Grupo topológico

Un homomorfismo de grupos topológicos se define como un homomorfismo de grupos continuos.${\displaystyle G\to H}$Los grupos topológicos, junto con sus homomorfismos, forman una categoría . Un homomorfismo de grupos entre grupos topológicos es continuo si y solo si es continuo en algún punto. ^{[ 4 ]}

Un isomorfismo de grupos topológicos es un isomorfismo de grupos que también es un homeomorfismo de los espacios topológicos subyacentes. Esto es más fuerte que simplemente exigir un isomorfismo de grupos continuo: el inverso también debe ser continuo. Existen ejemplos de grupos topológicos que son isomorfos como grupos ordinarios, pero no como grupos topológicos.

Por ejemplo, sea G un grupo cualquiera. Podemos definirle al menos dos topologías: la topología discreta o la topología indiscreta, ambas hacen que las operaciones del grupo sean continuas. Denotemos el grupo con la topología discreta como${\displaystyle (G,{\mathcal {T}}_{1})}$y el grupo con la topología indiscreta como${\displaystyle (G,{\mathcal {T}}_{2})}$, el mapa de identidad${\displaystyle I:(G,{\mathcal {T}}_{1})\to (G,{\mathcal {T}}_{2})}$definido por${\displaystyle I(g)=g}$es un isomorfismo de grupos continuo, pero no es un isomorfismo de grupos topológicos (si${\displaystyle G}$no es el grupo trivial).

La topología de cada grupo topológico esinvariante de traslación , lo que por definición significa que si para cualquier${\displaystyle a\in G,}$La multiplicación por la izquierda o por la derecha de este elemento produce un homeomorfismo.${\displaystyle G\to G.}$ Esto convierte a cada grupo topológico en un espacio homogéneo . En consecuencia, para cualquier${\displaystyle a\in G}$y${\displaystyle S\subseteq G,}$el subconjunto${\displaystyle S}$está abierto (o cerrado ) en${\displaystyle G}$si y solo si esto es cierto para su traducción izquierda${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$y traducción correcta${\displaystyle Sa:=\{sa:s\en S\}.}$ Si${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es una base de vecindad del elemento identidad en un grupo topológico${\displaystyle G}$entonces para todos${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$ es una base vecinal de${\displaystyle x}$en${\displaystyle G.}$^{[ 4 ]} En particular, cualquier topología de grupo en un grupo topológico está completamente determinada por cualquier base de vecindad en el elemento identidad. Si${\displaystyle S}$es cualquier subconjunto de${\displaystyle G}$y${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle G,}$entonces${\displaystyle SU:=\{su:s\en S,u\en U\}}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle G.}$^{[ 4 ]}

La operación de inversión${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$en un grupo topológico${\displaystyle G}$es un homeomorfismo de${\displaystyle G}$a sí mismo.

Un subconjunto${\displaystyle S\subseteg G}$Se dice que es simétrico si${\displaystyle S^{-1}=S,}$dónde${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$Si E es cualquier subconjunto de un grupo topológico G , entonces los conjuntos E ⁻¹ ∩ E , E ⁻¹ ∪ E y E ⁻¹ E son simétricos. Para G abeliano , la clausura de todo conjunto simétrico es simétrica. ^{[ 4 ]}

Para cualquier vecindario N en un grupo topológico conmutativo G del elemento identidad, existe un vecindario simétrico M del elemento identidad tal que M ⁻¹ M ⊆ N , donde Nótese que M ⁻¹ M es necesariamente un vecindario simétrico del elemento identidad. ^{[ 4 ]} Por lo tanto, todo grupo topológico tiene una base de vecindarios en el elemento identidad que consiste en conjuntos simétricos.

Si G es un grupo conmutativo localmente compacto , entonces para cualquier entorno N en G del elemento identidad, existe un entorno simétrico relativamente compacto M del elemento identidad tal que cl M ⊆ N (donde cl M también es simétrico). ^{[ 4 ]}

Todo grupo topológico puede considerarse un espacio uniforme de dos maneras: la uniformidad izquierda convierte todas las multiplicaciones por la izquierda en aplicaciones uniformemente continuas, mientras que la uniformidad derecha convierte todas las multiplicaciones por la derecha en aplicaciones uniformemente continuas. ^{[ 5 ]} Si G no es abeliano, entonces estas dos propiedades no tienen por qué coincidir. Las estructuras uniformes permiten hablar de nociones como completitud , continuidad uniforme y convergencia uniforme en grupos topológicos.

Si U es un subconjunto abierto de un grupo topológico conmutativo ^G y U contiene un conjunto compacto K , entonces existe un entorno N del elemento identidad tal que KN ⊆ U. ^{[ 4} ]

Como espacio uniforme, todo grupo topológico conmutativo es completamente regular . En consecuencia, para un grupo topológico multiplicativo G con elemento identidad 1, las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^{[ 4 ]}

1. G es un espacio T _{0 (} Kolmogorov );
2. G es un espacio T _{2 (} Hausdorff );
3. G es un T _{3 1 ⁄ 2} ( Tychonoff );
4. { 1 } está cerrado en G ;
5. { 1 }  := ∩ N ∈ 𝒩 N , donde 𝒩 es una base de vecindad del elemento identidad en G ;
6. para cualquier${\displaystyle x\in G}$de tal manera que${\displaystyle x\neq 1,}$Existe un entorno U en G del elemento identidad tal que${\displaystyle x\not \in U.}$

Un subgrupo de un grupo topológico conmutativo es discreto si y solo si tiene un punto aislado . ^{[ 4 ]}

Si G no es Hausdorff, entonces se puede obtener un grupo Hausdorff pasando al grupo cociente G / K , donde K es la clausura de la identidad. ^{[ 6 ]} Esto es equivalente a tomar el cociente de Kolmogorov de G .

Dejar${\displaystyle G}$sea ​​un grupo topológico. Como con cualquier espacio topológico, decimos que${\displaystyle G}$es metrizable si y solo si existe una métrica${\displaystyle d}$en${\displaystyle G}$, lo que induce la misma topología en${\displaystyle G}$Una métrica${\displaystyle d}$en${\displaystyle G}$se llama

• invariante por la izquierda (respectivamente, invariante por la derecha ) si y solo si${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$(resp.${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$) para todos${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$(equivalentemente,${\displaystyle d}$es invariante por la izquierda solo en caso de que el mapa${\displaystyle x\mapsto ax}$es una isometría de${\displaystyle (G,d)}$a sí mismo para cada${\displaystyle a\in G}$).
• correcto si y solo si todas las bolas abiertas,${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,\mathbf {1} )<r\}}$para${\displaystyle r>0}$, son precompactos.

El teorema de Birkhoff-Kakutani (llamado así en honor a los matemáticos Garrett Birkhoff y Shizuo Kakutani ) establece que las siguientes tres condiciones se cumplen en un grupo topológico.${\displaystyle G}$son equivalentes: ^{[ 7 ]}

1. ${\displaystyle G}$es ( Hausdorff y) el primer elemento contable (equivalentemente: el elemento identidad)${\displaystyle \mathbf {1} }$está cerrado en${\displaystyle G}$y hay una base contable de vecindarios para${\displaystyle \mathbf {1} }$en${\displaystyle G}$).
2. ${\displaystyle G}$es metrizable (como espacio topológico).
3. Existe una métrica invariante por la izquierda en${\displaystyle G}$que induce la topología dada en${\displaystyle G}$.
4. Existe una métrica invariante a la derecha en${\displaystyle G}$que induce la topología dada en${\displaystyle G}$.

Además, las siguientes son equivalentes para cualquier grupo topológico.${\displaystyle G}$:

1. ${\displaystyle G}$es un segundo espacio localmente compacto (de Hausdorff) numerable.
2. ${\displaystyle G}$es un espacio polaco , localmente compacto (Hausdorff).
3. ${\displaystyle G}$es propiamente metrizable (como espacio topológico).
4. Existe una métrica propia invariante por la izquierda en${\displaystyle G}$que induce la topología dada en${\displaystyle G}$.

Nota: Al igual que en el resto del artículo, asumimos aquí una topología de Hausdorff. Las implicaciones 4${\displaystyle \Rightarrow }$3${\displaystyle \Rightarrow }$2${\displaystyle \Rightarrow }$1 se cumple en cualquier espacio topológico. En particular 3${\displaystyle \Rightarrow }$2 se cumple, puesto que en particular cualquier espacio propiamente metrizable es una unión numerable de subconjuntos compactos metrizables y, por lo tanto, separables ( cf. propiedades de los espacios métricos compactos ). La implicación no trivial 1${\displaystyle \Rightarrow }$4 fue demostrado por primera vez por Raimond Struble en 1974. ^{[ 8 ]} Un enfoque alternativo fue realizado por Uffe Haagerup y Agata Przybyszewska en 2006, ^{[ 9 ]} cuya idea es la siguiente: Uno se basa en la construcción de una métrica invariante por la izquierda,${\displaystyle d_{0}}$, como en el caso de los primeros espacios numerables . Por compacidad local, las bolas cerradas de radios suficientemente pequeños son compactas, y al normalizar podemos suponer que esto se cumple para radio${\displaystyle 1}$. Cerrando la bola abierta,${\displaystyle U}$, de radio${\displaystyle 1}$bajo multiplicación se obtiene un subgrupo abierto y cerrado ,${\displaystyle H}$, de${\displaystyle G}$, sobre la cual la métrica${\displaystyle d_{0}}$es apropiado. Dado que${\displaystyle H}$está abierto y${\displaystyle G}$es segundo numerable , el subgrupo tiene como máximo numerable cantidad de clases laterales. Ahora se utiliza esta secuencia de clases laterales y la métrica en${\displaystyle H}$para construir una métrica adecuada sobre${\displaystyle G}$.

Todo subgrupo de un grupo topológico es también un grupo topológico cuando se le da la topología de subespacio . Todo subgrupo abierto H es también cerrado en G , puesto que el complemento de H es el conjunto abierto dado por la unión de las clases laterales gH para g ∈ G \ H , que son abiertas. Si H es un subgrupo de G , entonces la clausura de H también es un subgrupo. Del mismo modo, si H es un subgrupo normal de G , la clausura de H es normal en G .

Si H es un subgrupo de G , el conjunto de clases laterales izquierdas G / H con la topología cociente se denomina espacio homogéneo para G. El mapa cociente${\displaystyle q:G\to G/H}$siempre está abierto . Por ejemplo, para un entero positivo n , la esfera S ⁿ es un espacio homogéneo para el grupo de rotación SO( n +1) en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, con S ⁿ = SO( n +1)/SO( n ) . Un espacio homogéneo G / H es Hausdorff si y solo si H es cerrado en G . ^{[ 10 ]} En parte por esta razón, es natural concentrarse en subgrupos cerrados cuando se estudian grupos topológicos.

Si H es un subgrupo normal de G , entonces el grupo cociente G / H se convierte en un grupo topológico cuando se le da la topología cociente. Es Hausdorff si y solo si H es cerrado en G. Por ejemplo, el grupo cociente${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$es isomorfo al grupo circular S ¹ .

En cualquier grupo topológico, la componente identidad (es decir, la componente conexa que contiene el elemento identidad) es un subgrupo normal cerrado. Si C es la componente identidad y a es cualquier punto de G , entonces la clase lateral izquierda aC es la componente de G que contiene a . Por lo tanto, el conjunto de todas las clases laterales izquierdas (o derechas) de C en G es igual al conjunto de todas las componentes de G. De ello se deduce que el grupo cociente G / C es totalmente disconexo . ^{[ 11 ]}

En cualquier grupo topológico conmutativo, el producto (suponiendo que el grupo es multiplicativo) KC de un conjunto compacto K y un conjunto cerrado C es un conjunto cerrado. ^{[ 4 ]} Además, para cualesquiera subconjuntos R y S de G , (cl R )(cl S ) ⊆ cl ( RS ) . ^{[ 4 ]}

Si H es un subgrupo de un grupo topológico conmutativo G y si N es un entorno en G del elemento identidad tal que H ∩ cl N es cerrado, entonces H es cerrado. ^{[ 4 ]} Todo subgrupo discreto de un grupo topológico conmutativo de Hausdorff es cerrado. ^{[ 4 ]}

Los teoremas de isomorfismo de la teoría de grupos ordinaria no siempre se cumplen en el contexto topológico. Esto se debe a que un homomorfismo biyectivo no tiene por qué ser un isomorfismo de grupos topológicos.

Por ejemplo, una versión nativa del primer teorema de isomorfismo es falsa para grupos topológicos: si${\displaystyle f:G\to H}$es un morfismo de grupos topológicos (es decir, un homomorfismo continuo), no es necesariamente cierto que el homomorfismo inducido${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$es un isomorfismo de grupos topológicos; será un homomorfismo biyectivo y continuo, pero no necesariamente un homeomorfismo. En otras palabras, no necesariamente admitirá un inverso en la categoría de grupos topológicos. Por ejemplo, consideremos la aplicación identidad del conjunto de los números reales con topología discreta al conjunto de los números reales con topología euclidiana. Este es un homomorfismo de grupos y es continuo porque cualquier función de un espacio discreto es continua, pero no es un isomorfismo de grupos topológicos porque su inverso no es continuo.

Existe una versión del primer teorema de isomorfismo para grupos topológicos, que puede enunciarse de la siguiente manera: si${\displaystyle f:G\to H}$es un homomorfismo continuo, entonces el homomorfismo inducido de G /ker( f ) a im( f ) es un isomorfismo si y solo si la aplicación f es abierta sobre su imagen. ^{[ 12 ]}

Sin embargo, el tercer teorema de isomorfismo es cierto casi textualmente para los grupos topológicos, como se puede comprobar fácilmente.

En adelante, este artículo asumirá que cualquier grupo topológico que consideremos es un grupo topológico aditivo conmutativo con elemento identidad.${\displaystyle 0.}$

La diagonal de${\displaystyle X}$es el conjunto $${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$ y para cualquier${\displaystyle N\subseteq X}$que contiene${\displaystyle 0,}$el séquito canónico o las vecindades canónicas alrededor${\displaystyle N}$es el conjunto $${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

Para un grupo topológico${\displaystyle (X,\tau ),}$la uniformidad canónica ^{[ 21 ]} en${\displaystyle X}$es la estructura uniforme inducida por el conjunto de todos los entornos canónicos${\displaystyle \Delta (N)}$como${\displaystyle N}$abarca todos los barrios de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X.}$

Es decir, es el cierre ascendente del siguiente prefiltro en${\displaystyle X\times X,}$$${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$ donde este prefiltro forma lo que se conoce como una base de entornos de la uniformidad canónica.

Para un grupo aditivo conmutativo${\displaystyle X,}$un sistema fundamental de séquitos${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se denomina uniformidad invariante a la traslación si para cada${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle (x,y)\in B}$si y solo si${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$a pesar de${\displaystyle x,y,z\in X.}$Una uniformidad${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Se denomina invariante a la traslación si tiene una base de entornos que es invariante a la traslación. ^{[ 22 ]}

• La uniformidad canónica en cualquier grupo topológico conmutativo es invariante bajo traslaciones.
• Se obtendría la misma uniformidad canónica utilizando una base de vecindad del origen en lugar del filtro de todas las vecindades del origen.
• Cada séquito${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$contiene la diagonal${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$porque${\displaystyle 0\in N.}$
• Si${\displaystyle N}$es simétrico (es decir,${\displaystyle -N=N}$) entonces${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$es simétrico (lo que significa que${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$) y ${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• La topología inducida en${\displaystyle X}$por la uniformidad canónica es la misma que la topología que${\displaystyle X}$comenzó con (es decir, es${\displaystyle \tau }$).

La teoría general de espacios uniformes tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y "red de Cauchy". Para la uniformidad canónica en${\displaystyle X,}$Esto se reduce a la definición que se describe a continuación.

Suponer${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$es una red en${\displaystyle X}$y${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$es una red en${\displaystyle Y.}$Hacer${\displaystyle I\times J}$en un conjunto dirigido mediante la declaración${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$si y solo si${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$Entonces ^{[ 23 ]}${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$denota el producto neto . Si${\displaystyle X=Y}$Luego, la imagen de esta red debajo del mapa adicional${\displaystyle X\times X\to X}$denota la suma de estas dos redes: $${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ y de manera similar su diferencia se define como la imagen de la red del producto bajo la aplicación de resta: $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

Una red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$en un grupo topológico aditivo${\displaystyle X}$Se denomina red de Cauchy si ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$ o equivalentemente, si para cada vecindario${\displaystyle N}$de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X,}$existe algo${\displaystyle i_{0}\in I}$de tal manera que ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$para todos los índices${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

Una sucesión de Cauchy es una red de Cauchy que es una sucesión.

Si${\displaystyle B}$es un subconjunto de un grupo aditivo${\displaystyle X}$y${\displaystyle N}$es un conjunto que contiene${\displaystyle 0,}$entonces${\displaystyle B}$Se dice que es un${\displaystyle N}$-conjunto pequeño o pequeño de pedido${\displaystyle N}$si${\displaystyle B-B\subseteq N.}$^{[ 25 ]}

Un prefiltro${\displaystyle {\mathcal {B}}}$en un grupo topológico aditivo${\displaystyle X}$Se denomina prefiltro de Cauchy si cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$en${\displaystyle X,}$dónde${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$es un prefiltro.
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$en${\displaystyle X,}$dónde${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$es un prefiltro equivalente a${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. Para cada vecindario${\displaystyle N}$de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$contiene algunos${\displaystyle N}$-conjunto pequeño (es decir, existe algún${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle B-B\subseteq N}$). ^{[ 25 ]}

y si${\displaystyle X}$Si es conmutativa, entonces también:

4. Para cada vecindario${\displaystyle N}$de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X,}$existe algo${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$y algunos${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle B\subseteq x+N.}$^{[ 25 ]}

• Basta con comprobar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier vecindario determinado .${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X.}$

Suponer${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un prefiltro en un grupo topológico conmutativo${\displaystyle X}$y${\displaystyle x\in X.}$Entonces${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es Cauchy. ^{[ 23 ]}

Recuerde que para cualquier${\displaystyle S\subseteq X,}$un prefiltro${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en${\displaystyle S}$es necesariamente un subconjunto de${\displaystyle \wp (S)}$; eso es,${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Un subconjunto${\displaystyle S}$de un grupo topológico${\displaystyle X}$Se denomina subconjunto completo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro Cauchy${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$en${\displaystyle S}$converge a al menos un punto de${\displaystyle S.}$
   • Si${\displaystyle X}$es Hausdorff entonces cada prefiltro en${\displaystyle S}$convergerá a lo sumo a un punto de${\displaystyle X.}$Pero si${\displaystyle X}$si no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en${\displaystyle X.}$Lo mismo ocurre con las redes.
2. Cada red Cauchy en${\displaystyle S}$converge a al menos un punto de${\displaystyle S}$;
3. Cada filtro Cauchy${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en${\displaystyle S}$converge a al menos un punto de${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$es un espacio uniforme completo (según la definición de topología de conjunto de puntos de " espacio uniforme completo ") cuando${\displaystyle S}$está dotada de la uniformidad inducida en ella por la uniformidad canónica de${\displaystyle X}$;

Un subconjunto${\displaystyle S}$se denomina subconjunto secuencialmente completo si cada secuencia de Cauchy en${\displaystyle S}$(o equivalentemente, cada filtro/prefiltro de Cauchy elemental en${\displaystyle S}$) converge a al menos un punto de${\displaystyle S.}$

• Es importante destacar que la convergencia fuera de${\displaystyle S}$está permitido : Si${\displaystyle X}$no es Hausdorff y si cada prefiltro Cauchy en${\displaystyle S}$converge a algún punto de${\displaystyle S,}$entonces${\displaystyle S}$estará completo incluso si algunos o todos los prefiltros Cauchy están en${\displaystyle S}$también convergen a puntos en el complemento${\displaystyle X\setminus S.}$En resumen, no hay ningún requisito de que estos prefiltros Cauchy estén en${\displaystyle S}$convergen únicamente a puntos en${\displaystyle S.}$Lo mismo puede decirse de la convergencia de las redes de Cauchy en${\displaystyle S.}$
  • Como consecuencia, si un grupo topológico conmutativo${\displaystyle X}$si no es Hausdorff , entonces cada subconjunto del cierre de${\displaystyle \{0\},}$decir${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$es completo (ya que es claramente compacto y todo conjunto compacto es necesariamente completo). Por lo tanto, en particular, si${\displaystyle S\neq \varnothing }$(por ejemplo, si${\displaystyle S}$a es un conjunto unitario como por ejemplo${\displaystyle S=\{0\}}$) entonces${\displaystyle S}$estaría completo aunque cada red de Cauchy en${\displaystyle S}$(y cada prefiltro Cauchy en${\displaystyle S}$), converge a cada punto en${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$(incluya esos puntos en${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$que no están en${\displaystyle S}$).
  • Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (de hecho, incluso los subconjuntos compactos) de un espacio que no es de Hausdorff pueden no ser cerrados (por ejemplo, si${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$entonces${\displaystyle S}$está cerrado si y solo si${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$).

Un grupo topológico conmutativo${\displaystyle X}$Se denomina grupo completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es completo como subconjunto de sí mismo.
2. Cada red Cauchy en${\displaystyle X}$converge a al menos un punto de${\displaystyle X.}$
3. Existe un vecindario de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X}$que también es un subconjunto completo de${\displaystyle X.}$^{[ 25 ]}
   • Esto implica que todo grupo topológico conmutativo localmente compacto es completo.
4. Cuando se le dota de su uniformidad canónica,${\displaystyle X}$se convierte en un espacio uniforme completo .
   • En la teoría general de espacios uniformes , un espacio uniforme se denomina espacio uniforme completo si cada filtro de Cauchy en${\displaystyle X}$converge en${\displaystyle (X,\tau )}$hasta cierto punto de${\displaystyle X.}$

Un grupo topológico se denomina secuencialmente completo si es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.

Base de vecindad : Supongamos${\displaystyle C}$es una completación de un grupo topológico conmutativo${\displaystyle X}$con${\displaystyle X\subseteq C}$y eso${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es una base vecinal del origen en${\displaystyle X.}$Luego, la familia de conjuntos $${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$ es una base vecinal en el origen en${\displaystyle C.}$^{[ 23 ]}

Continuidad uniforme

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$ser grupos topológicos,${\displaystyle D\subseteq X,}$y${\displaystyle f:D\to Y}$Sé un mapa. Entonces${\displaystyle f:D\to Y}$es uniformemente continua si para cada vecindario${\displaystyle U}$del origen en${\displaystyle X,}$existe un vecindario${\displaystyle V}$del origen en${\displaystyle Y}$de tal manera que para todos${\displaystyle x,y\in D,}$si${\displaystyle y-x\in U}$entonces${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$