Tetración

La exponencial${\displaystyle 0^{0}}$no está definido de manera consistente. Por lo tanto, las tetraciones${\displaystyle {^{n}0}}$no están claramente definidos por la fórmula dada anteriormente. Sin embargo,${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$está bien definido y existe: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

Por lo tanto, podríamos definir de manera consistente${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$Esto es análogo a definir${\displaystyle 0^{0}=1}$.

Bajo esta extensión,${\displaystyle {}^{0}0=1}$, por lo tanto la regla${\displaystyle {^{0}a}=1}$La definición original sigue siendo válida.

Dado que los números complejos pueden elevarse a potencias, la tetración puede aplicarse a bases de la forma z = a + bi (donde a y b son reales). Por ejemplo, en ⁿ z con z = i , la tetración se logra utilizando la rama principal del logaritmo natural ; utilizando la fórmula de Euler obtenemos la relación:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

Esto sugiere una definición recursiva para ^{n +1} i = a′ + b′i dado cualquier ⁿ i = a + bi :

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

Se pueden obtener los siguientes valores aproximados:

Al resolver la relación inversa, como en la sección anterior, se obtienen los valores esperados ⁰ i = 1 y ⁻¹ i = 0 , con valores negativos de n que dan resultados infinitos en el eje imaginario. Representada en el plano complejo , toda la secuencia tiende a una espiral hasta el límite 0,4383 + 0,3606 i , que podría interpretarse como el valor donde n es infinito.

Estas secuencias de tetración se han estudiado desde la época de Euler, pero su comportamiento caótico dificulta su comprensión. Históricamente, la mayor parte de la investigación publicada se ha centrado en la convergencia de la función exponencial iterada infinitamente. La investigación actual se ha beneficiado enormemente del desarrollo de potentes ordenadores con software para matemáticas fractales y simbólicas. Gran parte de lo que se sabe sobre la tetración proviene del conocimiento general de la dinámica compleja y de la investigación específica del mapa exponencial.

La tetración puede extenderse a alturas infinitas ; es decir, para ciertos valores de a en${\displaystyle {}^{n}a}$, existe un resultado bien definido para un n infinito . Esto se debe a que, para bases dentro de un cierto intervalo, la tetración converge a un valor finito a medida que la altura tiende a infinito . Por ejemplo,${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}}}}$converge a 2 y, por lo tanto, se puede decir que es igual a 2. La tendencia hacia 2 se puede observar evaluando una pequeña torre finita:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

En general, la exponencial iterada infinitamente${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{x^{x}}}}}$, definido como el límite de${\displaystyle {}^{n}x}$Cuando n tiende a infinito, converge para e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} , aproximadamente el intervalo de 0,066 ^{[ 11 ]} a 1,44, ^{[ 12 ]} un resultado demostrado por Leonhard Euler . ^{[ 13 ]} El límite y , si existe, es una solución real positiva de la ecuación y = x ^y . Por lo tanto, x = y ^{1/ y} . El límite que define la exponencial infinita de x no existe cuando x > e ^{1/ e} porque el máximo de y ^{1/ y} es e ^{1/ e} . El límite tampoco existe cuando 0 < x < e ^{− e} .

Esto puede extenderse a los números complejos z con la siguiente definición:

${\displaystyle {}^{\infty }z=\cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=e^{-\mathrm {W} (-\ln {z})}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

donde W representa la función W de Lambert . Esta fórmula se deduce de la suposición de que ${\displaystyle \cdot ^{\cdot ^{z^{z^{z}}}}=a}$converge y por lo tanto${\displaystyle z^{a}=a}$,${\displaystyle z=a^{1/a}}$,${\displaystyle 1/z=(1/a)^{1/a}={}^{2}(1/a)}$, y${\displaystyle 1/a=\mathrm {ssrt} (1/z)=e^{W(\ln(1/z))}}$(véase la superraíz cuadrada más abajo).

Como el límite y = ^∞ x (si existe en la recta real positiva, es decir, para e ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e} ) debe satisfacer x ^y = y vemos que x ↦ y = ^∞ x es (la rama inferior de) la función inversa de y ↦ x = y ^{1/ y} .

Podemos invertir la regla recursiva para la tetración,

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

escribir:

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right).}$

Sustituyendo −1 por k se obtiene

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$. ^{[ 14 ]}

Los valores negativos más pequeños no pueden definirse bien de esta manera. Sustituyendo −2 por k en la misma ecuación se obtiene

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

lo cual no está bien definido. Sin embargo, a veces pueden considerarse conjuntos. ^{[ 14 ]}

Para${\displaystyle a=1}$cualquier definición de${\displaystyle {^{-1}a}}$es coherente con la regla. Específicamente,${\displaystyle {^{-1}1}}$podría ser cualquier valor${\displaystyle z}$porque​

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{z}}$para cualquier${\displaystyle z={^{-1}1}}$.

Una aproximación lineal (solución al requisito de continuidad, aproximación al requisito de diferenciabilidad) viene dada por:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

por eso:

y así sucesivamente. Sin embargo, solo es diferenciable por partes; en valores enteros de x , la derivada se multiplica por${\displaystyle \ln {a}}$Es continuamente diferenciable para${\displaystyle x>-2}$si y solo si${\displaystyle a=e}$Por ejemplo, utilizando estos métodos${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$y${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

Un teorema principal en el artículo de Hooshmand ^{[ 6 ]} establece: Sea${\displaystyle 0<a\neq 1}$. Si${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$es continua y satisface las condiciones:

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}}$a pesar de${\displaystyle x>-1}$y${\displaystyle f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$es diferenciable en (−1, 0) ,
• ${\displaystyle f^{\prime }}$es una función no decreciente o no creciente en (−1, 0) , y
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right),}$

entonces${\displaystyle f}$está determinado de forma única a través de la ecuación

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))}$a pesar de${\displaystyle x>-2,}$

dónde${\displaystyle (x)=x-[x]}$denota la parte fraccionaria de x y${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$es el${\displaystyle [x]}$- función iterada de la función${\displaystyle \exp _{a}}$.

La prueba es que las condiciones segunda a cuarta implican trivialmente que f es una función lineal en [ −1, 0 ] .

La aproximación lineal a la función de tetración natural${\displaystyle {}^{x}e}$es continuamente diferenciable, pero su segunda derivada no existe en valores enteros de su argumento. Hooshmand derivó otro teorema de unicidad para ella que establece:

Si${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$es una función continua que satisface

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$a pesar de${\displaystyle x>-1}$y${\displaystyle f(0)=1}$,
• ${\displaystyle f}$es convexa en (−1, 0) y
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right)}$,

entonces${\displaystyle f={\text{uxp}}}$. (Aquí${\displaystyle f={\text{uxp}}}$(Es el nombre que Hooshmand le da a la aproximación lineal a la función de tetración natural).

La demostración es prácticamente la misma que antes; la ecuación de recursión garantiza que${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$y entonces la condición de convexidad implica que${\displaystyle f}$es lineal en (−1, 0) .

Por lo tanto, la aproximación lineal a la tetración natural es la única solución de la ecuación.${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}}$para${\displaystyle x>-1}$y${\displaystyle f(0)=1}$que es convexa en (−1, +∞) . Todas las demás soluciones suficientemente diferenciables deben tener un punto de inflexión en el intervalo (−1, 0) .

Más allá de las aproximaciones lineales, una aproximación cuadrática (al requisito de diferenciabilidad) viene dada por:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

que es diferenciable para todos${\displaystyle x>0}$, pero no dos veces diferenciable. Por ejemplo,${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$Si${\displaystyle a=e}$Esto es lo mismo que la aproximación lineal. ^{[ 1 ]}

Debido a la forma en que se calcula, esta función no se "cancela", a diferencia de los exponentes, donde${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$. Es decir,

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$.

Así como existe una aproximación cuadrática, también existen aproximaciones cúbicas y métodos para generalizar a aproximaciones de grado n , aunque son mucho más difíciles de manejar. ^{[ 1 ] [ 15 ]}

La superraíz de segundo orden , superraíz cuadrada o superraíz cuadrada tiene dos notaciones equivalentes,${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$y${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$Es lo contrario de${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$y puede representarse con la función W de Lambert : ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=\exp(W(\ln x))={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$o

${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln x)}}$

La función también ilustra la naturaleza reflexiva de las funciones raíz y logaritmo, ya que la ecuación siguiente solo es verdadera cuando${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$:

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

Al igual que las raíces cuadradas , la superraíz cuadrada de x puede no tener una única solución. A diferencia de las raíces cuadradas, determinar el número de superraíces cuadradas de x puede ser difícil. En general, si${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$, entonces x tiene dos superraíces cuadradas positivas entre 0 y 1 calculadas usando fórmulas:${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=\left\{e^{W_{-1}(\ln x)};e^{W_{0}(\ln x)}\right\}}$; y si${\displaystyle x>1}$, entonces x tiene una superraíz cuadrada positiva mayor que 1 calculada usando fórmulas:${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W_{0}(\ln x)}}$. Si x es positivo y menor que${\displaystyle e^{-1/e}}$No tiene raíces cuadradas reales , pero la fórmula dada anteriormente produce infinitas raíces complejas numerables para cualquier x finito distinto de 1. ^{[ 20 ]} La función se ha utilizado para determinar el tamaño de los clústeres de datos . ^{[ 21 ]}

En${\displaystyle x=1}$:

$${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=1+(x-1)-(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{3}-{\frac {17}{6}}(x-1)^{4}+{\frac {37}{6}}(x-1)^{5}-{\frac {1759}{120}}(x-1)^{6}+{\frac {13279}{360}}(x-1)^{7}+{\mathcal {O}}{\left((x-1)^{8}\right)}}$$

Una de las fórmulas más simples y rápidas para una superraíz de tercer grado es la fórmula recursiva. Si${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$entonces se puede utilizar:

• ${\displaystyle x_{0}=1}$
• ${\displaystyle x_{n+1}=\exp(W(W(x_{n}\ln y)))}$

Esta fórmula recursiva utiliza la representación explícita de la superraíz cuadrada a través de la función W de Lambert dada anteriormente, como podemos representar${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$en forma de${\displaystyle y^{x}=(x^{x})^{(x^{x})}}$y aplicar la superraíz cuadrada dos veces:${\displaystyle x=\mathrm {ssrt} (\mathrm {ssrt} (y^{x}))}$.

Para cada entero n > 2 , la función ⁿ x está definida y es creciente para x ≥ 1 , y ⁿ 1 = 1 , de modo que la n -ésima superraíz de x ,${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$, existe para x ≥ 1 .

Sin embargo, si se utiliza la aproximación lineal anterior , entonces${\displaystyle ^{y}x=y+1}$si −1 < y ≤ 0 , entonces${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$no puede existir.

De la misma manera que la superraíz cuadrada, la terminología para otras superraíces puede basarse en las raíces normales : las "superraíces cúbicas" pueden expresarse como${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$; la "cuarta superraíz" se puede expresar como${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$; y la " n- ésima superraíz" es${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$puede que no esté definida de forma única, porque puede haber más de una raíz n- ^ésima . Por ejemplo, x tiene una única superraíz (real) si n es impar , y hasta dos si n es par .

Al igual que con la extensión de la tetración a alturas infinitas, la superraíz puede extenderse a n = ∞ , estando bien definida si 1/ e ≤ x ≤ e . Nótese que${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$y por lo tanto que${\displaystyle y=x^{1/x}}$. Por lo tanto, cuando está bien definido,${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$y, a diferencia de la tetración normal, es una función elemental . Por ejemplo,${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$.

Del teorema de Gelfond-Schneider se deduce que la superraíz${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$para cualquier entero positivo n es entero o trascendental , y${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$es entero o irracional. ^{[ 22 ]} Todavía es una cuestión abierta si las superraíces irracionales son trascendentales en este último caso.