Teorema de Toponogov

En el campo matemático de la geometría riemanniana , el teorema de Toponogov (que lleva el nombre de Victor Andreevich Toponogov ) es un teorema de comparación de triángulos. Pertenece a una familia de teoremas de comparación que cuantifican la afirmación de que un par de geodésicas que parten de un punto p se separan más lentamente en una región de alta curvatura que en una región de baja curvatura.

Sea M una variedad riemanniana m -dimensional con curvatura seccional K que satisface${\displaystyle K\geq \delta \,.}$ Sea pqr un triángulo geodésico , es decir, un triángulo cuyos lados son geodésicas, en M , tal que la geodésica pq es mínima y si δ > 0 , la longitud del lado pr es menor que${\displaystyle \pi /{\sqrt {\delta }}}$Sea p ′ q ′ r ′ un triángulo geodésico en el espacio modelo M _δ , es decir, el espacio simplemente conexo de curvatura constante δ , tal que las longitudes de los lados p ′ q ′ y p ′ r ′ son iguales a las de pq y pr respectivamente y el ángulo en p ′ es igual al de p . Entonces

${\displaystyle d(q,r)\leq d(q',r').\,}$

Cuando la curvatura seccional está acotada superiormente, un corolario del teorema de comparación de Rauch produce una afirmación análoga, pero con la desigualdad inversa .

• Chavel, Isaac (2006), Geometría riemanniana; Una introducción moderna (segunda  edición), Cambridge University Press
• Berger, Marcel (2004), Una visión panorámica de la geometría riemanniana , Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Teoremas de comparación en geometría riemanniana , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4417-5, MR 2394158 

• Pambuccian V., Zamfirescu T. "Paolo Pizzetti: El creador olvidado de la geometría de comparación de triángulos". Hist Math 38:8 (2011)