Matriz totalmente positiva

En matemáticas , una matriz totalmente positiva es una matriz cuadrada en la que todos los menores son positivos: es decir, el determinante de cada submatriz cuadrada es un número positivo. ^{[ 1 ]} Una matriz totalmente positiva tiene todas sus entradas positivas, por lo que también es una matriz positiva ; y tiene todos sus menores principales positivos (y autovalores positivos ). Por lo tanto, una matriz totalmente positiva simétrica es también definida positiva . Una matriz totalmente no negativa se define de manera similar, excepto que todos sus menores deben ser no negativos (positivos o cero). Algunos autores usan el término "totalmente positiva" para incluir todas las matrices totalmente no negativas.

Dejar${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$ Sea una matriz n × n . Considere cualquier${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots ,n\}}$y cualquier submatriz p × p de la forma${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$ dónde:

${\displaystyle 1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.}$

Entonces A es una matriz totalmente positiva si: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )>0}$

para todas las submatrices${\displaystyle \mathbf {B} }$que se puede formar de esta manera.

Los temas que históricamente llevaron al desarrollo de la teoría de la positividad total incluyen el estudio de: ^{[ 2 ]}

• las propiedades espectrales de los núcleos y matrices que son totalmente positivas,
• ecuaciones diferenciales ordinarias cuya función de Green es totalmente positiva, que surge en la teoría de las vibraciones mecánicas (por MG Krein y algunos colegas a mediados de la década de 1930),
• las propiedades de disminución de la variación (iniciado por IJ Schoenberg en 1930),
• Funciones de frecuencia de Pólya (por IJ Schoenberg a finales de la década de 1940 y principios de la de 1950).

Teorema. (Gantmacher, Krein, 1941) ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle 0<x_{0}<\dots <x_{n}}$son números reales positivos, entonces la matriz de Vandermonde$${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}}$$es totalmente positivo.

En términos más generales, dejemos${\displaystyle \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$sean números reales, y dejemos que${\displaystyle 0<x_{0}<\dots <x_{n}}$sean números reales positivos, entonces la matriz de Vandermonde generalizada${\displaystyle V_{ij}=x_{i}^{\alpha _{j}}}$es totalmente positivo.

Prueba (esbozo). Basta con probar el caso donde${\displaystyle \alpha _{0}=0,\dots ,\alpha _{n}=n}$.

El caso donde${\displaystyle 0\leq \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$son números reales positivos racionales se reduce al caso anterior. Conjunto${\displaystyle p_{i}/q_{i}=\alpha _{i}}$, entonces deja${\displaystyle x'_{i}:=x_{i}^{1/q_{i}}}$Esto demuestra que la matriz es un subconjunto de una matriz de Vandermonde mayor, por lo que también es totalmente positiva.

El caso donde${\displaystyle 0\leq \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$son números reales positivos se reduce al caso anterior tomando el límite de aproximaciones racionales.

El caso donde${\displaystyle \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$son números reales se reduce al caso anterior. Sea${\displaystyle \alpha _{i}'=\alpha _{i}-\alpha _{0}}$y definir${\displaystyle V_{ij}'=x_{i}^{\alpha _{j}'}}$. Ahora bien, según el caso anterior,${\displaystyle V'}$es totalmente positivo al señalar que cualquier menor de${\displaystyle V}$es el producto de una matriz diagonal con entradas positivas y un menor de${\displaystyle V'}$, por lo que su determinante también es positivo.

Para el caso donde${\displaystyle \alpha _{0}=0,\dots ,\alpha _{n}=n}$, véase ( Fallat y Johnson 2011 , p. 74) . 

• Matriz compuesta

• Allan Pinkus (2009), Matrices totalmente positivas , Cambridge University Press , ISBN 9780521194082
• Fallat, Shaun M.; Johnson, Charles R., eds. (2011). Matrices totalmente no negativas . Serie Princeton en matemáticas aplicadas. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12157-4.

• Propiedades espectrales de núcleos y matrices totalmente positivos, Allan Pinkus
• Parametrizaciones de bases canónicas y matrices totalmente positivas, Arkady Berenstein
• Multiplicidades de productos tensoriales, bases canónicas y variedades totalmente positivas (2001), A. Berenstein, A. Zelevinsky