conjugación topológica

En matemáticas , se dice que dos funciones son topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismo que las conjuga. La conjugación topológica y la equivalencia topológica de flujos, relacionados pero distintos ,  son importantes en el estudio de funciones iteradas y, más generalmente, de sistemas dinámicos , ya que, si se puede determinar la dinámica de una función iterativa, entonces la de una función topológicamente conjugada se deduce trivialmente. ^{[ 1 ]}

Para ilustrar esto directamente: supongamos que${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son funciones iteradas y existe un homeomorfismo${\displaystyle h}$de tal manera que

${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h,}$

de modo que${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son topológicamente conjugados. Entonces uno debe tener

${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h,}$

y por lo tanto los sistemas iterados también son topológicamente conjugados. Aquí,${\displaystyle \circ }$denota composición de funciones .

Dejar${\displaystyle f\colon X\to X}$y${\displaystyle g\colon Y\to Y}$sean funciones continuas en espacios topológicos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$.

Entonces decimos${\displaystyle f}$es topológicamente semiconjugado a${\displaystyle g}$si existe una sobreyección continua${\displaystyle h\colon Y\to X}$de tal manera que${\displaystyle h\circ g=f\circ h}$.

${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$Ser topológicamente conjugados significa, por definición, que son topológicamente semiconjugados a través de un homeomorfismo.${\displaystyle h}$. Entonces${\displaystyle h}$se denomina conjugación topológica entre${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$.

• El mapa logístico y el mapa de la tienda son topológicamente conjugados. ^{[ 2 ]}
• El mapa logístico de altura unitaria y el mapa de Bernoulli son topológicamente conjugados.
• Para ciertos valores en el espacio de parámetros, el mapa de Hénon, cuando se restringe a su conjunto de Julia, es topológicamente conjugado o semiconjugado al mapa de desplazamiento en el espacio de secuencias de dos lados en dos símbolos. ^{[ 3 ]}

La conjugación topológica – a diferencia de la semiconjugación – define una relación de equivalencia en el espacio de todas las sobreyecciones continuas de un espacio topológico a sí mismo, declarando${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$estar relacionadas si son topológicamente conjugadas. Esta relación de equivalencia es muy útil en la teoría de sistemas dinámicos , ya que cada clase contiene todas las funciones que comparten la misma dinámica desde el punto de vista topológico. Por ejemplo, las órbitas de${\displaystyle g}$se asignan a órbitas homeomórficas de ${\displaystyle f}$a través de la conjugación. Escritura${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h}$Esto pone de manifiesto lo siguiente: ${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h}$En términos informales, la conjugación topológica es un "cambio de coordenadas" en el sentido topológico.

Sin embargo, la definición análoga para flujos es algo restrictiva. De hecho, estamos requiriendo los mapas.${\displaystyle \phi (\cdot ,t)}$y ${\displaystyle \psi (\cdot ,t)}$ser topológicamente conjugados para cada${\displaystyle t}$, lo cual requiere más que simplemente que las órbitas de${\displaystyle \phi }$ser mapeado a órbitas de${\displaystyle \psi }$homeomórficamente. Esto motiva la definición de equivalencia topológica , que también particiona el conjunto de todos los flujos en${\displaystyle X}$en clases de flujos que comparten la misma dinámica, de nuevo desde el punto de vista topológico.

Decimos que dos flujos${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi }$son topológicamente equivalentes , si existe un homeomorfismo.${\displaystyle h:Y\to X}$, mapeando órbitas de${\displaystyle \psi }$a órbitas de${\displaystyle \phi }$homeomórficamente y preservando la orientación de las órbitas. En otras palabras, dejando${\displaystyle {\mathcal {O}}}$denota una órbita, uno tiene

${\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )}$

para cada${\displaystyle y\in Y}$. Además, hay que alinear el flujo del tiempo: para cada${\displaystyle y\in Y}$, existe un${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que, si${\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta}$y si s es tal que${\displaystyle \phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t)}$, entonces${\displaystyle s>0}$.

En general, la equivalencia topológica es un criterio de equivalencia más débil que la conjugación topológica, ya que no requiere que el término temporal se corresponda con las órbitas y su orientación. Un ejemplo de un sistema topológicamente equivalente pero no conjugado sería la clase no hiperbólica de sistemas bidimensionales de ecuaciones diferenciales con órbitas cerradas. Si bien las órbitas pueden transformarse entre sí para superponerse espacialmente, los periodos de dichos sistemas no pueden coincidir de forma análoga, por lo que no cumplen el criterio de conjugación topológica, aunque sí el de equivalencia topológica.

Se pueden estudiar más criterios de equivalencia si los flujos,${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi }$, surgen de ecuaciones diferenciales.

Dos sistemas dinámicos definidos por las ecuaciones diferenciales,${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$y${\displaystyle {\punto {y}}=g(y)}$, se dice que son suavemente equivalentes si existe un difeomorfismo ,${\displaystyle h:X\to Y}$, de tal manera que

${\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{donde}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.}$

En ese caso, los sistemas dinámicos pueden transformarse uno en otro mediante la transformación de coordenadas,${\displaystyle y=h(x)}$.

Dos sistemas dinámicos en el mismo espacio de estados, definidos por${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$y${\displaystyle {\dot {x}}=g(x)}$, se dice que son orbitalmente equivalentes si hay una función positiva,${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} }$, de tal manera que${\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x)}$Los sistemas orbitalmente equivalentes difieren únicamente en la parametrización del tiempo.

Los sistemas que son suavemente equivalentes o orbitalmente equivalentes también son topológicamente equivalentes. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Por ejemplo, consideremos sistemas lineales en dos dimensiones de la forma${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$. Si la matriz,${\displaystyle A}$Si la matriz tiene dos autovalores reales positivos, el sistema tiene un nodo inestable; si la matriz tiene dos autovalores complejos con parte real positiva, el sistema tiene un foco (o espiral) inestable. Los nodos y focos son topológicamente equivalentes, pero no orbitalmente equivalentes ni suavemente equivalentes, ^{[ 4 ]} porque sus autovalores son diferentes (nótese que los jacobianos de dos sistemas localmente suavemente equivalentes deben ser similares , por lo que sus autovalores, así como las multiplicidades algebraicas y geométricas , deben ser iguales).

Se han descrito dos extensiones del concepto de conjugación topológica dinámica:

1. Sistemas análogos definidos como sistemas dinámicos isomorfos
2. Sistemas dinámicos adjuntos definidos mediante functores adjuntos y equivalencias naturales en dinámica categórica. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• Diagrama conmutativo

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