio del subconjunto fijo inicial de la serie. A continuación, el subconjunto se modifica mediante un desplazamiento hacia adelante; es decir, se excluye el primer número de la serie y se incluye el siguiente valor.

La media móvil se utiliza habitualmente con datos de series temporales para suavizar las fluctuaciones a corto plazo y resaltar las tendencias o ciclos a largo plazo; en este caso, el cálculo se denomina a veces media temporal . El umbral entre el corto y el largo plazo depende de la aplicación, y los parámetros de la media móvil se ajustarán en consecuencia. También se utiliza en economía para analizar el producto interior bruto, el empleo u otras series temporales macroeconómicas. Cuando se utiliza con datos que no son series temporales, la media móvil filtra los componentes de alta frecuencia sin ninguna conexión específica con el tiempo, aunque normalmente se implica algún tipo de orden. En términos sencillos, puede considerarse como un suavizado de los datos.

La técnica de las medias móviles fue inventada por el Banco de Inglaterra en 1833 para ocultar el estado de sus reservas de lingotes. ^{[ 2 ]}

En aplicaciones financieras, una media móvil simple ( SMA ) es la media no ponderada de los períodos anteriores.${\displaystyle k}$Puntos de datos. Sin embargo, en ciencia e ingeniería, la media se suele calcular a partir de un número igual de datos a ambos lados de un valor central. Esto garantiza que las variaciones de la media coincidan con las variaciones de los datos, en lugar de estar desfasadas en el tiempo.Un ejemplo de una media móvil simple con ponderación igual es la media de los últimos${\displaystyle k}$entradas de un conjunto de datos que contiene${\displaystyle n}$entradas. Dejemos que esos puntos de datos sean${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$Esto podría ser el precio de cierre de una acción. La media de los últimos${\displaystyle k}$Los puntos de datos (días en este ejemplo) se denotan como${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k}}$y calculado como: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k}&={\frac {p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\cdots +p_{n}}{k}}\\&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+1}^{n}p_{i}\end{aligned}}}$$

Al calcular la siguiente media${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{siguiente}}}}$con el mismo ancho de muestreo${\displaystyle k}$el rango de${\displaystyle n-k+2}$a${\displaystyle n+1}$Se considera. Un nuevo valor${\displaystyle p_{n+1}}$entra en la suma y el valor más antiguo${\displaystyle p_{n-k+1}}$se elimina. Esto simplifica los cálculos al reutilizar la media anterior.${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{anterior}}}}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}\\&={\frac {1}{k}}{\Big (}\underbrace {p_{n-k+2}+p_{n-k+3}+\dots +p_{n}+p_{n+1}} _{\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}}+\underbrace {p_{n-k+1}-p_{n-k+1}} _{=0}{\Big )}\\&=\underbrace {{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\dots +p_{n}{\Big )}} _{={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}-{\frac {p_{n-k+1}}{k}}+{\frac {p_{n+1}}{k}}\\&={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}+{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n+1}-p_{n-k+1}{\Big )}\end{aligned}}}$$ Esto significa que el filtro de media móvil se puede calcular de forma bastante económica con datos en tiempo real, utilizando un búfer circular /FIFO y solo 3 pasos aritméticos.

Durante el llenado inicial del búfer FIFO/circular, la ventana de muestreo es igual al tamaño del conjunto de datos, por lo tanto${\displaystyle k=n}$y el cálculo del promedio se realiza como un promedio móvil acumulativo .

El período seleccionado (${\displaystyle k}$) depende del tipo de movimiento de interés, como a corto, mediano o largo plazo.

Si los datos utilizados no están centrados en la media, una media móvil simple se retrasa con respecto al dato más reciente en la mitad del ancho de la muestra. Una SMA también puede verse desproporcionadamente influenciada por la pérdida de datos antiguos o la incorporación de datos nuevos. Una característica de la SMA es que, si los datos presentan una fluctuación periódica, la aplicación de una SMA de ese período eliminará dicha variación (la media siempre contiene un ciclo completo). Sin embargo, rara vez se encuentra un ciclo perfectamente regular. ^{[ 3 ]}

Para diversas aplicaciones, resulta ventajoso evitar el desplazamiento producido al utilizar únicamente datos "pasados". Por lo tanto, se puede calcular una media móvil central , utilizando datos igualmente espaciados a ambos lados del punto de la serie donde se calcula la media. ^{[ 4 ]} Esto requiere utilizar un número impar de puntos en la ventana de muestreo.

Una desventaja importante del SMA es que deja pasar una cantidad significativa de señal con una longitud menor que la de la ventana. Esto puede generar artefactos inesperados, como picos en el resultado suavizado que aparecen donde había valles en los datos. Además, el resultado es menos suave de lo esperado, ya que algunas de las frecuencias más altas no se eliminan correctamente.

Su respuesta en frecuencia es un tipo de filtro de paso bajo llamado sinc en frecuencia .

La media móvil continua de una función integrable${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$se define mediante integración como:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}M_{f,\varepsilon }:\mathbb {R} &\rightarrow \mathbb {R} \\x&\mapsto \displaystyle {\frac {1}{2\,\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt\end{array}}}$

donde el${\displaystyle \varepsilon }$ambiente${\displaystyle [x-\varepsilon,x+\varepsilon]}$alrededor${\displaystyle x}$define la intensidad del suavizado de la gráfica de la función integrable. Un valor mayor${\displaystyle \varepsilon >0}$Suaviza la gráfica de origen de la función (azul).${\displaystyle f}$más. Las animaciones a continuación muestran el promedio móvil como una animación en función de diferentes valores para  ${\displaystyle \varepsilon >0}$. La fracción${\displaystyle {\frac {1}{2\,\varepsilon }}}$se utiliza porque${\displaystyle 2\,\varepsilon }$es el ancho del intervalo para la integral. Naturalmente,${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}M_{f,\ \varepsilon }=f}$por el teorema fundamental del cálculo y la regla de L'Hôpital .

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  Media móvil continua de seno y polinomio: visualización del suavizado con un pequeño intervalo para la integración.
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  Media móvil continua de seno y polinomio: visualización del suavizado con un intervalo mayor para la integración.
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  Animación que muestra el impacto del ancho del intervalo y el suavizado mediante media móvil.

En un promedio acumulativo ( CA ), los datos llegan en un flujo de datos ordenado, y el usuario desea obtener el promedio de todos los datos hasta el dato actual. Por ejemplo, un inversor podría querer el precio promedio de todas las transacciones de acciones de una acción en particular hasta el momento actual. A medida que se produce cada nueva transacción, el precio promedio en el momento de la transacción se puede calcular para todas las transacciones hasta ese punto utilizando el promedio acumulativo, que generalmente es un promedio ponderado por igual de la secuencia de n valores.${\displaystyle x_{1}.\ldots ,x_{n}}$hasta el momento actual: $${\displaystyle {\textit {CA}}_{n}={{x_{1}+\cdots +x_{n}} \over n}\,.}$$

El método de fuerza bruta para calcular esto sería almacenar todos los datos y calcular la suma y dividirla por el número de puntos cada vez que llegara un nuevo dato. Sin embargo, es posible simplemente actualizar el promedio acumulado como un nuevo valor,${\displaystyle x_{n+1}}$se vuelve disponible, utilizando la fórmula $${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}={{x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}.}$$

Así, el promedio acumulado actual para un nuevo dato es igual al promedio acumulado anterior, multiplicado por n , más el último dato, todo dividido por el número de puntos recibidos hasta el momento, n + 1. Cuando llegan todos los datos ( n = N ), el promedio acumulado será igual al promedio final. También es posible almacenar un total acumulado de los datos, así como el número de puntos, y dividir el total por el número de puntos para obtener el promedio acumulado cada vez que llega un nuevo dato.

La derivación de la fórmula del promedio acumulativo es sencilla. Utilizando $${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$ y de manera similar para n + 1 , se observa que $${\displaystyle x_{n+1}=(x_{1}+\cdots +x_{n+1})-(x_{1}+\cdots +x_{n})}$$$${\displaystyle x_{n+1}=(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n+1}-n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$

Resolviendo esta ecuación para${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}}$resultados en $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {CA}}_{n+1}&={x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={x_{n+1}+(n+1-1)\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n}+x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={{\textit {CA}}_{n}}+{{x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}\end{aligned}}}$$

Un promedio ponderado es un promedio que tiene factores multiplicadores para dar diferentes ponderaciones a los datos en diferentes posiciones de la ventana de muestreo. Matemáticamente, el promedio móvil ponderado es la convolución de los datos con una función de ponderación fija. Una aplicación es la eliminación de la pixelación de una imagen gráfica digital. Esto también se conoce como suavizado de bordes (anti-aliasing).

En el ámbito financiero, y más específicamente en el análisis de datos financieros, una media móvil ponderada (WMA) tiene el significado específico de ponderaciones que disminuyen en progresión aritmética. ^{[ 5 ]} En una WMA de n días, el último día tiene una ponderación n , el segundo más reciente.${\displaystyle n-1}$, etc., hasta llegar a uno.

$${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{((M-n)+2)}+p_{((M-n)+1)} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}}$$

El denominador es un número triangular igual a${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}.}$En el caso más general, el denominador siempre será la suma de los pesos individuales.

Al calcular el WMA a través de valores sucesivos, la diferencia entre los numeradores de${\displaystyle {\text{WMA}}_{M+1}}$y${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}}$es${\displaystyle np_{M+1}-p_{M}-\dots -p_{M-n+1}}$. Si denotamos la suma${\displaystyle p_{M}+\dots +p_{M-n+1}}$por${\displaystyle {\text{Total}}_{M}}$, entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total}}_{M+1}&={\text{Total}}_{M}+p_{M+1}-p_{M-n+1}\\[3pt]{\text{Numerator}}_{M+1}&={\text{Numerator}}_{M}+np_{M+1}-{\text{Total}}_{M}\\[3pt]{\text{WMA}}_{M+1}&={{\text{Numerator}}_{M+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}\end{aligned}}}$$

El gráfico de la derecha muestra cómo disminuyen los pesos, desde el peso máximo correspondiente a los datos más recientes hasta cero. Se puede comparar con los pesos de la media móvil exponencial que se muestra a continuación.

Una media móvil exponencial (EMA) , también conocida como media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) , ^{[ 6 ]} es un filtro de respuesta de impulso infinito de primer orden que aplica factores de ponderación que disminuyen exponencialmente . La ponderación para cada dato anterior disminuye exponencialmente, sin llegar nunca a cero. Esta formulación se basa en Hunter (1986). ^{[ 7 ]}

También existe una implementación multivariada de EWMA, conocida como MEWMA. ^{[ 8 ]}

En ocasiones se utilizan otros sistemas de ponderación; por ejemplo, en la negociación de acciones, una ponderación por volumen asigna un peso a cada período de tiempo en proporción a su volumen de negociación.

Otro método de ponderación, utilizado por los actuarios, es la media móvil de 15 puntos de Spencer ^{[ 9 ]} (una media móvil central). Sus coeficientes de ponderación simétricos son [−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3], que se factoriza como [ 1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1, 1]×[−3, 3, 4, 3, −3] / 320 y deja sin cambios las muestras de cualquier polinomio cuadrático o cúbico. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Fuera del ámbito financiero, las medias móviles ponderadas tienen diversas formas y aplicaciones. Cada función de ponderación o "núcleo" posee características propias. En ingeniería y ciencia, la respuesta en frecuencia y fase del filtro suele ser fundamental para comprender las distorsiones, tanto deseadas como no deseadas, que un filtro específico aplicará a los datos.

La media no solo "suaviza" los datos, sino que también funciona como un filtro de paso bajo. Para elegir el filtro adecuado, es fundamental comprender sus efectos.

Desde un punto de vista estadístico, la media móvil, cuando se utiliza para estimar la tendencia subyacente en una serie temporal, es susceptible a eventos poco frecuentes como perturbaciones repentinas u otras anomalías. Una estimación más robusta de la tendencia es la mediana móvil simple sobre n puntos temporales: $${\displaystyle {\widetilde {p}}_{\text{SM}}={\text{Median}}(p_{M},p_{M-1},\ldots ,p_{M-n+1})}$$ donde la mediana se encuentra, por ejemplo, ordenando los valores dentro de los paréntesis y encontrando el valor central. Para valores mayores de n , la mediana se puede calcular de manera eficiente actualizando una lista de saltos indexable . ^{[ 12 ]}

Estadísticamente, la media móvil es óptima para recuperar la tendencia subyacente de la serie temporal cuando las fluctuaciones alrededor de la tendencia se distribuyen normalmente . Sin embargo, la distribución normal no otorga alta probabilidad a desviaciones muy grandes de la tendencia, lo que explica por qué tales desviaciones tendrán un efecto desproporcionadamente grande en la estimación de la tendencia. Se puede demostrar que si en cambio se supone que las fluctuaciones se distribuyen según Laplace , entonces la mediana móvil es estadísticamente óptima. ^{[ 13 ]} Para una varianza dada, la distribución de Laplace otorga mayor probabilidad a eventos raros que la distribución normal, lo que explica por qué la mediana móvil tolera mejor las perturbaciones que la media móvil.

Cuando la mediana móvil simple anterior es central, el suavizado es idéntico al filtro de mediana , que tiene aplicaciones, por ejemplo, en el procesamiento de señales de imagen. La mediana móvil es una alternativa más robusta a la media móvil a la hora de estimar la tendencia subyacente en una serie temporal. Si bien la media móvil es óptima para recuperar la tendencia si las fluctuaciones a su alrededor siguen una distribución normal, es susceptible al impacto de eventos raros como choques rápidos o anomalías. En cambio, la mediana móvil, que se obtiene ordenando los valores dentro de la ventana temporal y encontrando el valor central, es más resistente al impacto de dichos eventos raros. Esto se debe a que, para una varianza dada, la distribución de Laplace, que asume la mediana móvil, otorga mayor probabilidad a los eventos raros que la distribución normal que asume la media móvil. Como resultado, la mediana móvil proporciona una estimación más fiable y estable de la tendencia subyacente, incluso cuando la serie temporal se ve afectada por grandes desviaciones de la tendencia. Además, el suavizado de la mediana móvil es idéntico al filtro de mediana, que tiene diversas aplicaciones en el procesamiento de señales de imagen.

En un modelo de regresión de media móvil , se supone que una variable de interés es una media móvil ponderada de términos de error independientes no observados; las ponderaciones en la media móvil son parámetros que deben estimarse.

Estos dos conceptos suelen confundirse debido a su nombre, pero si bien comparten muchas similitudes, representan métodos distintos y se utilizan en contextos muy diferentes.

• Suavizado exponencial
• Regresión local (LOESS y LOWESS)
• Suavizado del núcleo
• Indicador de convergencia/divergencia de media móvil
• Martingala (teoría de la probabilidad)
• Cruce de medias móviles
• mínimos cuadrados móviles
• Media móvil ascendente
• Hash rodante
• total acumulado
• Filtro Savitzky-Golay
• Función de ventana
• media móvil exponencial de retardo cero