tensor antisimétrico

En matemáticas y física teórica , un tensor es antisimétrico o alternante en (o con respecto a ) un subconjunto de índices si alterna signo (+/−) cuando se intercambian cualesquiera dos índices del subconjunto. ^{[ 1 ] [ 2 ]} El subconjunto de índices generalmente debe ser completamente covariante o completamente contravariante .

Por ejemplo, $${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}$$ Se cumple cuando el tensor es antisimétrico con respecto a sus tres primeros índices.

Si un tensor cambia de signo al intercambiar cada par de sus índices, entonces el tensor es completamente (o totalmente ) antisimétrico . Un campo tensorial covariante completamente antisimétrico de orden${\displaystyle k}$puede denominarse diferencial${\displaystyle k}$-forma , y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse un${\displaystyle k}$-campo vectorial .

Un tensor A que es antisimétrico en los índices${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$tiene la propiedad de que la contracción con un tensor B que es simétrico en los índices${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$es idénticamente 0.

Para un tensor general U con componentes${\displaystyle U_{ijk\dots }}$y un par de índices${\displaystyle i}$y${\displaystyle j,}$U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:

Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en $${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

Una notación abreviada para la antisimetrización se denota mediante un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M , $${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$ y para un tensor covariante de orden 3 T , $${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

En cualquier 2 o 3 dimensiones, se pueden escribir como $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$es la delta de Kronecker generalizada , y se utiliza la convención de suma de Einstein .

De manera más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre${\displaystyle p}$Los índices pueden expresarse como $${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$

En general, todo tensor de rango 2 puede descomponerse en un par simétrico y antisimétrico de la siguiente manera: $${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

Esta descomposición no es válida en general para tensores de rango 3 o superior, que presentan simetrías más complejas.

Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:

• Es obvio que todos los escalares y vectores (tensores de orden 0 y 1) son totalmente antisimétricos (además de ser totalmente simétricos).
• El tensor electromagnético ,${\displaystyle F_{\mu \nu }}$en electromagnetismo .
• La forma de volumen riemanniana en una variedad pseudoriemanniana .

• Matriz antisimétrica – Forma de una matriz Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento 
• Álgebra exterior – Álgebra asociada a cualquier espacio vectorial 
• Símbolo de Levi-Civita : objeto de permutación antisimétrica que actúa sobre tensores. 
• Cálculo de Ricci : notación de índices tensoriales para cálculos basados ​​en tensores. 
• Tensor simétrico : tensor invariante bajo permutaciones de los vectores sobre los que actúa. 
• Simetrización

• Penrose, Roger (2007). El camino a la realidad . Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 85–86 , §3.5. ISBN  0-7167-0344-0.

• Tensor antisimétrico – mathworld.wolfram.com