Coordenadas toroidales y poloidales

Los términos toroidal y poloidal se refieren a direcciones relativas a un toroide de referencia. Describen un sistema de coordenadas tridimensional en el que la dirección poloidal describe un pequeño anillo circular alrededor de la superficie, mientras que la dirección toroidal describe un gran anillo circular alrededor del toroide, rodeando el vacío central.

El primer uso de estos términos citado por el Oxford English Dictionary es por Walter M. Elsasser (1946) en el contexto de la generación del campo magnético de la Tierra por corrientes en el núcleo, donde "toroidal" es paralelo a las líneas de latitud constante y "poloidal" es en la dirección del campo magnético (es decir, hacia los polos ).

El OED también registra el uso posterior de estos términos en el contexto de plasmas confinados toroidalmente, como los que se encuentran en la fusión por confinamiento magnético . En el contexto del plasma, la dirección toroidal es el camino más largo alrededor del toro, y la coordenada correspondiente se denota por z en la aproximación de lámina o por ζ o φ en coordenadas magnéticas; la dirección poloidal es el camino más corto alrededor del toro, y la coordenada correspondiente se denota por y en la aproximación de lámina o por θ en coordenadas magnéticas. (La tercera dirección, normal a las superficies magnéticas, se suele llamar "dirección radial", y se denota por x en la aproximación de lámina y por ψ , χ , r , ρ o s en coordenadas magnéticas).

Como ejemplo sencillo de la física de plasmas confinados magnéticamente, consideremos un sistema axisimétrico con superficies de flujo magnético circulares y concéntricas de radio${\displaystyle r}$(una aproximación burda a la geometría del campo magnético en un tokamak temprano , pero topológicamente equivalente a cualquier sistema de confinamiento magnético toroidal con superficies de flujo anidadas) y denotemos el ángulo toroidal por${\displaystyle \zeta }$y el ángulo poloidal por${\displaystyle \theta }$Entonces, el sistema de coordenadas toroidales/poloidales se relaciona con las coordenadas cartesianas estándar mediante estas reglas de transformación:

${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta }$

${\displaystyle y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta }$

${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

dónde${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$.

La elección natural geométricamente es tomar${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$, dando las direcciones toroidal y poloidal que muestran las flechas en la figura anterior, pero esto hace que${\displaystyle r,\theta,\zeta}$un sistema de coordenadas curvilíneas zurdas. Como se suele asumir al establecer coordenadas de flujo para describir plasmas confinados magnéticamente, el conjunto${\displaystyle r,\theta,\zeta}$forma un sistema de coordenadas diestro ,${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$, debemos invertir la dirección poloidal tomando${\displaystyle s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1}$o invertir la dirección toroidal tomando${\displaystyle s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1}$Ambas opciones se utilizan en la literatura.

Para estudiar el movimiento de partículas individuales en dispositivos de plasma confinados toroidalmente, se deben conocer los vectores de velocidad y aceleración. Considerando la elección natural${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$, los vectores unitarios del sistema de coordenadas toroidales y poloidales${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$se puede expresar como:

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _ {\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

Según las coordenadas cartesianas, el vector de posición se expresa como:

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }}$

El vector de velocidad viene dado entonces por:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

y el vector de aceleración es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{aligned}}}$

• Coordenadas toroidales
• Toro
• Zonal y poloidal
• Descomposición poloidal-toroidal
• Flujo zonal (plasma)

• "Diccionario Oxford de inglés en línea" . poloidal . Oxford University Press . Consultado el 10 de agosto de 2007 .
• Elsasser, WM (1946). "Efectos de inducción en el magnetismo terrestre, parte I. Teoría" . Phys. Rev. 69 ( 3–4 ) : 106–116 . Bibcode : 1946PhRv...69..106E . doi : 10.1103/PhysRev.69.106 . Consultado el 10 de agosto de 2007 .