defecto topológico

En matemáticas y física , los solitones , los solitones topológicos y los defectos topológicos son tres conceptos estrechamente relacionados que describen estructuras estables frente a perturbaciones en un sistema físico. Los solitones no se desintegran, disipan, dispersan ni evaporan como lo hacen las ondas (o soluciones o estructuras) ordinarias. Su estabilidad se debe a una obstrucción a la desintegración, que se explica por el hecho de que el solitón pertenece a una clase de homotopía o cohomología topológica diferente a la del sistema físico base. En otras palabras: no es posible transformar continuamente un sistema con un solitón en uno sin él. Las matemáticas que sustentan la estabilidad topológica son profundas y extensas, y se ha descrito una gran variedad de sistemas que la poseen. Esto dificulta su categorización.

El solitón original se observó en el siglo XIX como una onda de agua solitaria en un canal navegable. Finalmente, se explicó al notar que la ecuación de Korteweg-De Vries (KdV) , que describe las ondas en el agua, tiene soluciones homotópicamente distintas. El mecanismo de pares de Lax proporcionó la comprensión topológica necesaria.

La característica general necesaria para que surja un solitón topológico es que exista alguna ecuación diferencial parcial (EDP) con distintas clases de soluciones, donde cada clase de solución pertenece a una clase de homotopía distinta. En muchos casos, esto se debe a que el espacio base, ya sea tridimensional o cuatridimensional , puede considerarse con la topología de una esfera , obtenida mediante compactificación de un punto : añadiendo un punto en el infinito. Esto es razonable, ya que generalmente se buscan soluciones que se anulen en el infinito y, por lo tanto, sean unívocas en ese punto. El rango ( codominio ) de las variables en la ecuación diferencial también puede considerarse dentro de un espacio topológico compacto . Como resultado, la aplicación del espacio (tiempo) a las variables en la EDP se puede describir como una aplicación de una esfera a otra esfera (diferente); las clases de tales aplicaciones vienen dadas por los grupos de homotopía de esferas .

Para decirlo de forma más sencilla: los solitones se encuentran cuando una solución de la EDP no puede transformarse continuamente en otra; para pasar de una a otra se requeriría "cortar" (como con tijeras), pero "cortar" no es una operación definida para resolver EDP. La analogía del corte surge porque algunos solitones se describen como aplicaciones , donde es el círculo ; las aplicaciones surgen en el fibrado circular . Dichas aplicaciones pueden pensarse como enrollar una cuerda alrededor de un palo: la cuerda no se puede quitar sin cortarla. La extensión más común de esta analogía del enrollado es a las aplicaciones , donde la primera esfera tridimensional representa el espacio 3D compactificado, mientras que la segunda representa un campo vectorial . (Un vector tridimensional , su dirección más longitud, puede pensarse como la especificación de un punto en una esfera tridimensional. La orientación del vector especifica un subgrupo del grupo ortogonal ; la longitud fija un punto. Esto tiene una doble cobertura por el grupo unitario , y .) Dichas aplicaciones aparecen en EDP que describen campos vectoriales. ${\displaystyle U(1)\to U(1)}$${\displaystyle U(1)\simeq S^{1}}$${\displaystyle S^{3}\to S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle O(3)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SU(2)\simeq S^{3}}$

Un defecto topológico es quizás la forma más sencilla de entender la idea general: es un solitón que se produce en una red cristalina , típicamente estudiado en el contexto de la física del estado sólido y la ciencia de los materiales . El ejemplo prototípico es la dislocación helicoidal ; es una dislocación de la red que se enrolla en espiral. Se puede mover de un lugar a otro empujándola, pero no se puede eliminar mediante simples deformaciones continuas de la red. (Algunas dislocaciones helicoidales se manifiestan de forma que son directamente visibles a simple vista: estas son las garras de germanio ). La estabilidad matemática proviene del número de vueltas no nulo del mapa de círculos; la estabilidad de la dislocación conduce a la rigidez en el material que la contiene. Una manifestación común es la flexión repetida de un alambre metálico: esto introduce cada vez más dislocaciones helicoidales (como pares dislocación-antidislocación), haciendo que la región doblada sea cada vez más rígida y frágil . Si se continúa sometiendo esa región a estrés, se generarán dislocaciones que, con el tiempo, provocarán la fractura y el fallo del material. Esto puede considerarse una transición de fase , donde el número de defectos supera una densidad crítica , lo que les permite interactuar entre sí y conectarse, provocando así la desconexión (fractura) del conjunto. La idea de que las densidades críticas de solitones pueden dar lugar a transiciones de fase es un tema recurrente. ${\displaystyle S^{1}\to S^{1};}$

Los vórtices en superfluidos y los tubos de vórtice anclados en superconductores de tipo II proporcionan ejemplos de solitones topológicos de tipo mapa circular en fluidos. Ejemplos más abstractos incluyen las cuerdas cósmicas ; estas incluyen tanto soluciones de tipo vórtice a las ecuaciones de campo de Einstein como soluciones de tipo vórtice en sistemas más complejos, acopladas a la materia y a los campos de ondas. Los tornados y los vórtices en el aire no son ejemplos de solitones: no hay obstáculo para su decaimiento; se disiparán después de un tiempo. La solución matemática que describe un tornado puede transformarse continuamente, debilitando la rotación, hasta que no quede ninguna rotación. Sin embargo, los detalles dependen del contexto: la Gran Mancha Roja de Júpiter es un ciclón, para el cual se han propuesto ideas de tipo solitón para explicar su estabilidad multisiglos.

Los defectos topológicos se estudiaron ya en la década de 1940. Ejemplos más abstractos surgieron en la teoría cuántica de campos . El skyrmión se propuso en la década de 1960 como un modelo del nucleón ( neutrón o protón ) y debía su estabilidad al mapeo . En la década de 1980, el instantón y las soluciones relacionadas de los modelos de Wess-Zumino-Witten alcanzaron una considerable popularidad porque ofrecían una perspectiva no perturbativa en un campo que, de otro modo, estaba dominado por cálculos perturbativos realizados con diagramas de Feynmann . Esto impulsó a los físicos a estudiar los conceptos de homotopía y cohomología , que anteriormente eran dominio exclusivo de las matemáticas. Un desarrollo posterior identificó la omnipresencia de la idea: por ejemplo, la solución de Schwarzschild y la solución de Kerr a las ecuaciones de campo de Einstein ( agujeros negros ) pueden reconocerse como ejemplos de solitones gravitacionales topológicos : esta es la transformada de Belinski-Zakharov . ${\displaystyle S^{3}\to SU(2)}$

La terminología de defecto topológico frente a solitón topológico , o incluso simplemente "solitón", varía según el campo de estudio académico. Así, el monopolo magnético hipotético pero no observado es un ejemplo físico del marco matemático abstracto de un monopolo ; al igual que el Skyrmion, debe su estabilidad a pertenecer a una clase de homotopía no trivial para mapas de 3-esferas. Para el monopolo, el objetivo es la dirección del campo magnético, en lugar de la dirección del espín isotópico . Los monopolos se denominan habitualmente "solitones" en lugar de "defectos". Los solitones se asocian con invariantes topológicos ; como puede haber más de una configuración posible, estas se etiquetarán con una carga topológica . La palabra carga se utiliza en el sentido de carga en física .

El formalismo matemático puede ser bastante complejo. Los marcos generales para las EDP incluyen haces de fibras , y el comportamiento de los objetos se describe a menudo en términos de holonomía y monodromía . En marcos abstractos como la teoría de cuerdas , los solitones son parte integral del sistema: las cuerdas se pueden organizar en nudos , como en la teoría de nudos , y por lo tanto son estables frente a ser desatadas.

En general, una configuración de campo (cuántico) con un solitón tendrá una energía mayor que el estado fundamental o el estado de vacío , y por lo tanto se denominará excitación topológica . ^{[ 1 ]} Aunque las consideraciones homotópicas impiden que el campo clásico se deforme en el estado fundamental, es posible que dicha transición ocurra mediante tunelización cuántica . En este caso, entrarán en juego homotopías superiores. Así, por ejemplo, la excitación base podría definirse mediante un mapeo en el grupo de espín . Si la tunelización cuántica borra la distinción entre este y el estado fundamental, entonces el siguiente grupo superior de homotopías viene dado por el grupo de cuerdas . Si el proceso se repite, esto da como resultado un paseo por la torre de Postnikov . Estas son hipótesis teóricas; demostrar tales conceptos en experimentos de laboratorio reales es un asunto completamente distinto.

La existencia de un defecto topológico puede demostrarse siempre que las condiciones de contorno impliquen la existencia de soluciones homotópicamente distintas. Esto suele ocurrir porque el contorno sobre el que se especifican las condiciones posee un grupo de homotopía no trivial que se conserva en las ecuaciones diferenciales ; las soluciones a dichas ecuaciones son entonces topológicamente distintas y se clasifican según su clase de homotopía . Los defectos topológicos no solo son estables frente a pequeñas perturbaciones , sino que no pueden decaer, deshacerse ni desenredarse, precisamente porque no existe una transformación continua que los mapee (homotópicamente) a una solución uniforme o "trivial".

Un medio ordenado se define como una región del espacio descrita por una función f ( r ) que asigna a cada punto de la región un parámetro de orden , y los posibles valores del espacio de parámetros de orden constituyen un espacio de parámetros de orden . La teoría de homotopía de defectos utiliza el grupo fundamental del espacio de parámetros de orden de un medio para analizar la existencia, la estabilidad y las clasificaciones de defectos topológicos en dicho medio. ^{[ 2 ]}

Supongamos que R es el espacio de parámetros de orden para un medio, y sea G un grupo de Lie de transformaciones en R. Sea H el subgrupo de simetría de G para el medio. Entonces, el espacio de parámetros de orden se puede escribir como el cociente del grupo de Lie ^{[ 3 ]} R = G / H.

Si G es una cubierta universal para G / H , entonces se puede demostrar ^{[ 3 ]} que π _n ( G / H ) = π _{n −1} ( H ), donde π _i denota el i -ésimo grupo de homotopía .

Diversos tipos de defectos en el medio pueden caracterizarse mediante elementos de diferentes grupos de homotopía del espacio del parámetro de orden. Por ejemplo, (en tres dimensiones), los defectos lineales corresponden a elementos de π ₁ ( R ), los defectos puntuales corresponden a elementos de π ₂ ( R ), y las texturas corresponden a elementos de π ₃ ( R ). Sin embargo, los defectos que pertenecen a la misma clase de conjugación de π ₁ ( R ) pueden deformarse continuamente entre sí, ^{[ 2 ]} y, por lo tanto, distintos defectos corresponden a distintas clases de conjugación.

Poénaru y Toulouse demostraron que ^{[ 4 ]} los defectos de cruce se enredan si y solo si son miembros de clases de conjugación separadas de π ₁ ( R ).

Se producen defectos topológicos en las ecuaciones diferenciales parciales y se cree que son los responsables de las transiciones de fase en la física de la materia condensada .

La autenticidad de un defecto topológico depende de la naturaleza del vacío hacia el que tenderá el sistema si transcurre un tiempo infinito; los defectos topológicos falsos y verdaderos se pueden distinguir si el defecto se encuentra en un vacío falso y en un vacío verdadero , respectivamente.

Algunos ejemplos incluyen el solitón o la onda solitaria que se produce en modelos exactamente solubles , como por ejemplo:

• dislocaciones helicoidales en materiales cristalinos,
• Skyrmión en la teoría cuántica de campos,
• Skyrmión magnético en materia condensada,
• Solitones topológicos del modelo de Wess-Zumino-Witten .

Defectos topológicos en sistemas de clases de universalidad de transición lambda, entre los que se incluyen:

• Dislocaciones de tornillo/borde en cristales líquidos ,
• Tubos de flujo magnético conocidos como fluxones en superconductores y
• Vórtices en superfluidos .

Según algunos modelos explorados en las décadas de 1970 y 1980, a medida que el universo primitivo se enfriaba desde un estado inicial caliente y denso, desencadenó una serie de transiciones de fase muy similares a las que ocurren en sistemas de materia condensada, como los vórtices en el helio líquido . Los defectos topológicos en cosmología son consecuencias de estados de vacío degenerados del universo, denominados variedad de vacío , tras una transición de fase que rompe la simetría. Los monopolos magnéticos son un ejemplo de defecto topológico estable predicho por las teorías de gran unificación del universo primitivo . Mediciones detalladas del fondo cósmico de microondas realizadas por la sonda Wilkinson Microwave Anisotropy Probe proporcionan una sólida evidencia a favor de la inflación cósmica para algunas predicciones de los modelos de defectos topológicos. Los modelos que combinan estos conceptos siguen siendo viables. ^{[ 5 ] : 231}

Según la naturaleza de la ruptura de simetría , se cree que se formaron varios solitones en las transiciones de fase cosmológicas del universo temprano, de acuerdo con el mecanismo de Kibble-Zurek . Los defectos topológicos más conocidos son:

• Las cuerdas cósmicas son líneas unidimensionales que se forman cuando se rompe una simetría axial o cilíndrica.
• Las paredes de dominio son membranas bidimensionales que se forman cuando se rompe una simetría discreta durante una transición de fase. Estas paredes se asemejan a las de una espuma de celda cerrada , dividiendo el universo en celdas discretas.
• Se predice que los monopolos , defectos cúbicos que se forman al romperse la simetría esférica, poseen carga magnética positiva o negativa, por lo que se les suele llamar " monopolos magnéticos ". La existencia de esta carga se postula para lograr una mayor simetría en las ecuaciones de Maxwell .
• Las texturas se forman cuando se rompen por completo simetrías globales continuas más grandes y complejas, como SU(N) u O(N) para N ≥ 2. A diferencia de los defectos estables y altamente localizados, como las cuerdas cósmicas o los monopolos, las texturas son configuraciones inestables y deslocalizadas del campo que colapsan y se desenrollan rápidamente a la velocidad de la luz.
• Skyrmiones
• Dimensiones adicionales y dimensiones superiores .

También son posibles otros híbridos más complejos de estos tipos de defectos.

A medida que el universo se expandía y se enfriaba, las simetrías de las leyes de la física comenzaron a romperse en regiones que se extendían a la velocidad de la luz ; en los límites de las regiones adyacentes se producen defectos topológicos. La materia que compone estos límites se encuentra en una fase ordenada , que persiste incluso después de que se complete la transición de fase a la fase desordenada en las regiones circundantes.

Los astrónomos no han identificado defectos topológicos; sin embargo, ciertos tipos no son compatibles con las observaciones actuales. En particular, si existieran paredes de dominio y monopolos en el universo observable, provocarían desviaciones significativas de lo que los astrónomos pueden observar.

Debido a estas observaciones, la formación de defectos dentro del universo observable está muy restringida, requiriendo circunstancias especiales (véase Inflación (cosmología) ). Por otro lado, se ha sugerido que las cuerdas cósmicas proporcionan la gravedad inicial en torno a la cual se ha condensado la estructura a gran escala de la materia cosmológica . Las texturas son igualmente benignas. A finales de 2007, un punto frío en el fondo cósmico de microondas proporcionó evidencia de una posible textura . ^{[ 6 ]}

En física de la materia condensada, la teoría de grupos homotópicos proporciona un marco natural para la descripción y clasificación de defectos en sistemas ordenados. ^{[ 2 ]} Se han utilizado métodos topológicos en varios problemas de la teoría de la materia condensada. Poénaru y Toulouse utilizaron métodos topológicos para obtener una condición para defectos lineales (de cuerda) en cristales líquidos que pueden cruzarse sin entrelazarse. Fue una aplicación no trivial de la topología la que condujo por primera vez al descubrimiento del peculiar comportamiento hidrodinámico en la fase A del helio -3 superfluido . ^{[ 2 ]}

La teoría de la homotopía está profundamente relacionada con la estabilidad de los defectos topológicos. En el caso de un defecto lineal, si la trayectoria cerrada puede deformarse continuamente hasta formar un punto, el defecto no es estable; de ​​lo contrario, es estable.

A diferencia de la cosmología y la teoría de campos, los defectos topológicos en la materia condensada se han observado experimentalmente. ^{[ 7 ]} Los materiales ferromagnéticos tienen regiones de alineación magnética separadas por paredes de dominio. Los cristales líquidos nemáticos y nemáticos biaxiales muestran una variedad de defectos que incluyen monopolos, cuerdas, texturas, etc. ^{[ 2 ]} En los sólidos cristalinos, los defectos topológicos más comunes son las dislocaciones , que juegan un papel importante en la predicción de las propiedades mecánicas de los cristales, especialmente la plasticidad cristalina .

En los sistemas magnéticos, los defectos topológicos incluyen defectos bidimensionales como los skyrmiones (con carga de skyrmión entera) o defectos tridimensionales como los hopfiones (con índice de Hopf entero). La definición puede extenderse para incluir dislocaciones del orden helimagnético, como las dislocaciones de borde ^{[ 8 ] [ 9 ]} y las dislocaciones de tornillo ^{[ 10 ]} (que tienen un valor entero del vector de Burgers).

• Cuerdas cósmicas y otros defectos topológicos
• http://demonstrations.wolfram.com/SeparationOfTopologicalSingularities/