Función sumativa totient

En teoría de números , la función sumatoria totiente${\displaystyle \Phi (n)}$ es una función sumatoria de la función totiente de Euler definida por

${\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbb {N} .}$

Es el número de pares ordenados de enteros coprimos ( p , q ) , donde 1 ≤ p ≤ q ≤ n .

Los primeros valores son 0, 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, 32, ... (secuencia A002088 en el OEIS ) . Los valores para potencias de 10 son 1, 32, 3044, 304192, 30397486, 3039650754, ... (secuencia A064018 en el OEIS ) .

La siguiente identidad se cumple para todos los reales.${\displaystyle n\geq 0}$:

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}\Phi \left({\frac {n}{d}}\right)={\frac {1}{2}}\lfloor n\rfloor \lfloor n+1\rfloor }$.

Esto proporciona una recurrencia implícita para la función sumatoria totiente. ^{[ 1 ] : 138}

Aplicando la inversión de Möbius a la función totiente o a la identidad anterior se obtiene:

${\displaystyle \Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \right),}$

dónde${\displaystyle \mu (n)}$es la función de Möbius . Entonces se puede demostrar que Φ( n ) tiene la expansión asintótica.

${\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n\log n\right),}$

donde ζ(2) es la función zeta de Riemann evaluada en 2, que es${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. ^{[ 1 ] : 462–463 [ 2 ]}

La función sumatoria del recíproco del totiente es

${\displaystyle S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}.}$

Edmund Landau demostró en 1900 que esta función tiene el comportamiento asintótico ^{[ 3 ].}

${\displaystyle S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right),}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ,

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right),}$

y

${\displaystyle B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).}$

La constante A  =  1,943596... se conoce a veces como la constante totiente de Landau . La suma${\displaystyle \textstyle \sum _ {k=1}^{\infty }1/(k\;\varphi (k))}$converge a

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots .}$

En este caso, el producto sobre los primos en el lado derecho es una constante conocida como constante sumatoria totiente , ^{[ 4 ]} y su valor es

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots .}$

• Función aritmética

• Weisstein, Eric W. "Función sumatoria totiente" . MathWorld .

• Función sumatoria de OEIS Totient
• Expansión decimal del producto constante totient(1 + 1/(p^2*(p-1))), p primo >= 2)