Constante de torsión

Magnitudes principales involucradas en la torsión de barras: $\theta$ es el ángulo de torsión; T es el par aplicado; L es la longitud de la viga.

{\displaystyle \theta } — Magnitudes principales involucradas en la torsión de barras: $\theta$ es el ángulo de torsión; T es el par aplicado; L es la longitud de la viga.

La constante de torsión o coeficiente de torsión es una propiedad geométrica de la sección transversal de una barra. Interviene en la relación entre el ángulo de torsión y el par aplicado a lo largo del eje de la barra, para una barra elástica lineal homogénea . La constante de torsión, junto con las propiedades del material y la longitud, describe la rigidez torsional de una barra . La unidad del SI para la constante de torsión ^esm⁴ .

Historia

En 1820, el ingeniero francés A. Duleau dedujo analíticamente que la constante de torsión de una viga es idéntica al segundo momento de área normal a la sección J _zz , que tiene una ecuación analítica exacta, suponiendo que una sección plana antes de la torsión permanece plana después de la torsión, y que un diámetro sigue siendo una línea recta. Desafortunadamente, esta suposición solo es correcta en vigas con secciones transversales circulares, y es incorrecta para cualquier otra forma donde se produzca alabeo. ^{[ 1 ]}

Las secciones transversales no circulares siempre presentan deformaciones por alabeo que requieren métodos más complejos para calcular la constante de torsión. Pocas secciones transversales no circulares tienen soluciones analíticas exactas para la constante de torsión, pero existen soluciones numéricas aproximadas para muchas formas. ^{[ 2 ]}

La rigidez torsional de vigas cortas con secciones transversales abiertas aumenta significativamente si la torsión de las secciones de los extremos se restringe, por ejemplo, mediante bloques rígidos en los extremos. ^{[ 3 ]}

Formulación

Para una viga de sección transversal uniforme a lo largo de su longitud, el ángulo de torsión (en radianes) $\theta$ es:

\theta ={\frac {TL}{GJ}}

dónde:

T es el par aplicado

L es la longitud del haz

G es el módulo de rigidez (módulo de corte) del material.

J es la constante torsional

Invirtiendo la relación anterior, podemos definir dos cantidades; la rigidez torsional ,

GJ={\frac {TL}{\theta }}

con unidades del SI N⋅m² ^/ rad

Y la rigidez torsional ,

{\frac {GJ}{L}}={\frac {T}{\theta }}

con unidades del SI N⋅m/rad

Ejemplos

Las barras con formas de sección transversal uniformes dadas son casos especiales.

Círculo

J_{zz}=J_{xx}+J_{yy}={\frac {\pi r^{4}}{4}}+{\frac {\pi r^{4}}{4}}={\frac {\pi r^{4}}{2}}

^{[ 4 ]}

dónde

r es el radio

Esto es idéntico al segundo momento de área J _zz y es exacto.

Alternativamente, escriba: $J={\frac {\pi D^{4}}{32}}$ ^{[ 4 ]} donde

D es el diámetro

Elipse

J={\frac {\pi a^{3}b^{3}}{a^{2}+b^{2}}}

^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

dónde

a es el radio mayor

b es el radio menor

Cuadrado

J\approx \,2.25a^{4}

^{[ 5 ]}

dónde

a es la mitad de la longitud del lado.

Rectángulo

J\approx \beta ab^{3}

dónde

a es la longitud del lado largo

b es la longitud del lado corto

\beta

Se encuentra en la siguiente tabla:

^{[ 7 ]}

Alternativamente, se puede utilizar la siguiente ecuación con un margen de error no superior al 4%:

J\approx ab^{3}\left({\frac {16}{3}}-{3.36}{\frac {b}{a}}\left(1-{\frac {b^{4}}{12a^{4}}}\right)\right)

^{[ 5 ]}

dónde

a es la mitad de la longitud del lado largo

b es la mitad de la longitud del lado corto.

Tubo abierto de paredes delgadas y espesor uniforme

J={\frac {1}{3}}Ut^{3}

^{[ 8 ]}

t es el espesor de la pared

U es la longitud del límite mediano (perímetro de la sección transversal mediana).

Tubo abierto circular de paredes delgadas y espesor uniforme

Se trata de un tubo con una hendidura cortada longitudinalmente a través de su pared. Utilizando la fórmula anterior:

U=2\pi r

J={\frac {2}{3}}\pi rt^{3}

^{[ 9 ]}

t es el espesor de la pared

r es el radio medio

Referencias

↑ Archie Higdon et al. "Mecánica de materiales, 4ª edición".
↑ Mecánica estructural avanzada, 2.ª edición, David Johnson
↑ Influencia y modelado de la restricción de alabeo en vigas
1 2 "Momento de inercia de área". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/AreaMomentofInertia.html
1 2 3 Fórmulas de Roark para el análisis de tensión y deformación, 7.ª edición, Warren C. Young y Richard G. Budynas
^ Mecánica continua, Fridtjov Irjens, Springer 2008, p238, ISBN 978-3-540-74297-5
↑ Resistencia avanzada y elasticidad aplicada, Ugural y Fenster, Elsevier, ISBN 0-444-00160-3
↑ Mecánica avanzada de materiales, Boresi, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-55157-0
↑ Fórmulas de Roark para el análisis de tensión y deformación, 6.ª edición, Warren C. Young

Enlaces externos

Calculadora de constante de torsión

[1] Archie Higdon et al. "Mecánica de materiales, 4ª edición".

[David-2] Mecánica estructural avanzada, 2.ª edición, David Johnson

[3] Influencia y modelado de la restricción de alabeo en vigas

[Weisstein,_Eric_W.-4] 1 2 "Momento de inercia de área". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/AreaMomentofInertia.html

[Roark7-5] 1 2 3 Fórmulas de Roark para el análisis de tensión y deformación, 7.ª edición, Warren C. Young y Richard G. Budynas

[Irjens-6] Mecánica continua, Fridtjov Irjens, Springer 2008, p238, ISBN 978-3-540-74297-5

[7] Resistencia avanzada y elasticidad aplicada, Ugural y Fenster, Elsevier, ISBN 0-444-00160-3

[8] Mecánica avanzada de materiales, Boresi, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-55157-0

[Roark-9] Fórmulas de Roark para el análisis de tensión y deformación, 6.ª edición, Warren C. Young

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