constante de tiempo

En física e ingeniería , la constante de tiempo , generalmente denotada por la letra griega $τ$ (tau), es el parámetro que caracteriza la respuesta a una entrada escalón de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de primer orden . ^{[ 1 ]}^{[ nota 1 ]} La constante de tiempo es la unidad característica principal de un sistema LTI de primer orden. Indica la velocidad de respuesta. Por ejemplo, en un circuito RC simple accionado por un cambio escalón en el voltaje, la constante de tiempo $τ$ = RC determina la rapidez con la que el voltaje del condensador se carga hacia su nuevo valor de estado estacionario.

En el dominio del tiempo , la opción habitual para explorar la respuesta temporal es mediante la respuesta al escalón de entrada o la respuesta impulsional a una función delta de Dirac . ^{[ 2 ]} En el dominio de la frecuencia (por ejemplo, observando la transformada de Fourier de la respuesta al escalón o utilizando una entrada que es una función sinusoidal simple del tiempo), la constante de tiempo también determina el ancho de banda de un sistema invariante en el tiempo de primer orden, es decir, la frecuencia a la que la potencia de la señal de salida cae a la mitad del valor que tiene a bajas frecuencias. Las constantes de tiempo de este tipo aparecen en muchas áreas de la física y la ingeniería, incluidos los circuitos eléctricos, los sistemas térmicos, las membranas excitables en biofísica , la desintegración radiactiva y la respuesta de los sensores meteorológicos.

La constante de tiempo también se utiliza para caracterizar la respuesta en frecuencia de diversos sistemas de procesamiento de señales —cintas magnéticas , transmisores y receptores de radio , equipos de grabación y reproducción, y filtros digitales— que pueden modelarse o aproximarse mediante sistemas LTI de primer orden. Otros ejemplos incluyen la constante de tiempo empleada en sistemas de control para controladores de acción integral y derivativa, que suelen ser neumáticos en lugar de eléctricos.

Las constantes de tiempo son una característica del análisis de sistemas concentrados (método de análisis de capacidad concentrada) para sistemas térmicos, utilizado cuando los objetos se enfrían o calientan uniformemente bajo la influencia del enfriamiento o calentamiento convectivo. ^{[ 3 ]}

Físicamente, la constante de tiempo representa el tiempo transcurrido para que la respuesta del sistema decaiga a cero si el sistema hubiera continuado decayendo a la tasa inicial, debido al cambio progresivo en la tasa de decaimiento la respuesta habrá disminuido en valor a $1 / e \approx 36,8%$ en este tiempo (por ejemplo, a partir de una disminución escalonada). En un sistema creciente, la constante de tiempo es el tiempo que tarda la respuesta escalonada del sistema en alcanzar $1 - 1 / e \approx 63,2%$ de su valor final (asintótico) (por ejemplo, a partir de un aumento escalonado). En el decaimiento radiactivo, la constante de tiempo está relacionada con la constante de decaimiento ( λ ), y representa tanto la vida media de un sistema en decaimiento (como un átomo) antes de decaer, como el tiempo que tarda en decaer todos los átomos excepto el 36,8%. Por esta razón, la constante de tiempo es mayor que la vida media , que es el tiempo que tarda solo el 50% de los átomos en decaer.

En términos prácticos, la constante de tiempo es la escala temporal característica durante la cual un sistema de primer orden responde a un cambio repentino en su entrada. Para una respuesta creciente de primer orden, una constante de tiempo es el tiempo que tarda la salida en alcanzar aproximadamente el 63 % (~63,2 %) de su valor final, y para una respuesta decreciente es el tiempo que tarda en descender hasta aproximadamente el 37 % (~36,8 %) de su valor inicial.

Ecuación diferencial

Los sistemas LTI de primer orden se caracterizan por la ecuación diferencial $\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)$ donde $τ$ representa la constante de decaimiento exponencial y $V$ es una función del tiempo $t.$ $V=V(t).$ El lado derecho es la función de forzamiento $f (t)$ que describe una función de control externa del tiempo, la cual puede considerarse como la entrada del sistema , a la cual $V (t)$ es la respuesta o salida del sistema. Ejemplos clásicos de $f (t)$ son:

La función escalón de Heaviside , a menudo denotada por $u (t)$ : $u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}$ la función impulso , a menudo denotada por $δ (t)$ , y también la función de entrada sinusoidal: $f(t)=A\sin(2\pi ft)$ o $f(t)=Ae^{j\omega t},$ donde $A$ es la amplitud de la función de forzamiento, $f$ es la frecuencia en Hertz y $ω = 2 π f$ es la frecuencia en radianes por segundo. Para un sistema de primer orden, esta ecuación diferencial corresponde a un único polo real en -1/τ; por lo tanto, valores menores de τ describen sistemas que responden más rápidamente a los cambios en sus entradas.

Ejemplo de decaimiento exponencial

Un ejemplo de solución a la ecuación diferencial con valor inicial $V 0$ y sin función forzante es: $V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ dónde $V_{0}=V(t=0)$ es el valor inicial de $V.$ Por lo tanto, la respuesta es una disminución exponencial con una constante de tiempo $τ$ . La constante de tiempo establece la escala de tiempo característica de esta disminución: después de una constante de tiempo, la respuesta ha disminuido a aproximadamente el 37% de su valor inicial, y después de varias constantes de tiempo, es prácticamente cercana a cero.

Ejemplos de valores de decaimiento a lo largo del tiempo

Dejar $t=0$ ; entonces $V=V_{0}e^{0}$ , y entonces $V=V_{0}$
Dejar $t=\tau$ ; entonces $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$ . En otras palabras, después de un período de una constante de tiempo, la función alcanza $e -1$ = aproximadamente el 37% de su valor inicial, lo que significa que se ha producido alrededor del 63% de la disminución total.
Dejar $t=5\tau$ ; entonces $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$ , que es menos del 1% de su valor original. En muchas aplicaciones, este umbral del 1% se interpreta como que, después de aproximadamente cinco constantes de tiempo, la respuesta exponencial ha alcanzado efectivamente su valor final.
Dejar ${\textstyle t\to \infty }$ ; entonces ${\textstyle \lim _{t\to \infty }[V_{0}e^{-t/\tau }]=0}$ Por lo tanto, si bien la función decae asintóticamente a 0, se necesitaría una cantidad infinita de tiempo para alcanzar realmente el valor 0.

Relación entre la constante de tiempo y el ancho de banda

Supongamos que la función de forzamiento se elige como sinusoidal, de modo que: $\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.$

(La respuesta a una entrada de onda coseno o sinusoidal real se puede obtener tomando la parte real o imaginaria del resultado final en virtud de la fórmula de Euler ). La solución general a esta ecuación para tiempos $t \geq 0 s$ , suponiendo $V (t = 0) = V 0$ es: ${\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\[1ex]&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {\frac {1}{\tau }}{j\omega +{\frac {1}{\tau }}}}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}$

Para tiempos prolongados, las exponenciales decrecientes se vuelven insignificantes y la solución de estado estacionario o solución a largo plazo es: $V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.$

La magnitud de esta respuesta es: $|V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.$ Por convención, el ancho de banda de este sistema es la frecuencia donde $| V \infty | 2$ cae a la mitad de su valor, o donde $ωτ = 1$ . Esta es la convención habitual de ancho de banda , definida como el rango de frecuencia donde la potencia cae en menos de la mitad (como máximo − 3 dB). Usando la frecuencia en hercios, en lugar de radianes/s ( $ω = 2 πf$ ): $f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.$

La notación $f 3dB$ proviene de la expresión de potencia en decibelios y de la observación de que la mitad de la potencia corresponde a una caída en el valor de $| V \infty |$ por un factor de 1/√2 o por 3 decibelios.

Por lo tanto, la constante de tiempo determina el ancho de banda de este sistema: una constante de tiempo menor corresponde a un ancho de banda de -3 dB mayor (lo que permite que el sistema siga variaciones más rápidas en la entrada), mientras que una constante de tiempo mayor corresponde a un ancho de banda menor y una respuesta más lenta.

Respuesta escalón con condiciones iniciales arbitrarias

{\displaystyle \tau } — Respuesta escalón del sistema para dos valores iniciales diferentes V₀ , uno por encima del valor final y otro en cero. La respuesta a largo plazo es una constante, *V∞ . El eje temporal* _se_expresa en unidades de la constante de tiempo. $\tau$ .

Supongamos que la función de forzamiento se elige como una entrada escalón, de modo que: ${\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),$ donde $u (t)$ es la función escalón unitario . La solución general de esta ecuación para tiempos $t \geq 0 s$ , suponiendo que $V (t = 0) = V₀,$ es: $V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).$

(Cabe observar que esta respuesta es el límite $ω \to 0$ de la respuesta anterior a una entrada sinusoidal).

La solución a largo plazo es independiente del tiempo e independiente de las condiciones iniciales: $V_{\infty }=A\tau .$

La constante de tiempo permanece invariable para el mismo sistema, independientemente de las condiciones iniciales. En otras palabras, un sistema se aproxima a su estado final estable a una velocidad constante, sin importar cuán cerca esté de ese valor en cualquier punto de partida.

Por ejemplo, consideremos un motor eléctrico cuyo arranque se modela adecuadamente mediante un sistema LTI de primer orden. Supongamos que, al arrancar desde el reposo, el motor tarda 1/8 de segundo en alcanzar el 63% de su velocidad nominal de 100 RPM, es decir, 63 RPM , lo que supone un déficit de 37 RPM. Tras el siguiente 1/8 de segundo , el motor habrá aumentado su velocidad en 23 RPM adicionales, lo que equivale al 63% de esa diferencia de 37 RPM. Esto lo sitúa en 86 RPM , todavía 14 RPM por debajo de la velocidad nominal. Tras un tercer 1/8 de segundo, el motor habrá aumentado su velocidad en 9 RPM adicionales (el 63% de esa diferencia de 14 RPM), alcanzando las 95 RPM.

De hecho, dada cualquier velocidad inicial s ≤ 100 RPM, 1/8 de segundo después este motor en particular habrá ganado 0,63 × (100 − s ) RPM adicionales.

Ejemplos

Constantes de tiempo en circuitos eléctricos

En un circuito RL compuesto por una sola resistencia y un inductor , la constante de tiempo $\tau$ (en segundos ) es $\tau ={\frac {L}{R}}$ donde R es la resistencia (en ohmios ) y L es la inductancia (en henrios ).

De manera similar, en un circuito RC compuesto por una sola resistencia y un condensador, la constante de tiempo $\tau$ (en segundos) es: $\tau =RC$ donde R es la resistencia (en ohmios ) y C es la capacitancia (en faradios ).

Los circuitos eléctricos suelen ser más complejos que estos ejemplos y pueden presentar múltiples constantes de tiempo (véanse los ejemplos de respuesta escalón y división de polos ). En presencia de retroalimentación , un sistema puede presentar oscilaciones inestables y crecientes. Además, los circuitos eléctricos físicos rara vez son sistemas verdaderamente lineales, salvo en el caso de excitaciones de muy baja amplitud; sin embargo, la aproximación de linealidad es ampliamente utilizada.

En los circuitos electrónicos digitales se suele utilizar otra medida, el FO4 (fanout de 4). Este se puede convertir a unidades de constante de tiempo mediante la ecuación $5\tau ={\text{FO4}}$ . ^{[ 4 ]}

Por ejemplo, si R = 100 kΩ y C = 10 µF, la constante de tiempo es τ = RC = 1 s, por lo que el voltaje del condensador alcanza aproximadamente el 63 % de su valor final después de 1 segundo tras un cambio escalonado en el voltaje aplicado.

constante de tiempo térmica

Las constantes de tiempo son una característica del análisis de sistemas concentrados (método de análisis de capacidad concentrada) para sistemas térmicos, utilizado cuando los objetos se enfrían o calientan uniformemente bajo la influencia del enfriamiento o calentamiento convectivo . En este caso, la transferencia de calor del cuerpo al ambiente en un momento dado es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente: ^{[ 5 ]} $F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),$ donde h es el coeficiente de transferencia de calor , y A _s es el área de la superficie, T es la función de temperatura, es decir, T ( t ) es la temperatura del cuerpo en el tiempo t , y T _a es la temperatura ambiente constante. El signo positivo indica la convención de que F es positivo cuando el calor sale del cuerpo porque su temperatura es mayor que la temperatura ambiente ( F es un flujo hacia afuera). A medida que se pierde calor al ambiente, esta transferencia de calor conduce a una caída en la temperatura del cuerpo dada por: ^{[ 5 ]} $\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,$ donde ρ = densidad, c _p = calor específico y V es el volumen del cuerpo. El signo negativo indica que la temperatura baja cuando la transferencia de calor se produce hacia afuera del cuerpo (es decir, cuando F > 0). Igualando estas dos expresiones para la transferencia de calor, $\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).$

Evidentemente, se trata de un sistema LTI de primer orden que puede expresarse de la siguiente forma: ${\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},$ con $\tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.$

En otras palabras, las masas más grandes ρV con capacidades caloríficas más altas c _p conducen a cambios de temperatura más lentos (constante de tiempo τ más larga ), mientras que las áreas superficiales más grandes A _s con una transferencia de calor más alta h conducen a un cambio de temperatura más rápido (constante de tiempo τ más corta ).

Este modelo de parámetros concentrados suele ser válido cuando los gradientes de temperatura internos son pequeños, por ejemplo, cuando el número de Biot es inferior a aproximadamente 0,1.

La comparación con la ecuación diferencial introductoria sugiere la posible generalización a temperaturas ambiente variables en el tiempo T _a . Sin embargo, manteniendo el ejemplo simple de temperatura ambiente constante, al sustituir la variable Δ T ≡ ( T − T _a ), se obtiene: ${\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.$

Se dice que los sistemas cuyo enfriamiento satisface la ecuación exponencial anterior satisfacen la ley de enfriamiento de Newton . La solución a esta ecuación sugiere que, en tales sistemas, la diferencia entre la temperatura del sistema y su entorno ΔT en función del tiempo t viene dada por: $\Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },$ donde ΔT₀ es la diferencia de temperatura inicial, en el instante t = 0. En otras palabras, el cuerpo adquiere la misma temperatura que el ambiente a un ritmo exponencialmente lento determinado por la constante de tiempo _.

Constantes de tiempo en biofísica

En una célula excitable como un músculo o una neurona , la constante de tiempo de la membrana es la constante de tiempo que caracteriza la rapidez con la que cambia el potencial de membrana , y es $\tau =r_{m}c_{m}$ donde r _m es la resistencia a través de la membrana y c _m es la capacitancia de la membrana.

La resistencia a través de la membrana es función del número de canales iónicos abiertos y la capacitancia es función de las propiedades de la bicapa lipídica .

La constante de tiempo se utiliza para describir el aumento y la disminución del voltaje de membrana, donde el aumento se describe mediante $V(t)=V_{\max }\left(1-e^{-t/\tau }\right)$ y la caída es descrita por $V(t)=V_{\max }e^{-t/\tau }$ donde el voltaje se expresa en milivoltios, el tiempo en segundos y $\tau$ es en segundos.

V _max se define como el cambio máximo de voltaje desde el potencial de reposo , donde $V_{\max }=r_{m}I$ donde r _m es la resistencia a través de la membrana e I es la corriente de la membrana.

Configuración para t = $\tau$ para el aumento establece V ( t ) igual a 0,63 Vmax . Esto significa que la constante de tiempo es el tiempo transcurrido después de que se haya alcanzado _{el 63% de}Vmax _.

Configuración para t = $\tau$ para la caída establece V ( t ) igual a 0,37 V _max , lo que significa que la constante de tiempo es el tiempo transcurrido después de que haya caído al 37% de V _max .

Cuanto mayor sea la constante de tiempo, más lento será el aumento o la disminución del potencial de una neurona. Una constante de tiempo larga puede dar lugar a la sumación temporal , en la que las entradas sinápticas repetidas se suman algebraicamente a lo largo del tiempo. En cambio, una constante de tiempo corta favorece la detección de coincidencias mediante la sumación espacial , ya que las entradas deben llegar dentro de una ventana de tiempo estrecha para tener un fuerte efecto combinado.

Decaimiento exponencial

En la desintegración exponencial , como la de un isótopo radiactivo , la constante de tiempo puede interpretarse como la vida media . La vida media T _HL o T _1/2 está relacionada con la constante de desintegración exponencial. $\tau$ por $T_{1/2}=T_{\text{HL}}=\tau \ln 2.$ El recíproco de la constante de tiempo se llama constante de decaimiento y se denota $\lambda =1/\tau$ .

sensores meteorológicos

En el caso de un sensor meteorológico, la constante de tiempo es el tiempo que tarda el valor medido en alcanzar aproximadamente el 63% del cambio total tras un cambio brusco en las condiciones ambientales reales.

Esto se aplica con mayor frecuencia a las mediciones de temperatura, punto de rocío, humedad y presión atmosférica. Las radiosondas se ven especialmente afectadas debido a su rápido aumento de altitud. Una constante de tiempo mayor tiende a suavizar las fluctuaciones rápidas y puede subestimar los extremos de corta duración, mientras que una constante de tiempo menor permite que el instrumento siga los cambios rápidos con mayor precisión.

Véase también

Notas

↑ Concretamente, un sistema LTI de primer orden es un sistema que puede modelarse mediante una única ecuación diferencial de primer orden en el tiempo. Algunos ejemplos son los circuitos eléctricos RC y RL de una sola etapa más sencillos.

Referencias

↑ Béla G. Lipták (2003). Manual del ingeniero de instrumentación: Control y optimización de procesos (4.ª ed.). CRC Press. pág. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.
↑ Bong Wie (1998). Dinámica y control de vehículos espaciales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. pág . 100. ISBN 978-1-56347-261-9.
↑ GR North (1988). «Lecciones de los modelos de balance energético» . En Michael E. Schlesinger (ed.). Modelado y simulación basados en la física del clima y el cambio climático (ed. del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre Modelado Basado en la Física ). Springer. pág. 627. ISBN 978-90-277-2789-3.
↑ Harris, D.; Sutherland, I. (2003). "Esfuerzo lógico de sumadores con propagación de acarreo". Trigésimo séptima Conferencia de Asilomar sobre Señales, Sistemas y Computadoras, 2003. págs. 873–878 . doi : 10.1109/ACSSC.2003.1292037 . ISBN 0-7803-8104-1. S2CID 7880203 .
^ Roland Wynne Lewis; Perumal Nithiarasu; KN Seetharamu (2004). Fundamentos del método de los elementos finitos para el flujo de calor y fluidos . Wiley. pag. 151.ISBN 978-0-470-84789-3.

Enlaces externos

Conversión de la constante de tiempo τ a la frecuencia de corte fc y viceversa.
Todo sobre circuitos: cálculos de voltaje y corriente.
Constante de tiempo térmica y energética de los edificios

[2] Concretamente, un sistema LTI de primer orden es un sistema que puede modelarse mediante una única ecuación diferencial de primer orden en el tiempo. Algunos ejemplos son los circuitos eléctricos RC y RL de una sola etapa más sencillos.

[Lipták-1] Béla G. Lipták (2003). Manual del ingeniero de instrumentación: Control y optimización de procesos (4.ª ed.). CRC Press. pág. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.

[Wie-3] Bong Wie (1998). Dinámica y control de vehículos espaciales . Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. pág . 100. ISBN 978-1-56347-261-9.

[NATO-4] GR North (1988). «Lecciones de los modelos de balance energético» . En Michael E. Schlesinger (ed.). Modelado y simulación basados en la física del clima y el cambio climático (ed. del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre Modelado Basado en la Física ). Springer. pág. 627. ISBN 978-90-277-2789-3.

[5] Harris, D.; Sutherland, I. (2003). "Esfuerzo lógico de sumadores con propagación de acarreo". Trigésimo séptima Conferencia de Asilomar sobre Señales, Sistemas y Computadoras, 2003. págs. 873–878 . doi : 10.1109/ACSSC.2003.1292037 . ISBN 0-7803-8104-1. S2CID 7880203 .

[Lewis-6] Roland Wynne Lewis; Perumal Nithiarasu; KN Seetharamu (2004). Fundamentos del método de los elementos finitos para el flujo de calor y fluidos . Wiley. pag. 151.ISBN 978-0-470-84789-3.

[ 1 ]

[ nota 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]