Espacio totalmente delimitado

En topología y ramas afines de las matemáticas , la acotación total es una generalización de la compacidad para circunstancias en las que un conjunto no es necesariamente cerrado . Un conjunto totalmente acotado puede ser cubierto por un número finito de subconjuntos de cualquier "tamaño" fijo (donde el significado de "tamaño" depende de la estructura del espacio ambiente ).

El término precompacto (o pre-compacto ) se usa a veces con el mismo significado, pero también se utiliza para referirse a relativamente compacto . Estas definiciones coinciden para subconjuntos de un espacio métrico completo , pero no en general.

Un espacio métrico${\displaystyle (M,d)}$está totalmente acotada si y solo si para cada número real${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe una colección finita de bolas abiertas de radio${\displaystyle \varepsilon }$ cuyos centros se encuentran en M y cuya unión contiene M. Equivalentemente, el espacio métrico M es totalmente acotado si y solo si para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$Existe una cubierta finita tal que el radio de cada elemento de la cubierta es como máximo${\displaystyle \varepsilon }$Esto es equivalente a la existencia de una ε-red finita . ^{[ 1 ]} Un espacio métrico es totalmente acotado si y solo si toda sucesión admite una subsucesión de Cauchy ; en espacios métricos completos, un conjunto es compacto si y solo si es cerrado y totalmente acotado. ^{[ 2 ]}

Todo espacio totalmente acotado es acotado (como la unión de un número finito de conjuntos acotados es acotada). Lo contrario es cierto para subconjuntos del espacio euclidiano (con la topología de subespacio ), pero no en general. Por ejemplo, un conjunto infinito equipado con la métrica discreta es acotado pero no totalmente acotado: ^{[ 3 ]} toda bola discreta de radio${\displaystyle \varepsilon =1/2}$o menos es un singleton, y ninguna unión finita de singletons puede cubrir un conjunto infinito.

• En un espacio métrico, todo conjunto compacto está totalmente acotado.
• Todo conjunto totalmente acotado es acotado. ^{[ 5 ] [ 3 ]}
• Un subconjunto de la recta real , o más generalmente del espacio euclidiano de dimensión finita , es totalmente acotado si y solo si es acotado .
• En términos más generales, si un espacio métrico tiene la propiedad de Heine-Borel , entonces un subconjunto es acotado si y solo si es totalmente acotado.
• La bola unitaria en un espacio de Hilbert , o más generalmente en un espacio de Banach , es totalmente acotada (en la topología de la norma) si y solo si el espacio tiene dimensión finita .
• Las funciones acotadas equicontinuas en un conjunto compacto son precompactas en la topología uniforme ; este es el teorema de Arzelà-Ascoli .
• Un espacio métrico es separable si y solo si es homeomorfo a un espacio métrico totalmente acotado. ^{[ 3 ]}
• El cierre de un subconjunto totalmente acotado es también totalmente acotado. ^{[ 6 ]}

Aunque la noción de acotación total está estrechamente ligada a los espacios métricos, la mayor estructura algebraica de los grupos topológicos permite prescindir de algunas propiedades de separación . Por ejemplo, en los espacios métricos, un conjunto es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado. Según la definición que se presenta a continuación, lo mismo se aplica a cualquier espacio vectorial topológico (no necesariamente de Hausdorff ni completo). ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

La forma lógica general de la definición es: un subconjunto${\displaystyle S}$de un espacio${\displaystyle X}$está totalmente acotado si y solo si, dado cualquier tamaño${\displaystyle E,}$existe una cobertura finita${\displaystyle {\mathcal {O}}}$de${\displaystyle S}$de tal manera que cada elemento de${\displaystyle {\mathcal {O}}}$tiene tamaño como máximo${\displaystyle E.}$${\displaystyle X}$entonces está totalmente acotado si y solo si está totalmente acotado cuando se considera como un subconjunto de sí mismo.

Adoptamos la convención de que, para cualquier vecindario${\displaystyle U\subsetequ X}$de la identidad, un subconjunto${\displaystyle S\subsetequ X}$se llama ( izquierda )${\displaystyle U}$-pequeño si y solo si${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$^{[ 6 ]} Un subconjunto${\displaystyle S}$de un grupo topológico${\displaystyle X}$es ( izquierda ) totalmente acotada si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Definición : Para cualquier vecindario${\displaystyle U}$de la identidad${\displaystyle 0,}$existen un número finito de${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$de tal manera que${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right).}$
2. Para cualquier vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle 0,}$existe un subconjunto finito${\displaystyle F\subsetequ X}$de tal manera que${\displaystyle S\subseteq F+U}$(donde el lado derecho es la suma de Minkowski)${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$).
3. Para cualquier vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle 0,}$existen un número finito de subconjuntos${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$y cada uno${\displaystyle B_{j}}$es${\displaystyle U}$-pequeño. ^{[ 6 ]}
4. Para cualquier subbase de filtro dada${\displaystyle {\mathcal {B}}}$del filtro de vecindario del elemento de identidad${\displaystyle {\mathcal {N}}}$(que consta de todos los barrios de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle X}$) y por cada${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$existe una cubierta de${\displaystyle S}$por un número finito${\displaystyle B}$-pequeños subconjuntos de${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
5. ${\displaystyle S}$está acotado por Cauchy : para cada vecindario${\displaystyle U}$de la identidad y cada subconjunto infinito numerable${\displaystyle I}$de${\displaystyle S,}$existen distintos${\displaystyle x,y\in I}$de tal manera que${\displaystyle xy\in U.}$^{[ 6 ]} (Si${\displaystyle S}$Si es finito, entonces esta condición se satisface trivialmente ).
6. Cualquiera de los siguientes tres conjuntos satisface (cualquiera de las definiciones anteriores de) estar totalmente acotado (por la izquierda):
   1. El cierre${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$de${\displaystyle S}$en${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
      • El hecho de que este conjunto esté en la lista significa que se cumple la siguiente caracterización:${\displaystyle S}$está (izquierda) totalmente acotada si y solo si${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$es (izquierda) totalmente acotado (según cualquiera de las condiciones definitorias mencionadas anteriormente). La misma caracterización se aplica a los demás conjuntos que se enumeran a continuación.
   2. La imagen de${\displaystyle S}$bajo el cociente canónico${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$que se define por${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$(dónde${\displaystyle 0}$es el elemento identidad).
   3. La suma${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$^{[ 9 ]}

El término precompacto suele aparecer en el contexto de los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff. ^{[ 10 ] [ 11 ]} En ese caso, las siguientes condiciones también son todas equivalentes a${\displaystyle S}$estando (izquierda) totalmente limitado:

7. En la finalización${\displaystyle {\widehat {X}}}$de${\displaystyle X,}$el cierre${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$de${\displaystyle S}$es compacto. ^{[ 10 ] [ 12 ]}
8. Cada ultrafiltro en${\displaystyle S}$es un filtro de Cauchy .

La definición de derecho totalmente acotado es análoga: simplemente hay que intercambiar el orden de los productos.

La condición 4 implica cualquier subconjunto de${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$es totalmente acotado (de hecho, compacto; véase la sección  Comparación con conjuntos compactos más arriba). Si${\displaystyle X}$Entonces, por ejemplo, no es Hausdorff.${\displaystyle \{0\}}$es un conjunto completo compacto que no es cerrado. ^{[ 6 ]}

• Espacio compacto
• Espacio localmente compacto
• Medida de no compacidad
• Espacio ortocompacto
• Espacio paracompacto
• Subespacio relativamente compacto