Intervalo de tolerancia

Un intervalo de tolerancia ( IT ) es un intervalo estadístico dentro del cual, con cierto nivel de confianza , se encuentra una proporción específica de una muestra de una población . "Más específicamente, un intervalo de tolerancia de 100 × p % / 100 × (1 − α) proporciona límites dentro de los cuales se encuentra al menos una cierta proporción ( p ) de la población con un nivel de confianza dado (1 − α)". ^{[ 1 ]} "Un intervalo de tolerancia (IT) ( p , 1 − α) basado en una muestra se construye de manera que incluya al menos una proporción p de la población muestreada con confianza 1 − α; dicho IT se suele denominar IT de contenido p − (1 − α) de cobertura". ^{[ 2 ]} "Un límite de tolerancia superior (LT) (p, 1 − α) es simplemente un límite de confianza superior 1 − α para el percentil 100 p de la población". ^{[ 2 ]}

Suponga observaciones o variables aleatorias.${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$como realización de variables aleatorias independientes${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$que tienen una distribución común${\displaystyle F_{\theta }}$, con parámetro desconocido${\displaystyle \theta }$. Luego, un intervalo de tolerancia con puntos finales${\displaystyle (L(\mathbf {x} ),U(\mathbf {x} )]}$que tiene la propiedad definitoria: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \inf _{\theta }\{{\Pr }_{\theta }\left(F_{\theta }(U(\mathbf {X} ))-F_{\theta }(L(\mathbf {X} )\right)\geq p)\}=1-\alpha }$

dónde${\displaystyle \inf\{\}}$denota la función ínfimo .

Esto contrasta con un intervalo de predicción con puntos finales.${\displaystyle [l(\mathbf {x} ),u(\mathbf {x} )]}$que tiene la propiedad definitoria: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \inf _{\theta }\{{\Pr }_{\theta }(X_{0}\in [l(\mathbf {X} ),u(\mathbf {X} )])\}=1-\alpha }$.

Aquí,${\displaystyle X_{0}}$es una variable aleatoria de la misma distribución${\displaystyle F_{\theta }}$pero independiente del primero${\displaystyle n}$variables.

Aviso${\displaystyle X_{0}}$no está involucrado en la definición del intervalo de tolerancia, que se ocupa solo de la primera muestra, de tamaño n .

Los intervalos de tolerancia normales unilaterales tienen una solución exacta en términos de la media muestral y la varianza muestral basada en la distribución t no central . ^{[ 4 ]} Los intervalos de tolerancia normales bilaterales pueden estimarse utilizando la distribución chi-cuadrado . ^{[ 4 ]}

"En el caso de parámetros conocidos, un intervalo de tolerancia del 95 % y un intervalo de predicción del 95 % son iguales." ^{[ 5 ]} Si conociéramos los parámetros exactos de una población, podríamos calcular un rango dentro del cual se encuentra una cierta proporción de la población. Por ejemplo, si sabemos que una población tiene una distribución normal con media${\displaystyle \mu }$y desviación estándar${\displaystyle \sigma }$, entonces el intervalo${\displaystyle \mu \pm 1.96\sigma }$incluye al 95% de la población (1,96 es la puntuación z para una cobertura del 95% de una población con distribución normal).

Sin embargo, si solo tenemos una muestra de la población, solo conocemos la media muestral.${\displaystyle {\hat {\mu }}}$y desviación estándar de la muestra${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$, que son solo estimaciones de los parámetros verdaderos. En ese caso,${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm 1.96{\hat {\sigma }}}$No necesariamente incluirá al 95% de la población, debido a la varianza en estas estimaciones. Un intervalo de tolerancia limita esta varianza al introducir un nivel de confianza.${\displaystyle \gamma }$, que es la confianza con la que este intervalo realmente incluye la proporción especificada de la población. Para una población con distribución normal, una puntuación z se puede transformar en un " factor k " o factor de tolerancia ^{[ 6 ]} para un valor dado${\displaystyle \gamma }$mediante tablas de consulta o varias fórmulas de aproximación. ^{[ 7 ]} "A medida que los grados de libertad se aproximan al infinito, los intervalos de predicción y tolerancia se igualan." ^{[ 8 ]}

El intervalo de tolerancia es menos conocido que el intervalo de confianza y el intervalo de predicción , una situación que algunos educadores han lamentado, ya que puede llevar a un uso indebido de los otros intervalos cuando un intervalo de tolerancia es más apropiado. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

El intervalo de tolerancia se diferencia de un intervalo de confianza en que este último delimita un parámetro poblacional de valor único (la media o la varianza , por ejemplo) con cierto grado de confianza, mientras que el intervalo de tolerancia delimita el rango de valores de datos que incluye una proporción específica de la población. Mientras que el tamaño de un intervalo de confianza se debe completamente al error de muestreo y se aproximará a un intervalo de ancho cero en el parámetro poblacional verdadero a medida que aumenta el tamaño de la muestra, el tamaño de un intervalo de tolerancia se debe en parte al error de muestreo y en parte a la varianza real de la población, y se aproximará al intervalo de probabilidad de la población a medida que aumenta el tamaño de la muestra. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

El intervalo de tolerancia está relacionado con el intervalo de predicción, ya que ambos establecen límites a la variación en muestras futuras. Sin embargo, el intervalo de predicción solo delimita una única muestra futura, mientras que el intervalo de tolerancia delimita toda la población (o, equivalentemente, una secuencia arbitraria de muestras futuras). En otras palabras, un intervalo de predicción cubre una proporción específica de una población en promedio , mientras que un intervalo de tolerancia la cubre con un cierto nivel de confianza , lo que hace que el intervalo de tolerancia sea más apropiado si se pretende delimitar múltiples muestras futuras con un solo intervalo. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

^{[ 9 ]} da el siguiente ejemplo:

Consideremos, pues, una vez más, un escenario típico de prueba de consumo de combustible de la EPA , en el que se prueban varios automóviles nominalmente idénticos de un modelo en particular para obtener cifras de consumo.${\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}}$Si dichos datos se procesan para producir un intervalo de confianza del 95% para el kilometraje medio del modelo, es posible, por ejemplo, utilizarlo para proyectar el consumo medio o total de gasolina para la flota fabricada de dichos automóviles durante sus primeros 5000 kilómetros de uso. Sin embargo, dicho intervalo no sería de mucha ayuda para una persona que alquila uno de estos coches y se pregunta si el depósito de gasolina (lleno) de 10 galones será suficiente para recorrer los 350 kilómetros hasta su destino. Para ese trabajo, un intervalo de predicción sería mucho más útil. (Considere las diferentes implicaciones de estar "95% seguro" de que${\displaystyle \mu \geq 35}$en lugar de estar "95% seguro" de que${\displaystyle y_{n+1}\geq 35}$.) Pero tampoco un intervalo de confianza para${\displaystyle \mu }$Un intervalo de predicción para un solo kilometraje adicional no es exactamente lo que necesita un ingeniero de diseño encargado de determinar qué tan grande debe ser el tanque de gasolina que el modelo realmente necesita para garantizar que el 99% de los automóviles producidos tendrán una autonomía de 400 millas. Lo que el ingeniero realmente necesita es un intervalo de tolerancia para una fracción.${\displaystyle p=.99}$del kilometraje de dichos automóviles.

Otro ejemplo lo proporciona: ^{[ 11 ]}

Los niveles de plomo en el aire se recolectaron de${\displaystyle n=15}$diferentes áreas dentro de la instalación. Se observó que los niveles de plomo transformados logarítmicamente se ajustaban bien a una distribución normal (es decir, los datos provienen de una distribución lognormal ).${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma ^{2}}$y denotan, respectivamente, la media y la varianza poblacionales para los datos transformados logarítmicamente. Si${\displaystyle X}$denota la variable aleatoria correspondiente, por lo tanto tenemos${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$Observamos que${\displaystyle \exp(\mu )}$es el nivel medio de plomo en el aire. Un intervalo de confianza para${\displaystyle \mu }$se puede construir de la forma habitual, basándose en la distribución t ; esto a su vez proporcionará un intervalo de confianza para el nivel medio de plomo en el aire. Si${\displaystyle {\bar {X}}}$y${\displaystyle S}$denotan la media muestral y la desviación estándar de los datos transformados logarítmicamente para una muestra de tamaño n, un intervalo de confianza del 95% para${\displaystyle \mu }$es dado por${\displaystyle {\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}}$, dónde${\displaystyle t_{m,1-\alpha }}$denota el${\displaystyle 1-\alpha }$cuantil de una distribución t con${\displaystyle m}$grados de libertad. También puede ser interesante derivar un límite superior de confianza del 95% para el nivel medio de plomo en el aire. Dicho límite para${\displaystyle \mu }$es dado por${\displaystyle {\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}}$. En consecuencia, se obtiene un límite superior de confianza del 95% para la mediana de la presión de aire.${\displaystyle \exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}}$Ahora supongamos que queremos predecir el nivel de plomo en el aire en un área particular dentro del laboratorio. Un límite superior de predicción del 95% para el nivel de plomo transformado logarítmicamente viene dado por${\displaystyle {\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}}$Un intervalo de predicción bilateral puede calcularse de forma similar. El significado y la interpretación de estos intervalos son bien conocidos. Por ejemplo, si el intervalo de confianza${\displaystyle {\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}}$se calcula repetidamente a partir de muestras independientes, el 95% de los intervalos así calculados incluirán el valor verdadero de${\displaystyle \mu }$, a largo plazo. En otras palabras, el intervalo tiene como objetivo proporcionar información sobre el parámetro.${\displaystyle \mu }$Un intervalo de predicción tiene una interpretación similar y está diseñado para proporcionar información sobre un único nivel de plomo. Supongamos que queremos usar la muestra para determinar si al menos el 95 % de los niveles de plomo de la población están por debajo de un umbral. El intervalo de confianza y el intervalo de predicción no pueden responder a esta pregunta, ya que el intervalo de confianza solo se refiere a la mediana del nivel de plomo, y el intervalo de predicción solo a un único nivel. Lo que se requiere es un intervalo de tolerancia; más específicamente, un límite superior de tolerancia. Este límite superior de tolerancia se calcula bajo la condición de que al menos el 95 % de los niveles de plomo de la población estén por debajo del límite, con un cierto nivel de confianza, por ejemplo, el 99 %.

• Tolerancia de ingeniería
• Factor de seguridad

• Hahn, Gerald J.; Meeker, William Q.; Escobar, Luis A. (2017). Intervalos estadísticos: Guía para profesionales e investigadores (2.ª  ed.). John Wiley & Sons, Incorporated. ISBN 978-0-471-68717-7.

• K. Krishnamoorthy (2009). Regiones de tolerancia estadística: teoría, aplicaciones y cálculo . John Wiley and Sons. ISBN 978-0-470-38026-0.El capítulo 1, "Preliminares", está disponible en http://media.wiley.com/product_data/excerpt/68/04703802/0470380268.pdf
• Derek S. Young (agosto de 2010). "tolerance: Un paquete de R para estimar intervalos de tolerancia" . Journal of Statistical Software . 36 (5): 1– 39. ISSN 1548-7660 . Recuperado el 19 de febrero de 2013 . 
• ISO 16269-6, Interpretación estadística de datos, Parte 6: Determinación de intervalos de tolerancia estadística, Comité Técnico ISO/TC 69, Aplicaciones de métodos estadísticos. Disponible en http://standardsproposals.bsigroup.com/home/getpdf/458