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Desigualdad de traza

En matemáticas , existen muchos tipos de desigualdades que involucran matrices y operadores lineales en espacios de Hilbert . Este artículo cubre algunas desigualdades de operad...

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En matemáticas , existen muchos tipos de desigualdades que involucran matrices y operadores lineales en espacios de Hilbert . Este artículo cubre algunas desigualdades de operadores importantes relacionadas con trazas de matrices. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

Definiciones básicas

DejarHnorte{\displaystyle \mathbf {H} _{n}}denota el espacio de Hermitianonorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices,Hnorte+{\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{+}}denotamos el conjunto que consta de semidefinidos positivosnorte×norte{\displaystyle n\times n}Matrices hermíticas yHnorte++{\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}denotamos el conjunto de matrices hermíticas definidas positivas . Para operadores en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, requerimos que sean de clase traza y autoadjuntos , en cuyo caso se aplican definiciones similares, pero por simplicidad solo trataremos matrices.

Para cualquier función de valor realF{\displaystyle f}a intervalosI⊆R,{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}se puede definir una función matricialF(A){\displaystyle f(A)}para cualquier operadorA∈Hnorte{\displaystyle A\in \mathbf {H} _{n}}con valores propiosλ{\displaystyle \lambda }enI{\displaystyle I}definiéndolo en los valores propios y los proyectores correspondientesPAG{\displaystyle P}como F(A)≡∑jF(λj)PAGj ,{\displaystyle f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,} dada la descomposición espectralA=∑jλjPAGj.{\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}

Operador monótono

Una funciónF:I→R{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }definido en un intervaloI⊆R{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }Se dice que es un operador monótono si para todosnorte,{\displaystyle n,}y todoA,B∈Hnorte{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}con valores propios enI,{\displaystyle I,}Se cumple lo siguiente: A≥B⟹F(A)≥F(B),{\displaystyle A\geq B\implies f(A)\geq f(B),} donde la desigualdadA≥B{\displaystyle A\geq B}significa que el operadorA−B≥0{\displaystyle A-B\geq 0}es semidefinido positivo. Uno puede comprobar queF(A)=A2{\displaystyle f(A)=A^{2}}¡De hecho, no es un operador monótono!

Operador convexo

Una funciónF:I→R{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }Se dice que un operador es convexo si para todonorte{\displaystyle n}y todoA,B∈Hnorte{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}} con valores propios enI,{\displaystyle I,}y0<λ<1{\displaystyle 0<\lambda <1}, lo siguiente se cumple F(λA+(1−λ)B)≤λF(A)+(1−λ)F(B).{\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).} Tenga en cuenta que el operadorλA+(1−λ)B{\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}tiene valores propios enI,{\displaystyle I,}desdeA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}tienen valores propios enI.{\displaystyle I.}

Una funciónF{\displaystyle f}esoperador cóncavo si−F{\displaystyle -f}es operador convexo; es decir, la desigualdad anterior paraF{\displaystyle f}se invierte.

convexidad conjunta

Una funcióngramo:I×J→R,{\displaystyle g:I\times J\to \mathbb {R} ,}definido en intervalosI,J⊆R{\displaystyle I,J\subseteq \mathbb {R} }Se dice queconjuntamente convexo si para todonorte{\displaystyle n}y todo A1,A2∈Hnorte{\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}con valores propios enI{\displaystyle I}y todoB1,B2∈Hnorte{\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}con valores propios enJ,{\displaystyle J,}y cualquier0≤λ≤1{\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}lo siguiente se cumple gramo(λA1+(1−λ)A2,λB1+(1−λ)B2) ≤ λgramo(A1,B1)+(1−λ)gramo(A2,B2).{\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})~\leq ~\lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}

Una funcióngramo{\displaystyle g}escóncavo conjunto si −gramo{\displaystyle g}es conjuntamente convexa, es decir, la desigualdad anterior paragramo{\displaystyle g}se invierte.

Función de rastreo

Dada una funciónF:R→R,{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}la función de traza asociada enHnorte{\displaystyle \mathbf {H} _{n}}es dado por A↦Tran⁡F(A)=∑jF(λj),{\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),} dóndeA{\displaystyle A}tiene valores propiosλ{\displaystyle \lambda }yTran{\displaystyle \operatorname {Tr} }representa un rastro del operador.

Convexidad y monotonicidad de la función traza

DejarF:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }sea ​​continua, y sea n cualquier entero . Entonces, sit↦F(t){\displaystyle t\mapsto f(t)}es monótono creciente, por lo que esA↦Tran⁡F(A){\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}en H n .

Asimismo, sit↦F(t){\displaystyle t\mapsto f(t)}es convexo , por lo tanto también lo esA↦Tran⁡F(A){\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}en H n , y es estrictamente convexa si f es estrictamente convexa.

Véase la demostración y la discusión en [ 1 ] , por ejemplo.

Teorema de Löwner-Heinz

Para−1≤pag≤0{\displaystyle -1\leq p\leq 0}, la funciónF(t)=−tpag{\displaystyle f(t)=-t^{p}}es operador monótono y operador cóncavo.

Para0≤pag≤1{\displaystyle 0\leq p\leq 1}, la funciónF(t)=tpag{\displaystyle f(t)=t^{p}}es operador monótono y operador cóncavo.

Para1≤pag≤2{\displaystyle 1\leq p\leq 2}, la funciónF(t)=tpag{\displaystyle f(t)=t^{p}}es un operador convexo. Además,

F(t)=registro⁡(t){\displaystyle f(t)=\log(t)}es operador cóncavo y operador monótono, mientras que
F(t)=tregistro⁡(t){\displaystyle f(t)=t\log(t)}es un operador convexo.

La demostración original de este teorema se debe a K. Löwner, quien proporcionó una condición necesaria y suficiente para que f sea un operador monótono. [ 5 ] Una demostración elemental del teorema se discute en [ 1 ] y una versión más general en [ 6 ] .

La desigualdad de Klein

Para todas las matrices hermíticas n × n A y B y todas las funciones convexas diferenciablesF:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } con derivada f ' , o para todas las matrices hermíticas n × n definidas positivas A y B , y todas las funciones convexas diferenciables f :(0,∞) →R{\displaystyle \mathbb {R} }Se cumple la siguiente desigualdad:

Tran⁡[F(A)−F(B)−(A−B)F′(B)]≥0 .{\displaystyle \operatorname {Tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0~.}

En cualquier caso, si f es estrictamente convexa, la igualdad se cumple si y solo si A = B. Una opción popular en las aplicaciones es f ( t ) = t log t , véase más abajo.

Prueba

Dejardo=A−B{\displaystyle C=A-B}para que, port∈(0,1){\displaystyle t\in (0,1)},

B+tdo=(1−t)B+tA{\displaystyle B+tC=(1-t)B+tA},

varía deB{\displaystyle B}aA{\displaystyle A}.

Definir

F(t)=Tran⁡[F(B+tdo)]{\displaystyle F(t)=\operatorname {Tr} [f(B+tC)]}.

Por convexidad y monotonicidad de las funciones traza, F(t){\displaystyle F(t)}es convexa, y por lo tanto para todot∈(0,1){\displaystyle t\in (0,1)},

F(0)+t(F(1)−F(0))≥F(t){\displaystyle F(0)+t(F(1)-F(0))\geq F(t)},

que es,

F(1)−F(0)≥F(t)−F(0)t{\displaystyle F(1)-F(0)\geq {\frac {F(t)-F(0)}{t}}},

y, de hecho, el lado derecho es monótono decreciente ent{\displaystyle t}.

Tomar el límitet→0{\displaystyle t\to 0}rendimientos,

F(1)−F(0)≥F′(0){\displaystyle F(1)-F(0)\geq F'(0)},

que, con reordenamiento y sustitución, es la desigualdad de Klein:

tr[F(A)−F(B)−(A−B)F′(B)]≥0{\displaystyle \mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0}

Tenga en cuenta que siF(t){\displaystyle f(t)}es estrictamente convexa ydo≠0{\displaystyle C\neq 0}, entonces F(t){\displaystyle F(t)}es estrictamente convexa. La afirmación final se deduce de esto y del hecho de queF(t)−F(0)t{\displaystyle {\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}}es monótona decreciente ent{\displaystyle t}.

Desigualdad de Golden-Thompson

En 1965, S. Golden [ 7 ] y CJ Thompson [ 8 ] descubrieron independientemente que

Para cualquier matrizA,B∈Hnorte{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}},

Tran⁡miA+B≤Tran⁡miAmiB.{\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}

Esta desigualdad puede generalizarse para tres operadores: [ 9 ] para operadores no negativosA,B,do∈Hnorte+{\displaystyle A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}},

Tran⁡miln⁡A−ln⁡B+ln⁡do≤∫0∞Tran⁡A(B+t)−1do(B+t)−1d⁡t.{\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1}C(B+t)^{-1}\,\operatorname {d} t.}

Desigualdad de Peierls-Bogoliubov

DejarR,F∈Hnorte{\displaystyle R,F\in \mathbf {H} _{n}}sea ​​tal que Tr e R = 1. Definiendo g = Tr Fe R , tenemos

Tran⁡miFmiR≥Tran⁡miF+R≥migramo.{\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}

La demostración de esta desigualdad se deduce de lo anterior combinado con la desigualdad de Klein . Tomemos f ( x ) = exp( x ), A = R + F y B = R + gI . [ 10 ]

Principio variacional de Gibbs

DejarH{\displaystyle H}sea ​​un operador autoadjunto tal quemi−H{\displaystyle e^{-H}}es la clase de rastreo . Entonces, para cualquierγ≥0{\displaystyle \gamma \geq 0}conTran⁡γ=1,{\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma =1,}

Tran⁡γH+Tran⁡γln⁡γ≥−ln⁡Tran⁡mi−H,{\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},}

con igualdad si y solo siγ=exp⁡(−H)/Tran⁡exp⁡(−H).{\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).}

Teorema de concavidad de Lieb

El siguiente teorema fue demostrado por EH Lieb en [ 9 ] . Demuestra y generaliza una conjetura de EP Wigner , MM Yanase y Freeman Dyson [ 11 ] . Seis años después, T. Ando [ 12 ] y B. Simon [ 3 ] dieron otras demostraciones , y desde entonces se han dado varias más.

A pesar demetro×norte{\displaystyle m\times n}matricesK{\displaystyle K}y todosq{\displaystyle q}yr{\displaystyle r}de tal manera que0≤q≤1{\displaystyle 0\leq q\leq 1}y0≤r≤1{\displaystyle 0\leq r\leq 1}, conq+r≤1{\displaystyle q+r\leq 1}el mapa de valor real enHmetro+×Hnorte+{\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}}dado por

F(A,B,K)=Tran⁡(K∗AqKBr){\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})}
  • es conjuntamente cóncavo en(A,B){\displaystyle (A,B)}
  • es convexo enK{\displaystyle K}.

AquíK∗{\displaystyle K^{*}}representa el operador adjunto deK.{\displaystyle K.}

Teorema de Lieb

Para una matriz hermitiana fijaL∈Hnorte{\displaystyle L\in \mathbf {H} _{n}}, la función

F(A)=Tran⁡exp⁡{L+ln⁡A}{\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}

es cóncavo enHnorte++{\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}.

El teorema y su demostración se deben a E. H. Lieb, [ 9 ] Thm 6, donde obtiene este teorema como corolario del teorema de concavidad de Lieb. La demostración más directa se debe a H. Epstein; [ 13 ] véanse los trabajos de M. B. Ruskai , [ 14 ] [ 15 ] para una revisión de este argumento.

Teorema de convexidad de Ando

La demostración de T. Ando [ 12 ] del teorema de concavidad de Lieb condujo al siguiente complemento significativo:

A pesar demetro×norte{\displaystyle m\times n}matricesK{\displaystyle K}y todos1≤q≤2{\displaystyle 1\leq q\leq 2}y0≤r≤1{\displaystyle 0\leq r\leq 1}conq−r≥1{\displaystyle q-r\geq 1}, el mapa de valor real enHmetro++×Hnorte++{\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}}dado por

(A,B)↦Tran⁡(K∗AqKB−r){\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})}

es convexo.

Convexidad conjunta de la entropía relativa

Para dos operadoresA,B∈Hnorte++{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}}define el siguiente mapa

R(A∥B):=Tran⁡(Aregistro⁡A)−Tran⁡(Aregistro⁡B).{\displaystyle R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).}

Para matrices de densidadρ{\displaystyle \rho }yσ{\displaystyle \sigma }, el mapaR(ρ∥σ)=S(ρ∥σ){\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}es la entropía relativa cuántica de Umegaki .

Tenga en cuenta que la no negatividad deR(A∥B){\displaystyle R(A\parallel B)}se deduce de la desigualdad de Klein conF(t)=tregistro⁡t{\displaystyle f(t)=t\log t}.

Declaración

El mapaR(A∥B):Hnorte++×Hnorte++→R{\displaystyle R(A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}\rightarrow \mathbf {R} }es conjuntamente convexa.

Prueba

A pesar de0<pag<1{\displaystyle 0<p<1},(A,B)↦Tran⁡(B1−pagApag){\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})}es conjuntamente cóncava, por el teorema de concavidad de Lieb , y por lo tanto

(A,B)↦1pag−1(Tran⁡(B1−pagApag)−Tran⁡A){\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)}

es convexa. Pero

límitepag→11pag−1(Tran⁡(B1−pagApag)−Tran⁡A)=R(A∥B),{\displaystyle \lim _{p\rightarrow 1}{\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)=R(A\parallel B),}

y la convexidad se conserva en el límite.

La demostración se debe a G. Lindblad. [ 16 ]

El operador de Jensen y las desigualdades de traza

La versión para operadores de la desigualdad de Jensen se debe a C. Davis. [ 17 ]

Una función real y continuaF{\displaystyle f}a intervalosI{\displaystyle I}Satisface la desigualdad del operador de Jensen si se cumple lo siguiente.

F(∑kAk∗incógnitakAk)≤∑kAk∗F(incógnitak)Ak,{\displaystyle f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}

para operadores{Ak}k{\displaystyle \{A_{k}\}_{k}}con∑kAk∗Ak=1{\displaystyle \sum _{k}A_{k}^{*}A_{k}=1}y para operadores autoadjuntos{incógnitak}k{\displaystyle \{X_{k}\}_{k}}con espectro activadoI{\displaystyle I}.

Véase [ 17 ] [ 18 ] para la demostración de los dos teoremas siguientes.

Desigualdad de traza de Jensen

Sea f una función continua definida en un intervalo I y sean m y n números naturales. Si f es convexa, entonces tenemos la desigualdad

Tran⁡(F(∑k=1norteAk∗incógnitakAk))≤Tran⁡(∑k=1norteAk∗F(incógnitak)Ak),{\displaystyle \operatorname {Tr} {\Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}{\Bigr )},}

para todas las matrices autoadjuntas m × m ( X 1 , ... , X n ) con espectros contenidos en I y todas las matrices m × m ( A 1 , ... , A n ) con

∑k=1norteAk∗Ak=1.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}

Por el contrario, si la desigualdad anterior se satisface para algunos n y m , donde n > 1, entonces f es convexa.

Desigualdad del operador de Jensen

Para una función continuaF{\displaystyle f}definido en un intervaloI{\displaystyle I}Las siguientes condiciones son equivalentes:

  • F{\displaystyle f}es un operador convexo.
  • Para cada número naturalnorte{\displaystyle n}tenemos la desigualdad
F(∑k=1norteAk∗incógnitakAk)≤∑k=1norteAk∗F(incógnitak)Ak,{\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}

a pesar de(incógnita1,…,incógnitanorte){\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}operadores acotados y autoadjuntos en un espacio de Hilbert arbitrarioH{\displaystyle {\mathcal {H}}}con espectros contenidos enI{\displaystyle I}y todo(A1,…,Anorte){\displaystyle (A_{1},\ldots ,A_{n})}enH{\displaystyle {\mathcal {H}}}con∑k=1norteAk∗Ak=1.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}

  • F(V∗incógnitaV)≤V∗F(incógnita)V{\displaystyle f(V^{*}XV)\leq V^{*}f(X)V}para cada isometríaV{\displaystyle V}en un espacio de Hilbert de dimensión infinitaH{\displaystyle {\mathcal {H}}}y

cada operador autoadjuntoincógnita{\displaystyle X}con espectro enI{\displaystyle I}.

  • PAGF(PAGincógnitaPAG+λ(1−PAG))PAG≤PAGF(incógnita)PAG{\displaystyle Pf(PXP+\lambda (1-P))P\leq Pf(X)P}para cada proyecciónPAG{\displaystyle P}en un espacio de Hilbert de dimensión infinitaH{\displaystyle {\mathcal {H}}}, todo operador autoadjuntoincógnita{\displaystyle X}con espectro enI{\displaystyle I}y cadaλ{\displaystyle \lambda }enI{\displaystyle I}.

Desigualdad de Araki-Lieb-Thirring

EH Lieb y WE Thirring demostraron la siguiente desigualdad en [ 19 ] 1976: Para cualquierA≥0,{\displaystyle A\geq 0,}B≥0{\displaystyle B\geq 0}yr≥1,{\displaystyle r\geq 1,}Tran⁡((BAB)r) ≤ Tran⁡(BrArBr).{\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).}

En 1990 [ 20 ] H. Araki generalizó la desigualdad anterior a la siguiente: Para cualquierA≥0,{\displaystyle A\geq 0,}B≥0{\displaystyle B\geq 0}yq≥0,{\displaystyle q\geq 0,}Tran⁡((BAB)rq) ≤ Tran⁡((BrArBr)q),{\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),} parar≥1,{\displaystyle r\geq 1,}y Tran⁡((BrArBr)q) ≤ Tran⁡((BAB)rq),{\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})~\leq ~\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),} para0≤r≤1.{\displaystyle 0\leq r\leq 1.}

Hay varias otras desigualdades cercanas a la desigualdad de Lieb-Thirring, como las siguientes: [ 21 ] para cualquierA≥0,{\displaystyle A\geq 0,}B≥0{\displaystyle B\geq 0}yα∈[0,1],{\displaystyle \alpha \in [0,1],}Tran⁡(BAαBBA1−αB) ≤ Tran⁡(B2AB2),{\displaystyle \operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}),} y aún más generalmente: [ 22 ] para cualquierA≥0,{\displaystyle A\geq 0,}B≥0,{\displaystyle B\geq 0,}r≥1/2{\displaystyle r\geq 1/2}ydo≥0,{\displaystyle c\geq 0,}Tran⁡((BAB2doAB)r) ≤ Tran⁡((Bdo+1A2Bdo+1)r).{\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+1})^{r}).} La desigualdad anterior generaliza la anterior, como se puede ver intercambiandoA{\displaystyle A}porB2{\displaystyle B^{2}}yB{\displaystyle B}porA(1−α)/2{\displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}conα=2do/(2do+2){\displaystyle \alpha =2c/(2c+2)}y utilizando la ciclicidad de la traza, lo que lleva a Tran⁡((BAαBBA1−αB)r) ≤ Tran⁡((B2AB2)r).{\displaystyle \operatorname {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{2}AB^{2})^{r}).}

Además, partiendo de la desigualdad de Lieb-Thirring, se derivó la siguiente desigualdad: [ 23 ] Para cualquierA,B∈Hnorte,T∈donorte×norte{\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n},T\in \mathbb {C} ^{n\times n}}y todo1≤pag,q≤∞{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }con1/pag+1/q=1{\displaystyle 1/p+1/q=1}, sostiene que |Tran⁡(TAT∗B)| ≤ Tran⁡(T∗T|A|pag)1pagTran⁡(TT∗|B|q)1q.{\displaystyle |\operatorname {Tr} (TAT^{*}B)|~\leq ~\operatorname {Tr} (T^{*}T|A|^{p})^{\frac {1}{p}}\operatorname {Tr} (TT^{*}|B|^{q})^{\frac {1}{q}}.}

El teorema de Effros y su extensión

E. Effros en [ 24 ] demostró el siguiente teorema.

SiF(incógnita){\displaystyle f(x)}es una función convexa de operador, yL{\displaystyle L}yR{\displaystyle R}son operadores lineales acotados conmutativos, es decir, el conmutador[L,R]=LR−RL=0{\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}la perspectiva

gramo(L,R):=F(LR−1)R{\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1})R}

es conjuntamente convexa, es decir, siL=λL1+(1−λ)L2{\displaystyle L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}}yR=λR1+(1−λ)R2{\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}con[Li,Ri]=0{\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}(i=1,2),0≤λ≤1{\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1},

gramo(L,R)≤λgramo(L1,R1)+(1−λ)gramo(L2,R2).{\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).}

Ebadian et al. posteriormente extendieron la desigualdad al caso dondeL{\displaystyle L}yR{\displaystyle R}no se desplazan diariamente. [ 25 ]

La desigualdad de traza de Von Neumann , que lleva el nombre de su creador John von Neumann , establece que para cualquiernorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices complejasA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}con valores singularesα1≥α2≥⋯≥αnorte{\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}yβ1≥β2≥⋯≥βnorte{\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}}respectivamente, [ 26 ]|Tran⁡(AB)| ≤ ∑i=1norteαiβi,{\displaystyle |\operatorname {Tr} (AB)|~\leq ~\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,,} con igualdad si y solo siA{\displaystyle A}yB†{\displaystyle B^{\dagger }}comparten vectores singulares. [ 27 ]

Un corolario simple de esto es el siguiente resultado: [ 28 ] Para Hermitianonorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices complejas semidefinidas positivasA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}donde ahora los valores propios están ordenados de forma descendente (a1≥a2≥⋯≥anorte{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}yb1≥b2≥⋯≥bnorte,{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}respectivamente), ∑i=1norteaibnorte−i+1 ≤ Tran⁡(AB) ≤ ∑i=1norteaibi.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatorname {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,.}

Véase también

Referencias

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  • Fuente primaria: Scholarpedia .