Toshiki Mabuchi

Toshiki Mabuchi ( kanji : 満渕俊樹, hiragana : マブチ トシキ, Mabuchi Toshiki, nacido en 1950) es un matemático japonés, especializado en geometría diferencial compleja y geometría algebraica . ^{[ 1 ]} En 2006 en Madrid fue ponente invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos . ^{[ 2 ]} Mabuchi es conocido por introducir el funcional de Mabuchi .

En 1972, Mabuchi se graduó de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Tokio ^{[ 1 ]} y se convirtió en estudiante de posgrado en matemáticas en la Universidad de California, Berkeley ^{[ 3 ]} . Allí se doctoró en 1977 con la tesis " C3-Acciones y variedades algebraicas tridimensionales con haz tangente amplio" y bajo la dirección de Shoshichi Kobayashi ^{[ 4 ].} Como investigador postdoctoral, Mabuchi fue investigador invitado en la Universidad de Bonn de 1977 a 1978. Desde 1978 es miembro del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Osaka . Su investigación se centra en la geometría diferencial compleja, las métricas de Kähler extremales , la estabilidad de las variedades algebraicas y la correspondencia de Hitchin-Kobayashi ^{[ 1 ]} .

En 2006, Toshiki Mabuchi y Takashi Shioya recibieron el Premio de Geometría de la Sociedad Matemática de Japón .

Mabuchi es conocido por haber introducido, en 1986, la energía de Mabuchi , que proporciona una interpretación variacional al problema de las métricas de Kähler de curvatura escalar constante . En particular, la energía de Mabuchi es una función de valor real definida en una clase de Kähler cuya ecuación de Euler-Lagrange es la ecuación de curvatura escalar constante. En el caso de que la clase de Kähler represente la primera clase de Chern de la variedad compleja, existe una relación con el problema de Kähler-Einstein , debido a que las métricas de curvatura escalar constante en dicha clase de Kähler deben ser de Kähler-Einstein.

Debido a las fórmulas de segunda variación para la energía de Mabuchi, cada punto crítico es estable. Además, si se integra un campo vectorial holomorfo y se realiza la retracción de una métrica de Kähler dada mediante la familia de difeomorfismos de un parámetro correspondiente, entonces la restricción correspondiente de la energía de Mabuchi es una función lineal de una variable real; su derivada es el invariante de Futaki descubierto unos años antes por Akito Futaki. ^{[ 5 ]} El invariante de Futaki y la energía de Mabuchi son fundamentales para comprender las obstrucciones a la existencia de métricas de Kähler que sean de Einstein o que tengan curvatura escalar constante.

Un año después, mediante el lema ∂ ∂ , Mabuchi consideró una métrica riemanniana natural en una clase de Kähler, lo que le permitió definir longitud, geodésicas y curvatura ; la curvatura seccional de la métrica de Mabuchi es no positiva. A lo largo de las geodésicas en la clase de Kähler, la energía de Mabuchi es convexa. Por lo tanto, la energía de Mabuchi posee fuertes propiedades variacionales.