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Articulo de referencia

Tabla de multiplicación

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Tabla de multiplicar del 1 al 10 dibujada a escala, con la mitad superior derecha etiquetada con las factorizaciones primas.

En matemáticas , una tabla de multiplicar (a veces, de forma menos formal, una tabla de multiplicar ) es una tabla matemática que se utiliza para definir una operación de multiplicación en un sistema algebraico.

La tabla de multiplicar decimal se ha enseñado tradicionalmente como una parte esencial de la aritmética elemental en todo el mundo, ya que sienta las bases para las operaciones aritméticas con números de base diez. Muchos educadores creen que es necesario memorizar la tabla hasta 9 × 9. [ 1 ]

Historia

Época premoderna

Las tablillas de bambú de Tsinghua , tabla de multiplicar decimal de la época de los Reinos Combatientes  chinos del año 305 a. C.

Las tablas de multiplicar más antiguas que se conocen fueron utilizadas por los babilonios hace unos 4000 años. [ 2 ] Sin embargo, utilizaban una base de 60. [ 2 ] Las tablas más antiguas que se conocen que utilizan una base de 10 son la tabla de multiplicar decimal china en tiras de bambú que data de alrededor del 305  a. C., durante el período de los Reinos Combatientes de China . [ 2 ]

"Tabla de Pitágoras" en los huesos de Napier [ 3 ]

La tabla de multiplicar se atribuye a veces al antiguo matemático griego Pitágoras (570-495  a. C.). También se la conoce como la Tabla de Pitágoras en muchos idiomas (por ejemplo, francés, italiano y ruso), y a veces en inglés. [ 4 ] El matemático grecorromano Nicolás (60-120  d. C.), seguidor del neopitagorismo , incluyó una tabla de multiplicar en su Introducción a la aritmética , mientras que la tabla de multiplicar griega más antigua que se conserva está en una tablilla de cera que data del siglo I d. C. y que actualmente se encuentra en el Museo Británico . [ 5 ]

En el año 493  d. C., Victorio de Aquitania escribió una tabla de multiplicar de 98 columnas que daba (en números romanos ) el producto de cada número desde 2 hasta 50 veces y las filas eran "una lista de números que comenzaba con mil, descendiendo por centenas hasta cien, luego descendiendo por decenas hasta diez, luego por unidades hasta uno, y luego las fracciones hasta 1/144". [ 6 ]

Tiempos modernos

En su libro de 1820, La filosofía de la aritmética , [ 7 ] el matemático John Leslie publicó una tabla de "cuartos de cuadrado" que podía usarse, con algunos pasos adicionales, para la multiplicación hasta 1000 × 1000. Leslie también recomendó que los alumnos jóvenes memorizaran la tabla de multiplicar hasta 50 × 50.

En 1897, August Leopold Crelle publicó Tablas de cálculo que dan los productos de cada par de números desde uno hasta mil [ 8 ] que es una tabla de multiplicación simple para productos hasta 1000 × 10000.

Las tablas que muestran todos los productos de números del 1 al 10 o del 1 al 12 son las que se encuentran con mayor frecuencia en las escuelas primarias. La siguiente tabla muestra productos hasta 12 × 12:

Los algoritmos comunes de multiplicación de dígitos múltiples que se enseñan en la escuela dividen ese problema en una secuencia de problemas de multiplicación de un dígito y suma de dígitos múltiples. La multiplicación de un dígito se puede resumir en una tabla de 100 entradas de todos los productos de dígitos del 0 al 9. Como 0 × a = 0 para cualquier número a , las filas y columnas para la multiplicación por 0 generalmente se omiten. La multiplicación de enteros es conmutativa , a × b = b × a . Por lo tanto, la tabla es simétrica con respecto a su diagonal principal y se puede reducir a 45 entradas mostrando solo las entradas a × b donde a ≥ b , como se muestra a continuación. La tabla podría reducirse aún más (a 36 entradas) omitiendo las filas y columnas para la multiplicación por 1, la identidad multiplicativa , que satisface a × 1 = a .

El aprendizaje tradicional de la multiplicación mediante la memorización se basaba en la memorización de columnas en la tabla, dispuestas de la siguiente manera.

Esta forma de escribir la tabla de multiplicar en columnas con operaciones numéricas completas todavía se utiliza en algunos países, como Colombia y Bosnia y Herzegovina, en lugar de las cuadrículas modernas mencionadas anteriormente.

Patrones en las tablas

Existe un patrón en la tabla de multiplicar que puede ayudar a memorizarla más fácilmente. Utiliza las siguientes figuras:

Ciclos del dígito de las unidades de múltiplos de enteros que terminan en 1, 3, 7 y 9 (fila superior), y 2, 4, 6 y 8 (fila inferior) en un teclado telefónico.

La figura 1 se utiliza para los múltiplos de 1, 3, 7 y 9. La figura 2 se utiliza para los múltiplos de 2, 4, 6 y 8. Estos patrones se pueden utilizar para memorizar los múltiplos de cualquier número del 0 al 10, excepto el 5. Como se empieza por el número que se está multiplicando, al multiplicar por 0, se permanece en 0 (el 0 es externo, por lo que las flechas no tienen efecto sobre él; de lo contrario, el 0 se usaría como enlace para crear un ciclo perpetuo). El patrón también funciona con los múltiplos de 10, empezando por 1 y simplemente sumando 0, lo que da como resultado 10, y luego aplicando cada número del patrón a la unidad de "decenas" como se haría normalmente con la unidad de "unidades".

Por ejemplo, para recordar todos los múltiplos de 7:

  1. Mira el número 7 en la primera imagen y sigue la flecha.
  2. El siguiente número en la dirección de la flecha es 4. Entonces piensa en el siguiente número después del 7 que termina en 4, que es 14.
  3. El siguiente número en la dirección de la flecha es 1. Así que piensa en el siguiente número después del 14 que termina en 1, que es el 21.
  4. Después de llegar a la parte superior de esta columna, comienza por la parte inferior de la siguiente y avanza en la misma dirección. El número es 8. Entonces, piensa en el siguiente número después del 21 que termina en 8, que es el 28.
  5. Proceda de la misma manera hasta el último número, el 3, que corresponde al 63.
  6. A continuación, utilice el 0 de la parte inferior. Corresponde a 70.
  7. Luego, comienza de nuevo con el 7. Esta vez corresponderá a 77.
  8. Continúa así.

En álgebra abstracta

Las tablas también pueden definir operaciones binarias sobre grupos , cuerpos , anillos y otros sistemas algebraicos . En tales contextos, se las denomina tablas de Cayley .

Para cada número natural n , la suma y la multiplicación en Z n , el anillo de enteros módulo n , se describen mediante una tabla de n × n . Por ejemplo, las tablas para Z 5 son:

Para otros ejemplos, consulte el grupo .

Números hipercomplejos

Analógica visual que muestra los ciclos de multiplicación de i (rojo), j (verde) y k (azul).

Las tablas de multiplicación de números hipercomplejos muestran los resultados no conmutativos de la multiplicación de dos unidades imaginarias hipercomplejas. El ejemplo más sencillo es el de la tabla de multiplicación de cuaterniones :

Tablas de multiplicar chinas y japonesas

La tabla de multiplicar china consta de ochenta y un términos. Históricamente se la conocía como la tabla del nueve-nueve , porque en la antigüedad comenzaba con 9 × 9: nueve nueves dan como resultado ochenta y uno, ocho nueves dan como resultado setenta y dos, etc. Era conocida en China ya en el período de Primavera y Otoño , y sobrevivió a la era del ábaco; los alumnos de primaria aún deben memorizarla. Una versión más corta de la tabla consta de solo cuarenta y cinco frases:

Los mokkan descubiertos en el Palacio Heijō sugieren que la tabla de multiplicar pudo haber sido introducida en Japón a través de tratados matemáticos chinos como el Sunzi Suanjing , porque su expresión de la tabla de multiplicar comparte el carácter如in para productos menores de diez. [ 9 ] El chino y el japonés comparten un sistema similar de ochenta y una oraciones cortas y fáciles de recordar que se enseñan a los estudiantes para ayudarlos a aprender la tabla de multiplicar hasta 9 × 9. En el uso actual, las oraciones que expresan productos menores de diez incluyen una partícula adicional en ambos idiomas. En el caso del chino moderno, esta es得( dé ); y en japonés, esta esが( ga ). Esto es útil para aquellos que practican el cálculo con un suanpan o un soroban , porque las oraciones les recuerdan que deben desplazarse una columna a la derecha cuando ingresan un producto que no comienza con una cifra de decenas . En particular, la tabla de multiplicar japonesa utiliza pronunciaciones no estándar para los números en algunos casos específicos (como el reemplazo de san roku por saburoku ; indicado en negrita a continuación).

Tablas de bambú para multiplicar decimales en el período de los Estados Combatientes

Un conjunto de 21 tablillas de bambú fechadas en el año 305  a. C., en el período de los Reinos Combatientes , perteneciente a la colección de tablillas de bambú de Tsinghua (清華簡), es el ejemplo más antiguo conocido en el mundo de una tabla de multiplicar decimal. [ 10 ]

Una representación moderna de la tabla de multiplicar decimal de los Estados Combatientes utilizada para calcular 12 × 34,5.

Reforma de las matemáticas basada en estándares en Estados Unidos

En 1989, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM) desarrolló nuevos estándares basados ​​en la creencia de que todos los estudiantes deben aprender habilidades de pensamiento de orden superior, recomendando una menor importancia a la enseñanza de métodos tradicionales basados ​​en la memorización mecánica, como las tablas de multiplicar. Textos ampliamente adoptados, como Investigations in Numbers, Data, and Space (conocido popularmente como TERC por su productor, Technical Education Research Centers), omitieron recursos como las tablas de multiplicar en sus primeras ediciones. El NCTM dejó claro en sus Puntos Focales de 2006 que los hechos matemáticos básicos deben aprenderse, aunque no existe consenso sobre si la memorización mecánica es el mejor método. En los últimos años, se han ideado varios métodos no tradicionales para ayudar a los niños a aprender las tablas de multiplicar, incluyendo aplicaciones tipo videojuego y libros que buscan enseñar las tablas de multiplicar a través de historias con personajes.

En 2024, la recomendación de aprender la tabla de multiplicar fue eliminada del Marco Curricular de Matemáticas de California. [ 11 ]

Véase también

  • Plaza védica
  • IBM 1620 , una de las primeras computadoras que utilizaba tablas almacenadas en la memoria para realizar sumas y multiplicaciones.

Referencias

  1. ↑ Trivett, John (1980), "La tabla de multiplicar: ¡para memorizar o dominar!", Para el aprendizaje de las matemáticas , 1 (1): 21– 25, JSTOR 40247697 .
  2. 1 2 3 Qiu, Jane (7 de enero de 2014). "Tabla de tiempos antigua oculta en tiras de bambú chinas" . Nature News . doi : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID 130132289 . 
  3. ^ Wikisource: Página: Volumen mensual de ciencia popular 26.djvu/467
  4. ↑ por ejemplo en Un tratado elemental de aritmética de John Farrar
  5. ↑David E. Smith (1958), History of Mathematics, Volume I: General Survey of the History of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications (a reprint of the 1951 publication), ISBN 0-486-20429-4, pp. 58, 129.
  6. ↑David W. Maher and John F. Makowski. "Literary evidence for Roman arithmetic with fractions". Classical Philology, 96/4 (October 2001), p. 383.
  7. ↑Leslie, John (1820). The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand. Edinburgh: Abernethy & Walker.
  8. ↑"Calculating tables giving the products of every two numbers from one to one thousand and their application to the multiplication and division of all numbers above one thousand". 1897.
  9. ↑"「九九」は中国伝来...平城宮跡から木簡出土". Yomiuri Shimbun. December 4, 2010. Archived from the original on December 7, 2010.
  10. ↑Nature article The 2,300-year-old matrix is the world's oldest decimal multiplication table
  11. ↑Sorensen, Sugi; Margulies, David; Malione, Michael. "California Removes Memorizing Times Tables". The Well News. Retrieved 2025-11-24.