número cuántico de espín

En química y mecánica cuántica , el número cuántico de espín es un número cuántico (designado s ) que describe el momento angular intrínseco ( o momento angular de espín, o simplemente espín ) de un electrón u otra partícula . Tiene el mismo valor para todas las partículas del mismo tipo, como s = 1/2 para todos los electrones. Es un número entero para todos los bosones , como los fotones , y un número semi-entero impar para todos los fermiones , como los electrones y los protones .

La componente del espín a lo largo de un eje específico viene dada por el número cuántico magnético de espín , escrito convencionalmente m _s . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El valor de m _s es la componente del momento angular de espín, en unidades de la constante de Planck reducida ħ , paralela a una dirección dada (convencionalmente denominada eje z ). Puede tomar valores que van desde + s hasta − s en incrementos enteros. Para un electrón, m _s puede ser ⁠ + + 1 / 2 ⁠ o ⁠ − + 1 / 2 ⁠ .

La expresión número cuántico de espín se refiere al momento angular de espín cuantizado . El símbolo s se utiliza para el número cuántico de espín, y m _s se describe como el número cuántico magnético de espín ^{[ 3 ]} o como la componente z del espín s _z . ^{[ 4 ]}

Tanto el espín total como la componente z del espín están cuantizados, lo que da lugar a dos números cuánticos: el número cuántico de espín y el número cuántico de magnetismo de espín. ^{[ 5 ]} El número cuántico de espín (total) tiene un único valor para cada partícula elemental. Algunos libros de texto de química introductoria describen m _s como el número cuántico de espín , [ ^{6 ] [ 7 ] y} no se menciona s ya que su valor 1 / 2 es una propiedad fija del electrón; algunos incluso utilizan la variable s en lugar de m _s . ^{[ 5 ]}

Los dos números cuánticos de espín${\displaystyle s}$y${\displaystyle m_{s}}$son los análogos del momento angular de espín de los dos números cuánticos de momento angular orbital${\displaystyle l}$y${\displaystyle m_{l}}$. ^{[ 8 ] : 152}

Los números cuánticos de espín también se aplican a sistemas de espines acoplados, como los átomos que pueden contener más de un electrón. Se utilizan símbolos en mayúscula: S para el espín electrónico total, y m _S o M _S para la componente del eje z . Un par de electrones en un estado singlete de espín tiene S = 0, y un par en el estado triplete tiene S = 1, con m _S = −1, 0 o +1. Los números cuánticos de espín nuclear se escriben convencionalmente I para el espín, y m _I o M _I para la componente del eje z .

Durante el período comprendido entre 1916 y 1925, se lograron grandes avances en lo que respecta a la disposición de los electrones en la tabla periódica . Para explicar el efecto Zeeman en el modelo atómico de Bohr, Arnold Sommerfeld propuso que los electrones se basarían en tres "números cuánticos", n , k y m , que describían el tamaño de la órbita, la forma de la órbita y la dirección en la que apuntaba la órbita. ^{[ 9 ]} Irving Langmuir había explicado en su artículo de 1919 sobre los electrones en sus capas: "Rydberg ha señalado que estos números se obtienen de la serie${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$. El factor dos sugiere una simetría doble fundamental para todos los átomos estables." ^{[ 10 ]} Esto${\displaystyle 2n^{2}}$Esta configuración fue adoptada por Edmund Stoner en octubre de 1924 en su artículo "La distribución de electrones entre los niveles atómicos", publicado en la revista Philosophical Magazine .

El éxito cualitativo del esquema de números cuánticos de Sommerfeld no logró explicar el efecto Zeeman en campos magnéticos débiles, el efecto Zeeman anómalo . En diciembre de 1924, Wolfgang Pauli demostró que el momento angular del electrón central no estaba relacionado con el efecto como se había supuesto previamente. ^{[ 11 ] : 563} En cambio, propuso que solo los electrones externos "ligeros" determinaban el momento angular e hipotetizó que esto requería un cuarto número cuántico con dos valores. ^{[ 12 ]} Este cuarto número cuántico se convirtió en el número cuántico magnético de espín .

Una partícula de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ se caracteriza por un número cuántico de momento angular para espín s = ⁠ 1 / 2 ⁠ . En las soluciones de la ecuación de Schrödinger-Pauli , el momento angular se cuantiza según este número, de modo que la magnitud del momento angular de espín es

$${\displaystyle \|{\mathbf {S}}\|=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\ \hbar ~.}$$

La estructura fina del espectro de hidrógeno se observa como un doblete que corresponde a dos posibilidades para la componente z del momento angular, donde para cualquier dirección z dada : $${\displaystyle s_{z}=\pm {\tfrac {1}{2}}\hbar ~.}$$

cuya solución tiene solo dos posibles componentes z para el electrón. En el electrón, las dos orientaciones de espín diferentes se denominan a veces "espín hacia arriba" o "espín hacia abajo".

La propiedad de espín de un electrón daría lugar a un momento magnético , que era un requisito para el cuarto número cuántico.

El vector del momento magnético del espín de un electrón viene dado por:

$${\displaystyle \ {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-{\frac {e}{\ 2m\ }}\ g_{\text{s}}\ {\mathbf {S}}\ }$$

dónde${\displaystyle -e}$es la carga del electrón ,${\displaystyle m}$es la masa del electrón y${\displaystyle g_{\text{s}}}$es el factor g del espín electrónico , que es aproximadamente 2,0023. Su proyección sobre el eje z viene dada por el número cuántico magnético de espín.${\displaystyle m_{\text{s}}}$de acuerdo a:

$${\displaystyle \mu _{z}=-m_{\text{s}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}=\pm {\tfrac {1}{2}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}\ }$$

dónde${\displaystyle \ \mu _{\mathsf {B}}\ }$es el magnetón de Bohr .

Cuando los átomos tienen un número par de electrones, el espín de cada electrón en cada orbital tiene una orientación opuesta a la de sus vecinos inmediatos. Sin embargo, muchos átomos tienen un número impar de electrones o una disposición de electrones en la que existe un número desigual de orientaciones de "espín hacia arriba" y "espín hacia abajo". Se dice que estos átomos o electrones tienen espines desapareados, los cuales se detectan mediante resonancia de espín electrónico .

Los núcleos atómicos también tienen espín. El espín nuclear I es una propiedad fija de cada núcleo y puede ser un número entero o un semi-entero. La componente m _I del espín nuclear paralela al eje z puede tener valores (2 I + 1) I , I −1, ..., − I . Por ejemplo, un núcleo ^{de 14} N tiene I = 1, por lo que hay 3 orientaciones posibles con respecto al eje z , correspondientes a los estados m _I = +1, 0 y −1. ^{[ 14 ]}

Los espines I de los diferentes núcleos se interpretan utilizando el modelo de capas nucleares . Los núcleos par-par, con números pares de protones y neutrones, como ^{el 12} C y ^{el 16} O , tienen espín cero. Los núcleos con número másico impar tienen espines semienteros , como 3/2 para el ⁷ Li , 1/2 para el ¹³ C y 5/2 para el 17 O , que generalmente corresponden al momento angular del último nucleón añadido. Los núcleos impar- impar , con números impares de protones y neutrones , tienen espines enteros, como 3 para ^{el 10} B y 1 para ^{el 14} N. ^{[ 15 ]} Los valores del espín nuclear para un isótopo dado se encuentran en las listas de isótopos de cada elemento. (Véase isótopos de oxígeno , isótopos de aluminio , etc.).

Para átomos o moléculas con un electrón desapareado, también se pueden observar transiciones en un campo magnético en las que solo cambia el número cuántico de espín, sin que cambie el orbital electrónico ni los demás números cuánticos. Este es el método de resonancia paramagnética electrónica (RPE) o resonancia de espín electrónico (REE), utilizado para estudiar radicales libres . Dado que solo cambia la interacción magnética del espín, el cambio de energía es mucho menor que en las transiciones entre orbitales, y los espectros se observan en la región de microondas .

Para una solución de la ecuación de Pauli no relativista o de la ecuación de Dirac relativista , el momento angular cuantizado (véase el número cuántico de momento angular ) se puede escribir como: $${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)\,}}\,\hbar }$$ dónde

• ${\displaystyle \mathbf {s} }$es el vector de espín cuantizado o espinor
• ${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert }$es la norma del vector de espín
• s es el número cuántico de espín asociado al momento angular de espín.
• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida .

Dada una dirección arbitraria z (generalmente determinada por un campo magnético externo), la proyección del espín en z viene dada por

${\displaystyle s_{z}=m_{s}\,\hbar }$

donde m _s es el número cuántico de espín magnético , que varía de − s a + s en pasos de uno. Esto genera 2 s + 1 valores diferentes de m _s .

Los valores permitidos para s son enteros no negativos o semi-enteros . Los fermiones tienen valores semi-enteros, incluidos el electrón , el protón y el neutrón , que tienen todos s = + + 1 / 2. Los bosones, como el fotón y todos los mesones , tienen valores de espín enteros.

La teoría algebraica del espín es una copia exacta del momento angular en la teoría de la mecánica cuántica. ^{[ 16 ]} En primer lugar, el espín satisface la relación de conmutación fundamental : $${\displaystyle \ [S_{i},S_{j}]=i\ \hbar \ \epsilon _{ijk}\ S_{k}\ ,}$$$${\displaystyle \ \left[S_{i},S^{2}\right]=0\ }$$ dónde${\displaystyle \ \epsilon _ {ijk}\ }$es el símbolo de Levi-Civita (antisimétrico) . Esto significa que es imposible conocer dos coordenadas del espín al mismo tiempo debido a la restricción del principio de incertidumbre .

A continuación, los autovectores de${\displaystyle \ S^{2}\ }$y${\displaystyle \ S_{z}\ }$satisfacer: $${\displaystyle \ S^{2}\ |s,m_{s}\rangle ={\hbar }^{2}\ s(s+1)\ |s,m_{s}\rangle \ }$$$${\displaystyle \ S_{z}\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ m_{s}\ |s,m_{s}\rangle \ }$$$${\displaystyle \ S_{\pm }\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)\ }}\;|s,m_{s}\pm 1\rangle \ }$$ dónde${\displaystyle \ S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}\ }$son los operadores de la escalera (o de "subir" y "bajar").

Para algunos átomos, _los espines de varios electrones desapareados ( s1 , s2 _, ...) se acoplan para formar un número cuántico de espín total S. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Esto ocurre especialmente en átomos ligeros (o en moléculas formadas solo por átomos ligeros) cuando el acoplamiento espín-órbita es débil en comparación con el acoplamiento entre espines o el acoplamiento entre momentos angulares orbitales , una situación conocida como acoplamiento L S porque L y S son constantes de movimiento . Aquí L es el número cuántico de momento angular orbital total . ^{[ 18 ]}

Para átomos con un S bien definido , la multiplicidad de un estado se define como 2 S + 1. Esto es igual al número de valores posibles diferentes del momento angular total (orbital más espín) J para una combinación ( L , S ) dada, siempre que S ≤ L (el caso típico). Por ejemplo, si S = 1, hay tres estados que forman un triplete . Los autovalores de S _z para estos tres estados son +1ħ, 0 y −1ħ . ^{[ 17 ]} El símbolo de término de un estado atómico indica sus valores de L , S , y J .

Como ejemplos, los estados fundamentales tanto del átomo de oxígeno como de la molécula de dioxígeno tienen dos electrones desapareados y, por lo tanto, son estados triplete. El estado atómico se describe con el símbolo ³ P, y el estado molecular con el símbolo ³ Σ ⁻ _g, donde el superíndice "3" indica la multiplicidad.

• número cuántico de momento angular total
• Espectroscopia rotacional
• Mecánica cuántica básica

• Weiss, Michael (2001). "Tratamiento completo del espín, incluyendo orígenes, evolución de la teoría del espín y detalles de las ecuaciones del espín" . Departamento de Matemáticas . UC Riverside .